Element: Skalarprodukt: Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Vollständigkeit:

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1 C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im Funktionenraum Zur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in Element: Skalarprodukt: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit: Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Element: Skalarprodukt: Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit:

2 Herleitung von 'Vollständigkeit' (a.8) & (b.8): Zunächst: Entwickle alte Basisvektoren in neuer Basis: mit Entwicklungskoeffizienten: (L5.4b.3) Aus Orthonormalität der alten Basis folgt:

3 Hänsch-Frequenzkamm (Nobelpreis 2005, Theodor W. Hänsch, LMU) (Dank an Thomas Udem) Ziel: Messung v. "optischen Frequenzen" mit Genauigkeit "Wie zählt man von 0 auf in einer Sekunde?" ist zu schnell, um direkt gemessen zu werden (Caesium-Atomuhr) tickt mal langsamer) Methode: Überlagere Signal mit unbekannter Frequenz mit Referenzsignal mit genau bekannter Frequenz und messe Frequenz der "Schwebungen": viel langsamer, messbar mit grosser Genauigkeit, Idee von Hänsch: lese von einem Frequenzkamm ab! Übersichtsartikel: Th. Udem, R. Holzwarth, T.W. Hänsch, Nature, 416, 233 (2002). Th. Udem, R. Holzwarth, T.W. Hänsch Physik Journal 1, 39 (2002).

4 Schritt 1: Generiere periodische Pulsfolge Applet: Pulsdauer: Periode: Überlagerung vieler stehender Wellen mit ähnlichen Frequenzen liefert scharfen Puls, der zwischen den Spiegeln hin und her läuft. Pulskette: Teil der Amplitude jedes Pulses "leckt" durch Spiegel heraus, liefert Kette von kurzen Einzelpulsen, mit streng periodischer Einhüllenden. periodische Einhüllende Pulsdauer: Periode der Kette: Repetitionsrate: Trägersignal mit Trägerfrequenz: 1/(Bandbreite d. überlagerten stehenden Wellen) (Abstand zwischen Spiegeln) langsam, gut messbar, mit Genauigkeit Messgenauigkeit:

5 Schritt 2: Zerlege Pulsfolge nach Frequenzen Fourierspektrum der periodischen Pulsfolge ist ein Frequenzkamm: Begründung: siehe Kammbreite: invers proportional zur Dauer eines Pulses: [(C6.1p.4): dort hier] (Glasfaser verbreitert den Kamm zusätzlich auf ) Frequenzauflösung: invers proportional zur Periode der Pulsfolge: Anzahl diskreter Frequenzen: Problem: Puls-zu-Puls Phasenverschiebung zwischen Einhüllenden und Trägersignal Kammfrequenzen: maximal wenn m = 0 maximal wenn n = N langsam, also im Prinzip gut messbar! hängt ab von Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit der Pulse in der Kavität (und dieses wiederum von der Pumpleistung, usw.) Phasenverschiebung ist nicht vollkommen stabil als Funktion der Zeit, folglich 'wandert' der Kamm als Funktion der Zeit:

6 Schritt 3: Bestimmung v. : Nehme breiten Kamm, der eine "ganze Oktave" enthält, d.h. sowohl als auch erste harmonische v. Überlagere Signale von und Das liefert Schwebung ('beat') mit Frequenz: meßbar, also regelbar (siehe wieder Seite ) Alle Kammfrequenzen sind jetzt bekannt, d.h. Referenzsignal ist kallibriert! "A million stabilized lasers in a single beam"

7 Prof. Ferenz Krausz (LMU) Dezember 2005 Stockholm Oktober 2005, Schellingstr. 4, LMU, München

8 Radon-Transformation Intensität der transmittierten Strahlung, wird gemessen als Funktion von und eingestrahlt transmittiert Detektorschirm = Maß für Stärke der Absorption der Strahlung durch das Gewebe Integrationslinie, mit und fest Annahme: Absorption zwischen Punkten und ist proportional zur Dichte des Gewebes dort: mit Gewebe (menschlicher Schädel); gesucht: die Dichte des Gewebes Dichte wird entlang Integrationslinie aufintegriert Eingestrahlte Röntgenstrahlung, Intensität = Integrationslinie: Absorptionsintegral: Fourier- Transform: (C6.3e.4) Dieses Integral (4) entspricht einer 2-dimensionalen Fourier-Transformation! läßt sich somit durch Fourier-Rücktransformation bestimmen: (C6.3e.3) gewünschtes Dichteprofil Integral in Polarkoordinaten gemessen, (l.1):