Resultat: g. d) ω 0 = a) ml 2 ϕ + mglϕ = 0, 4 l2 c + mgl ϕ = 0, c) ml 2 ϕ + c ers l 2 + mgl ϕ = 0, mit c ers = c + c = 2c, 4 d) ml 2 ϕ + 9 c ersl 2 1

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1 Aufgaben Kap. 85 Aus Kapitel Aufgaben. An einer a oberen Ende fest eingespannten Feder it der Federkonstanten hängt eine Masse i Shwerefeld it der Gravitationskonstanten g = 98 /s. Die statishe Verlängerung der Feder unter de Einfluss der Gewihtskraft beträgt q st = 8. Bestien Sie die Eigenkreisfrequenz des Shwingers. g q st Ausführlihe Lösung: In der statishen Ruhelage gilt das Gleihgewiht aus Shwerkraft und Federkraft an der Masse: g = q st. Daraus ergibt sih die Federsteifigkeit = g q st.dieeigenkreisfrequenz des Shwingers ist soit: g g = q st =. q st. Auf ein atheatishes Pendel it der Masse und der Länge l wirkt die Erdbeshleunigung g. Für kleine Auslenkungen ϕ lautet die Bewegungsgleihung aus de Drehipulssatz l ϕ + glϕ = 0. Zwishen der Pendelstange und der Ugebung werden in vershiedenen Konfigurationen Federn der Steifigkeit angebraht. Berehnen Sie die Eigenkreisfrequenzen der Konfigurationen. g g a l + g l b + g l d 9 + g l Ausführlihe Lösung: Das Drehoent eines Federsystes a Pendel der Steifigkeit ers das i Abstand l vo Drehpunkt angebraht ist beträgt bei der Auslenkung ϕ M = ers l ϕ und kann zur Bewegungsgleihung die ja eine Moentenbilanz ist hinzuaddiert werden. Zu beahten ist dass die Konfiguration eine Parallelshaltung und d eine Reihenshaltung darstellt! Die Bewegungsgleihungen lauten: a l ϕ + glϕ = 0 b l ϕ + l + gl ϕ = 0 l ϕ + ers l + gl ϕ = 0 it ers = + = d l ϕ + 9 ersl + gl ϕ = 0 it = ers + =..3 Ein Torsionsshwinger besteht aus einer einseitig fest eingespannten Welle it de Durhesser D = 30 und der Länge l = 500 aus Stahl it de Shubodul G = 70 GPa. A freien Ende der Welle befindet sih eine Stahlsheibe Dihte ρ = 7800 kg/ 3 it de Durhesser D S = 00 und der Dike d = 60. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz dieses Torsionsshwingers? Die Eigenkreisfrequenz beträgt 979 rad/s. Tehnishe Mehanik a b d / l /3 l l

2 86 Aufgaben Kap. Tehnishe Mehanik Ausführlihe Lösung: Die Torsionssteifigkeit einer rotationssyetrishen Welle lautet: T = GI T it I T = π l 3 D was nah Einsetzten von Zahlenwerten gerundet auf T =.33 N/rad führt. Das Trägheitsoent der Sheibe ergibt sih zu: J = R bzw. J = 8 D S it = πρdd S was gerundet J = 8 kg ergibt. Die Eigenkreisfrequenz ist ergibt sih nun zu: T J = 979 rad/s. Nah Division durh π ergibt sih die Eigenfrequenz f = 59 Hz.. Ein ungedäpftes Feder-Masse-Syste wird durh eine haronishe Kraft erregt. Bei der Erregerkreisfrequenz Ω = 0 rad/s tritt Resonanz auf. Wird auf de Körper eine Zusatzasse Δ = kg befestigt und der gleihe Versuh wiederholt tritt die Resonanz bei Ω = 9535 rad/s auf. Bestien Sie die Masse und Federsteifigkeit des ursprünglihen Systes. Shwinger bei der Erregerfrequenz ω r die axiale Aplitude aufweist. Eritteln Sie daraus das Däpfungsaß D das logarithishe Dekreent Λ sowie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes. ωd D = ω r ωd ω r ωr Λ = π. ω d ω d ω r Ausführlihe Lösung: Die Eigenfrequenz und die Resoanzfrequenz des gedäpften Systes haben folgende Beziehungen zu der Eigenfrequenz des gleihen ungedäpften Systes: ω d = D ω r = D. Diese beiden Gleihungen können nah den Unbekannten und D aufgelöst werden: ωd D = ω r ωd ω ω d ω r. r Das