Krummlinige Bewegungen

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1 Krulinige Bewegungen 1. Markus steht a Gipfel eines Berges. Er tritt it de Fuß auf einen Stein (=75g), der daraufhin über die Gipfelfläche schlittert und it einer Horizontalgeschwindigkeit von 1,5 über eine fast vertikale, 250 hohe Felswand hinausfliegt. s Lösung: (a) 11 (a) In welche Abstand kot der Stein a Fuß der Nordwand auf? (b) Wie groß ist seine Auftreffgeschwindigkeit? Skizziere die Bahnkurve des Steins. (c) Für eine genauere Untersuchung der Bewegung uss an den Luftwiderstand berücksichtigen. i. Trage bei einer Höhe von 125 die Richtung der Geschwindigkeit und der Luftwiderstandkraft ein. ii. Wie verändert sich die Luftwiderstandkraft vo wegkicken bis zur Landung des Steins. iii. Wie verändert sich die Bahnkurve, wenn an den Luftwiderstand berücksichtigt. (b) 70 s (c) i. F L und v tangential zur Bahnkurve ii. F L steigt, da v steigt, Richtung ändert sich (wird vertikaler) iii. Abweichung von Parabelfor; Flugweiter verkürzt sich 2. Nebenstehend ist der waagrechte Wurf einer Kugel durch Überlagerung von Moentaufnahen dargestellt. ie Bilder je zweier benachbarter Kugeln wurden jeweils in eine zeitlichen Abstand von 0,50 s aufgenoen. 5,0 10 y 4,0 8, x (a) Welche Geschwindigkeit hat die Kugel in x Richtung? (b) Welche Geschwindigkeit in y Richtung hat die äußerst rechts unten dargestellte Kugel? Lösung: (a) 8,0 s (b) 25 s 1

2 3. Ein Körper der Masse 0,50kg bewegt sich auf einer kreisförigen Bahn it einer Geschwindigkeit vo konstanten Betrag 4,0 s entgegen de Uhrzeigersinn. ie Zeichnung ist i Maßtab von 1 : 100 angefertigt. Trage in die nebenstehende Zeichnung sowohl die Richtung als auch den Betrag der Geschwindigkeit, der Zentripetalbeschleunigung und der Zentripetalkraft aßtabsgetreu i Punkt P der Kreisbahn ein. Beschrifte die Größen entsprechend. Wähle dabei 1 c für 1 s, 2 s s s 2 bzw. 2N. M P Lösung: v a M F P 4. In de Jaes Bond Fil,,Moonraker Streng Gehei,,testet 007 den Schwerkraftsiulator des Bösewichts Sir Hugo rax. Bei einer Belastung von 15 g, d.h. dass Jaes Bond it de 15 fachen seines Körpergewichts gegen die Wand des Siulators gedrückt wird, zieht er die,,notbrese und stoppt die Rotation des Siulators durch einen Pfeilschuss. Mit welcher Frequenz und it welcher Bahngeschwindigkeit bewegt sich 007? Schätze dabei den Radius der Kreisbahn auf der sich der Geheiagent bewegt ab. 2

3 Lösung: Mit der Abschätzung 20 für den Radius der Kreisbahn folgt v 2 r = 15g v = 15rg = 54, s = 54 s 195 k h v = 2πrf f = v 2πr = 1,4Hz 5. Ein Körper beschreibt eine kreisförige Bahn, bei der er in gleichen Zeitabschnitten jeweils gleiche Wegabschnitte zurücklegt. In dieser Hinsicht könnte an die Bewegung als gleichförig bezeichnen. Wieso spricht an bei einer solchen Bewegung trotzde von einer beschleunigten Bewegung? Lösung: er Betrag der Geschwindigkeit ist zwar konstant, aber die ihre Richtung ändert sich fortwährend. 6. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt (a) a Äquator, (b) an der Wetterstation auf der Zugspitze (geografische Breite Nord) u die Rotationsachse der Erde, wenn wir davon ausgehen, dass die Erde eine Kugel vo Radius r = 6378k ist. Lösung: (a) 2πr E 24h = k 1,7 103 h (b) 2πr Ecos = 1, k 24h h Zugspitze r E cos r E r E 3

