Klausur - Kinematik und Dynamik - SoSe 2013 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

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1 Kausur - Kineatik und Dynaik - SoSe 2013 Prof. Dr. rer. nat. Vaentin Popo Dieser urahte Bereih ist or der Bearbeitung der Kausur oständig und esbar auszufüen! Nahnae Studiengang Art der Kausur: Vornae Matrikenuer Prüfungskausur Übungssheinkausur Aufgabe Σ 1-6 Kurzfragentei Sihtung Punkte / 80 / 20 Die Kausur ufasst aht Rehenaufgaben und einen Kurzfragentei. Die Kausur git as bestanden, wenn indestens 40 on 100 Punkten erreiht werden, jedoh uss dabei der Kurzfragentei it ind. 10 on 20 Punkten bestanden werden. Tragen Sie die Ergebnisse des Kurzfragenteis direkt auf de Kausurbatt ein (nur diese Eintragungen werden berüksihtigt!). Es werden ae Rehenaufgaben gewertet. Bitte sauber shreiben, unesbare Lösungen werden niht beahtet. Es ist ier anzugeben, auf wehen Aufgabentei sih eine Lösung bezieht. Lösungen sind zweia zu unterstreihen. Ae Lösungen sind expizit in den gegeben Größen auszudrüken. Wenn Abkürzungen erwendet werden, sind diese eindeutig bei der Lösung anzugeben. Kontroieren Sie die Diension Ihrer Ergebnisse.

2 kineatik 2+3+4=9 Punkte Ein Zeenttransporter, dessen Mishtroe sih it der konstanten Winkegeshwindigkeit ω bei einer konstanten Shrägsteung β dreht, durhfährt in horizontaer Ebene eine Linkskure o Radius R it der konstanten Geshwindigkeit. Der Punkt F iegt i Mittepunkt der Troe. Der Punkt P befindet sih außen an der rotierenden Troe. Zu Zeitpunkt t = 0 ist ϕ = 0 und P befindet sih a höhsten Punkt. R O e z e ϕ e z e z F e x ey e ϕ ϕ e r e r e ϕ β F r ω P F β (a) Geben Sie den Verbindungsektor x FP on Punkt F nah Punkt P in der Basis ( e ϕ, e z, e r ) an. Beahten Sie dabei, dass sih die Troe it der Winkegeshwindigkeit ω dreht. (b) Geben Sie den Verbindungsektor x OP on Punkt O nah Punkt P in der Basis ( e r, e ϕ, e z ) an. () Berehnen Sie die Geshwindigkeit des Punktes P in der Basis ( e r, e ϕ, e z ). Geg.: r, R,, β, ω 2 Energie- und Arbeitssatz 4+9+4=17 Punkte EineStange(Körper1, 1,Θ A 1 )istimittepunkteineshohrades geagert.aneineendeisteineroe(körper2, 2,Θ S 2 )befestigt, die auf de Hohrad abrot (kein Geiten). A anderen Ende der Stange ist eine Feder der Steifigkeit befestigt. Weiterhin wirkt auf die Stange ein Moent M. In der Lage ϕ = 0 ist α = 0 und die Feder entspannt. Vernahässigen sie den Einfuss der Shwerkraft. (a) Bestien Sie einen Zusaenhang zwishen α und ϕ. Zeigen Sie, dass für die Längenänderung x(ϕ) der Feder as Funktion des Winkes ϕ git: x = 5 4osϕ 1 (1) ϕ 1 M A α S B 2 Hinweis: Verwenden Sie (1) für die Aufgaben (b) bis (). (b) Für den Ausgangszustand sei ϕ 1 = π und ϕ 1 = 0. Bestien Sie unter der Annahe, dass das Lager in A Reibungsbehaftet ist ( M = +M R ) die Winkegeshwindigkeit ϕ 2, wenn die Stange u ϕ 2 = π/2 ausgeenkt ist. () Für den Ausgangszustand sei ϕ 1 = 0 und ϕ 1 = 0. Das nun reibungsfreie Syste so durh ein Antriebsoent M = M A > 0 angetrieben werden. Wie groß uss M A gewäht werden, dait das Syste indestens die Lage ϕ 2 = π erreiht? Geg.: 1, Θ A 1, 2, Θ S 2,,, M R > 0, g = 0

