Viel Erfolg! Prof. Große, Dr. Jüngel BA WS 15/16 Mathe+Statistik Klausur Jena, den Matrikelnummer. Name (lesbar!

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1 Prof. Große, Dr. Jüngel BA WS 15/16 Mathe+Statistik Klausur Jena, den Matrikelnummer Name lesbar! Unterschrift Hinweise Jedes abgegebene Blatt ist lesbar mit dem Namen und der Matrikelnummer zu versehen. Den nach Aufgabennummern aufsteigend sortierten Lösungsblättern ist dieses Aufgabenblatt unterschrieben als oberstes beizufügen. Mit dieser Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie diese Prüfung abzulegen haben, zu ihr zugelassen sind und sich in geeigneter gesundheitlicher Verfassung befinden. Um die entsprechende Punktzahl zu erhalten, muss der Lösungsweg der Aufgabe erkennbar sein. Auch bei Nutzung des Taschenrechners ist der Ansatz in Formeln anzugeben. Klausuren, Klausurteile oder Durchstreichungen mit Bleistift werden als nicht geschrieben behandelt. Jede Lösung ist auf einem gesonderten Blatt abzugeben, d.h. auf jedem Blatt befindet sich höchstens eine Lösung. Natürlich dürfen auch die Rückseiten der Blätter genutzt werden. Verbotene Hilfsmittel jegliche elektronische Geräte Ausnahme: Taschenrechner für Statistikteil Vorlesungs- bzw. Übungsmitschrift Lehrbücher Nachbar Erlaubte Hilfsmittel Taschenrechner nur für den Statistikteil handschriftliche Formelsammlungen Dauer: Mathematik 80 Minuten und Statistik 40 Minuten Viel Erfolg! Aufgabe Σ Punkte erreichbare Punkte erreichte Punkte In die Gesamtsumme gehen maximal 67 Punkte aus dem Mathematikteil und maximal 33 Punkte aus dem Statistikteil ein!

2 Mathematik Aufgabe 1 16 Punkte a Gegeben seien die Intervalle A = [1, 5, B = 0, 3] und C = 2, sowie Ω = R. Bestimmen Sie dafür: C \ B A und A B C. b Berechnen Sie die folgenden Wurzelausdrücke c Gegeben ist die Funktion fx = 2 + lgx 1. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, den Wertebereich und geben Sie die Umkehrfunktion an. d Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 2x + 2 > 0. Aufgabe 2 10 Punkte 1. Berechnen bzw. vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke a 7! 5! 4! 6! + 6 6! b n + 2 n + 1 c 3 k= Von einer geometrischen Zahlenfolge a n seien a 3 = 1 und a 8 = 1 bekannt. Berechnen Sie a 1 sowie die Summe der ersten 100 Glieder dieser Folge. Aufgabe 3 8 Punkte a Ein Auto, dessen Kaufpreis 5000 e beträgt, wird sofort gekauft und mittels eines Annuitätendarlehens finanziert. Es stehen jährlich 2450 e zur Verfügung und der Zinssatz beträgt 2 %. Wie groß ist die Restschuld nach zwei Jahren? b Die 2450 e werden jeweils am Jahresanfang auf ein Konto eingezahlt, welches ebenfalls mit 2 % verzinst wird. Kann das Auto am Ende des zweiten Jahres gekauft werden? Hinweis: Alle Rechnungen sind ohne Taschenrechner möglich im Kopf oder schriftlich! Aufgabe 4 8 Punkte Untersuchen Sie die Funktion fx = x 2 e 2x auf Nullstellen und Extremwerte. Aufgabe 5 10 Punkte Ein Unternehmen, das zwei Güter mit Ausbringungsmengen x und y produziere, arbeite mit der Kostenfunktion Kx, y = 2x 2 + xy + 2y und mit der Umsatzfunktion Ex, y = 38x + 62y. Für welche Mengen x und y wird der Gewinn maximal?