4 7. Ein Körper beschreibt eine kreisförige Bahn, bei der er in gleichen Zeitabschnitten jeweils gleiche Wegabschnitte zurücklegt. In dieser Hinsicht könnte an die Bewegung als gleichförig bezeichnen. Wieso spricht an bei einer solchen Bewegung trotzde von einer beschleunigten Bewegung? Lösung: er Betrag der Geschwindigkeit ist zwar konstant, aber die ihre Richtung ändert sich fortwährend. 8. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt (a) a Äquator, (b) an der Wetterstation auf der Zugspitze (geografische Breite Nord) u die Rotationsachse der Erde, wenn wir davon ausgehen, dass die Erde eine Kugel vo Radius r = 6378k ist. Lösung: (a) 2πr E 24h = k 1,7 103 h (b) 2πr Ecos = 1,5 24h 10 3 k h Zugspitze r E cos r E r E 4

5 9. Seit 1989 ist der Olypia-Looping eine Attraktion auf der Wiesn. er urchesser der Bahn beträgt 20. er Zug durchfährt die Punkte A, B, C,, E, F, B und G in der angegebenen Reihenfolge. (a) Welche Geschwindigkeit uss der Zug in B besitzen, dait er den höchsten Punkt F erreicht? er Konstrukteur gibt an, dass Spitzengeschwindigkeiten von nahezu 100kh 1 erreicht werden. Wieso ist dieser WertgrößeralsderindieserAufgabe berechnete? A F B M E C G (b) Welche Richtung und welchen Betrag hat die Geschwindigkeit des Zuges, wenn die i Punkt F nötige Zentripetalkraft vollständig von der Gravitationskraft aufgebracht wird? Vergleiche dein Ergebnis it de aus der vorangegangen Aufgabe. Welche Schlussfolgerung kannst du daraus ziehen? (c) Berechne den Betrag der Beschleunigung, die i Punkt B bei Verlassen des Kreises auf den Fahrgast wirkt in Vielfachen der Fallbeschleunigung. Vergleiche den von dir errechneten Wert it de vo Konstrukteur angegebenen Wert von circa 5,2 g für die axiale Beschleungigung, die der Fahrgast erfährt. (d) Wie ändert sich der Anteil der Graviationskraft an der Zentripetalkraft bei der Bewegung von B über C und nach E? Lösung: (a) v = 2gd = 20 s Aufgrund von Reibung und Luftwiderstand entstehen Energieverluste, so dass der Zug den höchsten Punkt nicht erreichen und abstürzen würde. gd (b) v = 2 = 20 s = 9,9 s ie Geschwindigkeit ist stets tangential bezüglich der Kreisbahn. as ist die Hälfte der in vorigen Teilaufgabe errechneten Geschwindigkeit. Also ist es nicht öglich, dass die gesate Zentripetalkraft nur von der Gravitationskraft aufgebracht wird. (c) a Z = v2 r + g = 2gd r + g = 5g. ieser Wert stit,,recht gut it de angegeben Wert überein. (d) urch eine Zerlegung der Gravitationskraft in die Tangential und Radialkoponente findet an, dass der Anteil fortwährend zunit. Von B nach drückt die Radialkopontente der Gravitationskraft auf die Fahrbahn und von nach F wird die Kraft it der der Zug auf die Fahrbahn gedrückt wird durch die Radialkoponente verindert. 10. Woher weiß an welche Masse die Erde hat und welche die Sonne? 5

6 Lösung: Erdasse M: g = G M re 2 M = gr2 E G, dabei ist der Wert einer beliebigen Masse, und r E der Erdradius, sowie wie G die Gravitationskonstante und g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche. SonnenasseM :ie Gravitationskraft zwischen ErdeundSonneliefertdiefürdie(näherungsweise) Kreisbewegung der Erde u die Sonne nötige Zentripetalkraft. Soit lässt sich aus G M E M r 2 = M E ω 2 r der Wert M für die Masse der Sonne berechnen, wobei die Gravitationskonstante G, die Masse der Erde M E und der Abstand Erde Sonne r bekannt sein üssen (ω ist die Winkelgeschwindigkeit für die Bewegung der Erde u die Sonne). 11. Ein auf eine Hochhausdach in Bedrängnis geratener Spion versucht sich durch einen Sprung über die s = 12,0 breite Straßenflucht auf das u h = 5,00 h tiefer gelegene ach des Nachbarhauses zu s retten. Gehe davon aus, dass es sich bei de Verfolgten u einen guten Sprinter handelt (100 in 10,0 s) und untersuche die Erfolgsaussichten seines Vorhabens. eine Ergebnisse sind durch Zeichnungen und Rechnungen zu belegen, der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden. Lösung: Mit v 0 = 10 s, v x0 = v 0 cos und v y0 = v 0 sin folgt für die Sprungdauer t: y(t) = h+(v 0 sin) t g 2 t2 = 0 y v 0 h it der Lösung t = 1 g [ ] v 0 sin ( ) + 2gh+(v0 sin) 2 s w x ie Weite des Sprungs ist w = (v 0 cos) t = v 0cos g [v 0 sin+ 2gh+(v 0 sin) 2 ] ,1 11,8 12,0 13,3 14,2 14,2 13,9 w 6