logarithishe Dekreent ergibt sih zu: π ωr Λ = D T d = D π. ω d ω d = 00 kg; = N/. Ausführlihe Lösung: Bei eine ungedäpften Syste entspriht die Resonanzfrequenz der Eigenfrequenz soit gilt für das Shwingersyste ohne Zusatzasse: Ω =. Für das Syste it Zusatzasse gilt entsprehend: Ω = + Δ. Aus den obigen beiden Gleihungen können die Unbekannten und.6 Ein Einassenshwinger wird durh eine haronishe Kraft Ft und eine Wegerregung ut aus der Ruhelage erregt wobei Ft =ˆF sin Ω t ut =û os Ω t sind. Bestien Sie die stationäre Shwingungsantwort der Masse. Gleihgewihtslage ut qt Ft = ΔΩ Ω = ΔΩ Ω Ω Ω. Ω gelöst werden. Einsetzen der Zahlenwerte ergibt das oben genannte Resultat..5 Experientell wurde die Eigenkreisfrequenz eines gedäpften Einassenshwingers ω d bestit. Bei haronisher Anregung stellt an fest dass der qt =q t+q t = ˆF η sin Ω t + û η os Ω t. Ausführlihe Lösung: Die Bewegungsgleihung des Systes lautet: q + q = ˆF sin Ω t + û os Ω t.

3 Aufgaben Kap. 87 Die Eigenkreisfrequenz des Systes beträgt:. Die Systeantwort setzt sih geäß des Superpositionsprinzips aus den Teilantworten auf haronishe Anregung ˆF sin Ω t und û os Ω t zusaen. Beide Teilshwingungen entsprehen de Fall haronishe Kraftanregung siehe Abshn.. also der Vergrößerungsfunktion Typ : qt =q t+q t = ˆF ω0 sin Ω t + û Ω ω0 os Ω t. Ω Mit den diensionslosen Frequenzverhältnissen entwikeln wobei die Glieder it Ordnung k > in der Regel vernahlässigt werden können. Die Fourier- Koeffizienten u k lauten genähert u 0 = λ + 3λ3 6 λ u = u = λ + λ3 6 u 3 = 0 und u = λ3 6. Berehnen Sie die stationären Aplituden der Beshleunigung der Masse für folgende Winkelgeshwindigkeiten der Kurbel: Ω = 3 und. Verwenden Sie die Zahlenwerte = 05 kg = 0 3 N/ d = Ns/λ = 3 und l = 05. Für die Aplituden ˆ q k der Beshleunigung der Masse gilt: Tehnishe Mehanik ergibt sih die Lösung: qt = ˆF η = Ω η = Ω η sin Ω t + û η os Ω t..7 In Textil- und Verarbeitungsashinen werden häufig ungleihförig übersetzende Getriebe oder Mehanisen eingesetzt u einegewünshteperiodishe Bewegung zu erzeugen. Einfahster Vertreter davon ist die Shubkurbel die eine Drehung in eine Translationsbewegung usetzt. Die periodishen Bewegungen können andere Teile der Mashine in Shwingungen versetzen. In dieser Aufgabe sind shwingungsfähige Teile der Mashine vereinfaht durh einen Einassenshwinger abgebildet. r Ωt l d ˆ q k = rkω V kω u k für k =. Man erkennt dass auh für Drehfrequenzen Ω = Resonanzen auftreten wenn für das Arguent der Vergrößerungsfunktion V der Wert kω = gilt. Das ist z. B. für Ω = für die vierte Ordnung k = der Fall. In der folgenden Abbildung sind die Aplituden graphish dargestellt. q kj Ω = ω0 Ω = / ω0 Ω = /3 ω0 Ω = / ut qt 0 Die Bewegungsgleihung für die Masse dieses Systes lautet q + d q + q = ut wobeiut die Hubkurve ist die von der Shubkurbel verursaht wird. Diese ist keine einfahe haronishe Funktion. Mit de Pleuelstangenverhältnis λ = r l lautet sie ut =r os Ωt + λ λ sin Ωt it der konstanten Drehgeshwindigkeit Ω des Antriebs. Diese lässt sih als haronishe Reihe der Gestalt u t = r k=0 u k os kωt 0 3 Ordnung k Ausführlihe Lösung: Mithilfe der Vergrößerungsfunktion V in Absolutkoordinaten.6 und den in Beziehung.35 vorgestellten Teilanregungen lässt sih für die Antwortaplituden der Bewegung der Masse des Systes infolge der haronishen Anteile der Erregung für den Weg q kj shreiben: ˆq kj = rv ηj uk itk = j =...