3 Aufgabe 6 8 Punkte Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Funktion fx = x 3 x und der x-achse. Siehe Skizze! Aufgabe 7 11 Punkte Gegeben sind die folgenden Matrizen. A = D = B = E = C = Prüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke definiert sind und berechnen Sie diese falls möglich. a 3A 4C T b AB c C T D d AC e B T E 2. Prüfen Sie, ob die Matrix D invers zu der Matrix E ist. Aufgabe 8 9 Punkte Für welchen reellen Parameter a hat das lineare Gleichungssystem x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 3x 2 + 4x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + a x 3 = 5 unendlich viele Lösungen? Geben Sie diese Lösungen an!

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5 Matrikelnummer Name lesbar! Statistik Aufgabe 9 6 Punkte a 3 Pkt. Welches Skalenniveau haben die folgenden Merkmale: 1 Geschwindigkeit, 2 Familienstand, 3 Arbeitslosenquote. Begründen Sie Ihre Antworten jeweils durch einen kurzen Satz! b 2 Pkt. Nennen Sie zwei gängige Ausprägungen für jedes der unter a genannten diskreten Merkmale. c 1 Pkt. Welches Skalenniveau müssen Merkmale mindestens haben, um den Median berechnen zu können? Aufgabe Punkte Die unten dargestellte empirische Verteilungsfunktion F beschreibt die Altersstruktur der Bevölkerung in Deutschland im Jahr Emp. Verteilungsfunktion: Bevölkerung 2001 in Deutschland 0,993 0,961 0,749 0,321 0,208 0,0954 0, Alter in Jahren a 3 Pkt. Welche Klassierung des Alters X können Sie am Bild von F ablesen Angabe der Klassen, Klassengrenzen, -breiten, -mitten. b 2 Pkt. Wie ist der Eintrag 0,749 auf der senkrechten Achse der Grafik als Häufigkeit zu interpretieren? c 3 Pkt. Berechnen Sie den Anteil der Deutschen, deren Alter X der Bedingung 25 X 61 genügte. d 4 Pkt. Berechnen Sie das mittlere Alter der deutschen Bevölkerung 2001 im Sinne des Zentralwerts Bitte wenden!

6 Aufgabe Punkte Es ist folgende empirische Stichprobe für die Größe von Neugeborenen gegeben: j x j /cm a 2 Pkt. Fertigen Sie für die relative Häufigkeitsverteilung ein Häufigkeitspolygon an. b 9 Pkt. Fertigen Sie zur Häufigkeitsverteilung dieser Körpergrößen einen Boxplot an, identifizieren Sie ausreisserverdächtige Werte, und charakterisieren Sie die Verteilung durch zwei geeignete Begriffe. Aufgabe Punkte Bei einer Verkehrskontrolle werden der Promillegehalt Alkohol im Blut Merkmal X und das Alter der Fahrer Merkmal Y erfasst: Alter Promille a 3 Pkt. Notieren Sie die Ausprägungen und das Skalenniveau der beiden Merkmale. b 5 Pkt. Geben Sie die Kontingenztabelle der absoluten Häufigkeiten und die Werte H E 2,3 sowie HE 3,2 an. c 3 Pkt. Berechnen und interpretieren Sie den Pearsonschen Kontingenzkoffzienten. Dabei gilt χ 2 = 15/8. Bestätigen Sie durch Nachrechnen C Korr = 3/ 38. Interpretieren Sie diesen Wert im Sinne der Klassifizierung der Vorlesung.

7 Lösungen 1 a 3, 5, 0] b 2 c Df = 1, W f = R f 1 x = 10 x d L = R 2 1. a 28 b n + 2 c a 1 = 1 q = 1 s 100 = 0 3 a Jahr Restschuld Zinsen Tilgung Annuität b Ja! 4 Nullstelle: x = 0 Minimum: x = 0 Maximum: x = 1 5 Maximum in 6, a b nicht definiert c d 10 e nicht definiert 2. Ja. 8 a = 1 x 1 = 1 + 5t, x 2 = 1 2t, x 3 = t mit t R April 2016, 11:20 Uhr