Physikalische Grundlagen

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1 Physikalische Grundlagen Inhalt: - Bahn und Bahngeschwindigkeit eines Satelliten - Die Energie eines Satelliten - Kosmische Geschwindigkeiten Es wird empfohlen diese Abschnitte der Reihe nach zu bearbeiten. Bahn und Bahngeschwindigkeit eines Satelliten Auch für künstliche Erdsatelliten gilt das 1. Keplersche Gesetz; sie bewegen sich auf Ellipsenbahnen um die Erde. Die Erde steht in einem Brennpunkt dieser Ellipsen. In der folgenden Abbildung ist für verschiedene Bahnpositionen die Gravitationskraft eingezeichnet (rote Pfeile!). Wegen der unterschiedlichen Entfernungen zur Erde ist ihr Betrag verschieden groß. Aufgaben

2 1. Fertigen Sie eine Skizze der oben dargestellten Bahn an. Zeichnen Sie in den Punkten A bis F die Tangenten an die Bahnkurve. Zerlegen Sie die Gravitationskraft an den verschiedenen Stellen in die beiden Komponenten parallel und senkrecht zur Tangente. 2. Welche der beiden Kraftkomponenten ändert den Betrag und welche die Richtung der Satellitengeschwindigkeit? Auf welcher Strecke wird der Satellit schneller, auf welcher langsamer? 3. Warum bewirkt eine kleine Kraft im erdfernsten Punkt genau die gleiche Bahnkrümmung wie eine viel größere im erdnächsten Punkt? Die Energie eines Satelliten Die potentielle Energie des Satelliten beträgt: Dabei steht m für die Masse des Satelliten und M für die Masse der Erde. Anmerkung: Die Physiker haben vereinbart das Nullniveau der potentiellen Energie so zu legen, dass nur negative Werte auftreten. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass ein Körper im Gravitationsfeld nicht frei ist. Ein Körper, der unendlich weit von der Erde entfernt ist, der also durch keine Gravitationskraft mehr an die Erde gebunden ist, wird als frei bezeichnet und hat die potentielle Energie null. Damit folgt für die Gesamtenergie des Satelliten: Zunächst soll nun ein Satellit auf einer Kreisbahn betrachtet werden: Aufgaben 4. Die Gravitationskraft liefert die, für die Kreisbahn erforderliche Zentripetalkraft. Leiten Sie aus diesem Kraftansatz eine Formel für die Satellitengeschwindigkeit in Abhängigkeit von r her.

3 5. Wie groß ist die kinetische Energie des Satelliten? Leiten Sie eine Formel in Abhängigkeit von r her und vergleichen Sie das Ergebnis mit der potentiellen Energie. 6. Wie groß ist die Gesamtenergie des Satelliten? Leiten Sie eine Formel in Abhängigkeit von r her und vergleichen Sie das Ergebnis wieder mit der potentiellen Energie. Aus diesen Energiegleichungen liest man ab: Soll der Satellit auf eine höhere Bahn gehoben werden, muss ihm Energie zugeführt werden, z.b. durch Zünden einer Rakete. Dadurch erfährt der Satellit den erforderlichen Geschwindigkeitsschub. Auf einer höheren Bahn ist dann zwar seine kinetische Energie geringer als vorher (auf höheren Bahne ist die Geschwindigkeit kleiner!), dafür erhöht sich aber die potentielle Energie. Satellitenenergie auf der Ellipsenbahn: Geometrie der Ellipse: a: große Halbachse b: kleine Halbachse e: lineare Exzentrizität Auf der Ellipsenbahn schwankt der Radius r (Entfernung: Erdmittelpunkt - Satellit) zwischen den Werten a + e (im erdfernsten Punkt) und a - e (im erdnächsten Punkt). Entsprechend ändert sich die kinetische und die potentielle Energie des Satelliten für die im letzten Abschnitt die Formeln hergeleitet wurde. Über die gesamte Bahn gemittelt ist der Radius r gleich der großen Halbachse a. Damit ergibt sich für die Gesamtenergie des Satelliten auf der Ellipsenbahn:

4 Aufgabe 7. Im Abstand r vom Erdmittelpunkt befindet sich ein Satellit auf einer Ellipsenbahn um die Erde mit der großen Halbachse a. Welche Geschwindigkeit besitzt er in dieser Position? Kosmische Geschwindigkeiten Unsere Erfahrung sagt uns: Ein geworfener Stein fällt wieder zur Erde. Auch eine abgeschossene Kanonenkugel bleibt nicht oben. Angenommen man könnte einen Stein von einem sehr hohen Berg mit großer Geschwindigkeit waagerecht wegschleudern: Auf welcher Bahnkurve wird sich dieser Stein bewegen? Über diese Frage dachte bereits NEWTON im 17. Jahrhundert nach und er kam zu dem Schluss, dass bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Stein den Erdboden nicht mehr erreichen, sondern unendlich um die Erde herumfallen wird. Tatsächlich umkreist ein Körper die Erde, wenn er nur mit genügend großer Geschwindigkeit tangential zur Erdoberfläche abgeschossen wird. Diese Geschwindigkeit nennt man 1. kosmische Geschwindigkeit v 1. Die an der Oberfläche auftretende Luftreibung wird bei der Berechnung dieser Zeichnung aus dem 3. Buch von Newtons Principia. (Die ursprüngliche Ausgabe erschien 1687, die Zeichnung stammt aus einer von A. Motte bearbeiteten Fassung von 1728). Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Satellitenbewegung.

5 Geschwindigkeit nicht berücksichtigt. Aufgabe 8. Stellen Sie eine Formel für die Berechnung der 1. kosmischen Geschwindigkeit auf. Wird ein Körper mit einer Geschwindigkeit abgeschossen, die größer ist als die 1. kosmische Geschwindigkeit v 1 = 7,9 km/s, so entfernt er sich von der Erde. Hierbei wird ein Teil seiner kinetischen Energie in potentielle umgewandelt. Der Satellit beschreibt eine Ellipsenbahn. Sie berührt jedoch im Abschusspunkt die Erde. Deswegen würde auch dieser Satellit abstürzen, da er nach einer Umrundung der Erde wieder in die Atmosphäre eintaucht und so der Luftreibung ausgesetzt ist. Um dies zu vermeiden muss die Bahn nach dem Abschuss korrigiert werden. Steigert man die Abschussgeschwindigkeit des Satelliten immer weiter, so erreicht er schließlich eine Geschwindigkeit, bei der er sich von der Erde entfernt und nie mehr zu ihr zurückkehrt. Aufgabe 9. Die kleinstmögliche Abschussgeschwindigkeit bei welcher der Satellit die Erde auf Nimmerwiedersehen verlässt nennt man 2. kosmische Geschwindigkeit v 2. a) Welche kinetische Energie muss man dem Raumschiff mindestens mitgeben, damit es die Erde verlässt ohne zurückzukehren? b) Stellen Sie damit eine Formel für die Berechnung der 2. kosmischen Geschwindigkeit auf.

6 Die Bahn des Satelliten, der mit v 2 = 11,2 km/s abgeschossen wird ist parabelförmig. Bei größeren Startgeschwindigkeiten ergibt sich eine Hyperbelbahn. In beiden Fällen ist der Satellit nicht mehr an die Erde gebunden und wird zum Sonnensatelliten.