4 88 Aufgaben Kap. Tehnishe Mehanik Entsprehend gilt für die Aplituden der Beshleunigung: ˆ q kj = rω k V ηj uk itk = j =... Dabei beshreibt der Index k die jeweilige Ordnung der Systeantwort infolge der j-ten Erregerkreisfrequenz Ω j. Einsetzen der Zahlenwerte liefert für die vershiedenen Erregerkreisfrequenzen die in folgender Tabelle aufgelisteten Ergebnisse für das Frequenz- bzw.abstiungsverhältnis und für die Vergrößerungsfunktion V.Dieauftretenden Resonanzstellen sind it eine roten Rahen gekennzeihnet. Wert des Abstiungsverhältnisses η und der Vergrößerungsfuktion V für vershiedene Erregerkreisfrequenzen Ω k. Erregerkreisfrequenz Ω = Ω = 3 Ω = Ordnung η V η V η V D D D D D D 96 +D D 9+6D Ω = D 9+6D 5+6D Es ergeben sih infolge der Erregung jeweils Resonanzen für Ω = in der vierten für Ω = in der zweiten und für Ω = in der ersten Ordnung. Keine Resonanz ist für Ω = 3 zu erkennen. Das Balkendiagra zeigt die Aplituden der Beshleunigung geäß.5 und folgender Tabelle.8 Die it einer Feder der Konstanten gehaltene ungedäpfte Masse M befindet sih in ihrer Gleihgewihtslage in Ruhe. Sie wird von eine Projektil der Masse P it der unbekannten Geshwindigkeit v P getroffen. Das Projektil bleibt in der Masse M steken. Danah shwingt die Masse M + P it einer Aplitude von ˆq. Eritteln Sie die Energie E P des Projektils und den Anteil der Geshossenergie der auf den Shwingungsvorgang übertragen wird. Gleihgewihtslage v p p M E P = ˆq M + P P qt E S E P = P M + P Ausführlihe Lösung: Der Ipuls p = P v P des Geshosses wird vollständig an den Shwinger übertragen und löst dadurh eine Bewegung aus. Die Ipulsantwort.3 vereinfaht sih für den ungedäpften Shwinger it δ = 0undω d = zu: qt = p sin t = p sin t. Die shwingende Masse beträgt nah de Einshuss = M + P da beide Körper geeinsa shwingen. Soit gilt: ˆq = P v P M + P was zunähst nah Zahlenwerte der Aplituden ˆ q kj in s Ω j ˆ q j ˆ q j ˆ q 3j ˆ q j Ω = Ω = Ω = Ω = stellt die Antwortaplituden als Zahlenwerte für die vershiedenen Erregerkreisfrequenzen gegenüber; ebenfalls sind die Resonanzaplituden wieder it eine roten Rahen gekennzeihnet. Wie erwartet ist zu erkennen dass keine Resonanz in der dritten Ordnung der Erregung auftritt. Alle anderen Erregerordnungen haben eine Resonanzaplitude innerhalb der Systeantwort zur Folge. Soit ist festzuhalten dass auh Resonanzen in der Systeantwort infolge einer Überlagerung ehrerer haronisher Anteile in der Erregerfunktion durhaus auh bei anderen Drehfrequenzen der Shubkurbel als der Systeeigenfrequenz auftreten können. M + P v P = ˆq aufgelöst werden kann. Daraus kann die Geshossenergie P E P = Pv P = ˆq M + P P bestit werden. Die an den Shwinger übertragene Energie lässt sih z. B. aus der potenziellen Federenergie i Moent der axialen Aplitude bestien weil dabei keine kinetishe Energie vorhanden ist. Es gilt soit: E S = ˆq. Für das Verhältnis der Shwinger- zur Geshossenergie ergibt sih: E S = P E P M + P