3 3 Massenträgheitsoent 6+4+2=12 Punkte Gegeben sind zwei Körper (1, 2) geiher Dike t, die sehr kein ist (t << a). Körper 1 ist syetrish bezügih der x- und y-ahse, und weist zwei Bohrungen auf. Der Körper 2 ist oständig aus zwei identishen Körpern 1 zusaengesetzt. Die Trägheitsoente der eeentaren Körper soen angegeben, jedoh niht durh Integration berehnet werden. Fassen Sie ihre Ergebnisse ier zu zwei Suanden zusaen. (a) Bestien Sie das Massenträgheitsoent on Körper 1 bezügih eigene Shwerpunkt und der z-ahse: Θ S zz,1. (b) Bestien Sie das Massenträgheitsoent on Körper 2 bezügih eigene Shwerpunkt und der z-ahse: Θ S zz,2. () Bestien Sie das Massenträgheitsoent on Körper 2 bezügih de Punkt P und der z-ahse: Θ P zz,2. Geg.: a, t, ρ Körper 1 3a a Körper 2 P 4a y y z z 2a x x Dike t 4 Ipuserhatung (bekannte Aufgabe) 6+4=10 Punkte Eine Kuge ( 2 ) stößt it der Geshwindigkeit 0 gegen einen frei bewegihen, ruhenden Kotz ( 1,Θ S = 1 2 1a 2 ). Nah de Stoß ist die Geshwindigkeit der Kuge nu. (a) Wie groß sind die Winkegeshwindigkeit ω des Kotzes und die Geshwindigkeit seines Shwerpunkts nah de Stoß? (Der Stoß kann niht as idea eastish angenoen werden.) (b) Berehnen Sie für den Fa eines idea eastishen Stoßes das Verhätnis der Massen 1 / 2. a 0 1,Θ S 2 Geg.: 1, 2, a, 0, Θ S = 1 2 1a 2

4 5 Freie Shwingungen =17 Punkte Das gezeigte Syste besteht aus einer drehbar geagerten Kreissheibe und einer reibungsfrei geführten Stange. Die Kreissheibe (Massenträgheitsoent Θ A ) rot ohne Shupf auf der Stange (Masse ) ab. Beide Körper sind über ineare Federn und einen geshwindigkeitsproportionaen Däpfer an die Ugebung gekoppet. In der eingezeihneten Lage sind die Federn entspannt. Die Ausrihtung der Federn und des Däpfers beiben stets geih. Zur Untersuhung des Shwingerhatens sind die fogenden Teiaufgaben zu bearbeiten: (a) Geben Sie für keine Ausenkungen ϕ << 1 die ineare Differentiageihung des Systes in der Koordinate ϕ an. Benutzen Sie Abkürzungen für die Abkingkonstante δ und die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes ω 0. (b) Bestien Sie die Eigenkreisfrequenz des gedäpften Systes. Θ A 2r ϕ r A 2d () Geben Sie zunähst die ageeine Lösung der Differentiageihung aus (a) an. Bestien Sie hierit zusätzih die spezieelösungfürdieanfangsbedingungenϕ(t = 0) = ϕ 0 und ϕ(t = 0) = 0. Geg.:, Θ A, r,, d, ϕ 0 6 Erzwungene Shwingungen 2+5+8=15 Punkte Ein Syste so bezügih seines Verhatens bei haronisher Anregung untersuht werden. Die Bewegungsgeihung autet: ϕ+ 1 sinϕosϕ+r ϕos 2 ϕ+ 2 sinϕ g a osϕ = M 0 a 2 os(ωt). (a) Linearisieren Sie die Geihung für keine Winke ϕ << 1. Hinweis: Verwenden Sie in (b) und () die inearisierte For der Differentiageihung. (b) Geben Sie die statishe Ruheage ϕ s und die Bewegungsgeihung für die Ausenkung (α = ϕ ϕ s ) u diese an. Geben Sie weiterhin die Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedäpften und die Eigenkreisfrequenz ω d des gedäpften Systes an. Wie autet die Bedingung an die Däpferkonstante r, dait das Syste frei shwingen kann? () Berehnen Sie die Lösung ϕ(t) der Differentiageihung für den eingeshwungenen Zustand. Geben Sie die einzenen Rehenshritte expizit an. Geben Sie die Phase und Apitude der Lösung an. Geg.:, 1, 2, r, a, g, Ω, M 0

