Element: Skalarprodukt: Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Vollständigkeit:

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1 C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im Funktionenraum Zur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in Element: Skalarprodukt: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit: Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Element: Skalarprodukt: Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit:

2 Herleitung von 'Vollständigkeit' (a.8) & (b.8): Zunächst: Entwickle alte Basisvektoren in neuer Basis: mit Entwicklungskoeffizienten: (L5.4b.3) Aus Orthonormalität der alten Basis folgt:

3 Hänsch-Frequenzkamm (Nobelpreis 2005, Theodor W. Hänsch, LMU) (Dank an Thomas Udem) Ziel: Messung v. "optischen Frequenzen" mit Genauigkeit "Wie zählt man von 0 auf in einer Sekunde?" ist zu schnell, um direkt gemessen zu werden (Caesium-Atomuhr) tickt mal langsamer) Methode: Überlagere Signal mit unbekannter Frequenz mit Referenzsignal mit genau bekannter Frequenz und messe Frequenz der "Schwebungen": viel langsamer, messbar mit grosser Genauigkeit, Idee von Hänsch: lese von einem Frequenzkamm ab!

4 Schritt 1: Generiere periodische Pulsfolge Applet: Pulsdauer: Periode: Überlagerung vieler stehender Wellen mit ähnlichen Frequenzen liefert scharfen Puls, der zwischen den Spiegeln hin und her läuft. Pulskette: Teil der Amplitude jedes Pulses "leckt" durch Spiegel heraus, liefert periodische Kette von kurzen Pulsen. Trägersignal Pulsform Trägerfrequenz: Pulsdauer: Periode der Kette: Repetitionsrate: 1/(Bandbreite d. überlagerten stehenden Wellen) (Abstand zwischen Spiegeln) langsam, gut messbar, mit Genauigkeit Messgenauigkeit:

5 Schritt 2: Zerlege Pulsfolge nach Frequenzen Fourierspektrum der periodischen Pulsfolge ist ein Frequenzkamm: Begründung: siehe Hausaufgabe Kammbreite: invers proportional zur Dauer eines Pulses: [(C6.1p.4): dort hier] (Glasfaser verbreitert den Kamm zusätzlich auf ) Frequenzauflösung: invers proportional zur Periode der Pulsfolge: Anzahl diskreter Frequenzen: Komplikation: Phasenverschiebung enthält eine sehr langsame Zeitabhängigkeit: Das führt zu einem "Drift" des Frequenzkams (Taylor) (sehr langsame Fluktuationen) Pulsfolge ist nicht streng phasenkohärent! Trägerfrequenz: Frequenzspektrum: (Hausaufgaben) Einhüllende diskrete Peaks, wegen FT einer periodischen Pulsfolge Kamm- Frequenzen: langsam, also im Prinzip gut messbar! Kamm driftet, wegen (sehr langsam fluktuierender) "offset-frequenz" :

6 Herleitung von (f.3), (f.4): Fourier-Reihe für Periodische Pulskette Hausaufgabe vernachlässigbar relativ zu Schritt 3: Bestimmung v. : Nehme breiten Kamm, der eine "ganze Oktave" enthält, d.h. sowohl als auch erste harmonische v. Überlagere Signale von und!! Das liefert Schwebung mit Frequenz: ("beat") meßbar, also regelbar Alle Kammfrequenzen sind jetzt bekannt, d.h. Referenzsignal ist kallibriert! (siehe wieder Seite )

7 Prof. Ferenz Krausz (LMU)

8 Dezember 2005 Stockholm Oktober 2005, Schellingstr. 4, LMU, München Radon-Transformation Intensität der transmittierten Strahlung, wird gemessen als Funktion von und eingestrahlt transmittiert Detektorschirm = Mass für Stärke der Absorption der Strahlung durch das Gewebe Integrationslinie, mit und fest Annahme: Absorption zwischen Punkten und ist proportional zur Dichte des Gewebes dort: mit Gewebe (menschlicher Schädel); gesucht: die Dichte des Gewebes Dichte wird entlang Integrationslinie aufintegriert Eingestrahlte Röntgenstrahlung, Intensität =

9 Integrations linie: Absorptionsintegral: Fourier- Transform: (C6.3e.4) Dieses Integral (4) entspricht einer 2-dimensionalen Fourier-Transformation! läßt sich somit durch Fourier-Rücktransformation bestimmen: (C6.3e.3) gewünschtes Dichteprofil Integral in Polarkoordinaten gemessen, (l.1):