5 Aufgaben Kap. 89 das ier kleiner als eins ist. Der niht an den Shwinger übertragene Anteilder Geshossenergie wird bei plastishen Stoß der bei Stekenbleiben des Projektils in der Masse M stattfindet dissipiert..9 Auf einer Mashine die von zwei Federn it der gleihen Federkonstanten / sowie eine Däpfer gestützt ist wird ein Unwuhterreger befestigt u die Shwingungseigenshaften der Mashine zu eritteln. M q Gleihgewihtslage Die Gesatasse ist: M = Ur U ˆq und an erhält die Eigenkreisfrequenz des Systes M = ˆq = 333 rad/s U r U Das Abstiungsverhältnis bei der Drehzahl n ist soit: η = Ω = nπ 60 = 36. Tehnishe Mehanik d Der Unwuhterreger hat eine Unwuht von U und einen Radius r U zu Shwerpunkt der Unwuht. Die Drehzahl n des Erregers wird bei eine Shwingversuh aus de Stillstand langsa gesteigert. Dabei wird eine axiale Aplitude der Masse von ˆq ax = 60 geessen. Bei weiterer Steigerung der Drehzahl stellt sih shließlih eine konstante Aplitude ˆq = 03 ein. Gegeben sind U = kg r U =5und = 000 N/. Eritteln Sie das Däpfungsaß D sowie die vertikale Shwingungsaplitude des Systes wenn der Unwuhterreger it einer Drehzahl n = 300 U/in läuft. Shließlih ergibt sih die vertikale Shwingungsaplitude: ˆq = Ur U η M η + D η = ˆq η η + D η = Ein Syste aus einer Masse zwei Federn und sowie eine Däpfer d wird durh einen Noken it Stößel angeregt. Der Noken rotiert it der konstanten Winkelgeshwindigkeit Ω und erzeugt a asselosen Stößel eine sägezahnförige Hubkurve u s t it der axialen Hubhöhe A. D = 00; ˆq = d Ausführlihe Lösung: Die Gesatasse der Mashine it de Unwuhterreger wird it M bezeihnet. Die Shwingungsaplitude der Mashine für die Unwuhterregung ist: ˆq = Ur U η M η + D η = Ur U M V 3η. us t A qt Gleihgewihtslage I Resonanzfall gilt it der Näherungsforel für kleine Däpfungswerte: ˆq ax = Ur U M D. π Ω π Ω t Für das Frequenzverhältnis η geht V 3 dait ergibt sih: ˆq = Ur U M. Aus diesen beiden Gleihungen ergibt sih das Däpfungsaß: D = ˆq = 03 ˆq ax 60 = 0. Ω Eritteln Sie die stationäre Bewegung qt der Masse.

6 90 Aufgaben Kap. Tehnishe Mehanik qt = A + [ ] k= kπ k η +Dkη sinkωt ψ k Ausführlihe Lösung: Die Bewegungsgleihung des Systes lautet: q + d q + + q = u s t und die Eigenkreisfrequenz beträgt: +. Der erste Ter von Ft ist A und entspriht einer Sprungkrafterregung deren stationäre Systeantwort lautet: q 0 t = A. + Für den k-ten Ter A kπ sinkωt lautet die Systeantwort: q k t = A kπ + k η +Dkη sinkωt ψ k wobei die folgenden Abkürzungen gelten: D = d η = Ω Dkη ψ ω k = artan 0 k η. Die sägezahnförige Hubkurve u s t lässt sih in eine Fourier-Reihe zerlegen und führt zu der For: [ u s t = A k= ] kπ sinkωt. Dait hat das Shwingungssyste folgende Erregerkraft: Ft = u S t = A A k= kπ sinkωt. Dait ergibt sih aus de Superpositionsprinzip die gesate stationäre Bewegung der Masse: qt =q 0 t k= q k t = A + [ ] k= kπ k η +Dkη sinkωt ψ k.