7 12. Ein Zirkusartist ( lebende Kanonenkugel ) der Masse = 68,0kg lässt sich von einer Federkanone in die Höhe schießen. ie Feder der Härte = 1600 N wird dabei u d = 2,50 zusaengedrückt (siehe Abb.). Berechne die Mündungsgeschwindigkeit v 0 und die axiale Höhe h des Artisten über der Mündung der Kanone für d v 0 (a) d (b) v 0 (a) eine senkrecht stehende Kanone (b) eine u = 60 gegen die Horizontale geneigte Kanone. Versuche auch (b) it de Energiesatz zu lösen. Überlege dir zuerst, welche Geschwindigkeit v 1 der Artist i höchsten Punkt seiner Flugbahn hat. u kannst auch (a) als Spezialfall von (b) behandeln! Lösung: (a) 2 d2 = 2 v2 0 +gd = v 0 = v y0 d 2 2gd = 9,90 s 2 d2 = g(h+d) = h = d2 d = 7,50 2,50 = 5,00 2g ( ) ( ) ( ) vx0 v0 cos vx0 (b) v 0 = =, v v 0 sin 1 = 0 2 d2 = 2 v2 0 +gdsin = d 2 v 0 = 2gdsin = 10,2 s 2 v2 0 = gh+ 2 v2 x0 = h = v2 0 v2 x0 2g h = 4,00 = v2 0 (1 cos2 ) 2g = v2 0 sin2 2g ie Ergebnisse von (a) erhält an it = 90. v 0 v x d v 0 v y dsin v 1 h 13. ie linke untere Abbildung zeigt eine rotierende Scheibe von oben. abei steht die Rotationsachse senkrecht auf der Scheibe und geht durch den Punkt. ie rehfrequenz wird so eingestellt, dass sich ein zylindrischer Körper K gerade noch auf der gestrichelten Linie bewegt. Bei einer Erhöhung der Frequenz wird K nach außen getragen. Nun wird die Scheibe, wie rechts unten abgebildet, u den Winkel α gegen die horizontale geneigt. er Körper K beginnt gerade dann zu rutschen, wenn der Neigungswinkel α der Scheibe 35 beträgt. Berechne die Frequenz it der sich die Scheibe gedreht hat. 7

8 K 10c K α Blick von der Seite Blick von oben Lösung: Haftreibungskoeffizient µ H = tan35 = 0,70; rehfrequenz f = 1 H g 2π r = 1,3Hz. 14. Vo Punkt A springt ein Stuntan it einer (Horizontal )Geschwindigkeit von 30 k h voneine50hohenhochhausab. A 30 k h (a) In einer Entfernung von 100 vo Punkt B befindet sich ein Lastwagen i Punkt C, dessen Länge und Höhe vernachlässigt werden dürfen. er Lastwagen fährt in Richtung des Punktes B it einer Geschwindigkeit von 60 k. Begründe durch eine h Rechnung, dass der Stuntan nicht auf de Lastwagen landen wird. (b) Welche Beschleunigung uss der Lastwagen haben, dait der Stuntan auf de LKW landet? 50 B Straße k h C 2h Lösung: (a),,fallzeit des Stuntan: h = 1 2 gt2 t = g = 3,2s. Stuntan und Lkw begegnen sich it einer Relativgeschwindigkeit vo Betrag 90 k h = 25 s. Bei Auftreffen auf de Boden ist der Stuntan s 3,2s = 80 vo Lastwagen entfernt. (b) ait der Stuntan auf de Lastwagen landen kann uss dieser die fehlenden 20 durch eine Beschleunigung,,kopensieren. 1 2 a (3,2s)2 = 20 a = 40 (3,2s) 2 = 4,0 s 8 2

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