5 Theorieaufgaben 20 Punkte 1. Geben Sie die Maßeinheiten fogender Größen ausshießih in den Einheiten 1, kg, und s an: Massenträgheitsoent Θ (A) Federsteifigkeit der Dehnfeder kinetishe Energie K Erregerkreisfrequenz Ω 2. GegebenseiderOrtsektor r = x e x despunktesp.gebensie r iudenwinke ϕ gedrehte Koordinatensyste ( e r, e ϕ, e z ) an. e ϕ e y e r r = e z ϕ e x Geg.: r = x e x, x, ϕ 3. Ein Einrad, bestehend aus Rad und Rahen it Satte, roe it Shupf. Zeihnen Sie den Moentanpo des Rades ein. Geg.: 4. Syste S sei ein Inertiasyste. Wehes der Systee (A, B, C) ist dann ebenfas ein Inertiasyste? S A B C ω ω Geg.: = onst 0, ω = onst 0 5. Ein Rad roe it Shupf. Benennen Sie für diesen Fa die Größe, die sih aus de Quotienten der Reibkraft zu der Norakraft ergibt. F R F N heißt...

6 6. Geben Sie die Maßeinheiten fogender Größen ausshießih in den Einheiten 1, kg, und s an: Stoßzah e Däpfungsaß D Winkebesheunigung ϕ Ipus p 7. Ein Fashirspringer unteriege der Shwerkraft F g = g und einer zur Geshwindigkeit zu Quadrat proportionaen Widerstandkraft F w = 1 2 wρa 2. Wie groß ist seine axiae Fageshwindigkeit? ax = Geg.: F g = g, F w = 1 2 wρa 2,, g, w, ρ, A 8. Ein ruhender Körper zerfät in drei geih shwere Teikörper. Die Geshwindigkeiten zweier Körper ( 1 und 2 ) sind bekannt. Geben Sie die Geshwindigkeit des dritten Körpers an. 3 = Geg.: 1 = ( ) 1 3 s, 2 = ( ) 3 4 s 9. Eine Körper it Masse prat it der Geshwindigkeit 0 gegen eine entspannte Feder it Steifigkeit. Geben Sie die axiae Deforation x der Feder an. 0 x = Geg.:,, Ein Körper bewegt sih auf ershiedenen Wegen durh ein konstantes Kraftfed,wehesin e z Rihtungwirkt.SetzenSiedieArbeiten,diedas Kraftfed an de Körper errihtet, in Reation zueinander (<, >, =). W 12 W 43 W 14 W e z 3 4

7 11. Eine Kuge stoße senkreht gegen eine feste Wand. Der Stoß sei teieastish it Stoßzah e = 0,5. U wehen Faktor ändert sih ihre kinetishe Energie bei diese Stoß (K 0 kinetishe Energie or de Stoß, K 1 kinetishe Energie nah de Stoß)? K 1 K 0 = Geg.: e = 0,5 12. Eine Masse erfährt über einen Zeitrau 0 < t < T eine Kraft F(t), wehe in Bewegungsrihtung wirkt. U wehen Betrag ändert sih dann ihre Geshwindigkeit? ˆF F(t) = ˆF t2 T 2 = Geg.:, F(t) = ˆFt 2 /T 2, ˆF, T 0 T t 13. Ein Fahrstuh bewege sih i inken Bid ertika und i rehten Bid horizonta. Geben Sie die Reation (<,>,=) zwishen den Beträgen der o Fahrstuh auf die Masse ausgeübten Kraft an. Geg.: x(t) = 2gt 2, g, F Links F Rehts g x(t) g x(t) 14. Eine Kuge und ein Kotz bewegen sih unter Einfuss der Shwerkraft eine shiefe Ebene hinab. Die Kuge rot ohne Shupf. Der Kotz rutsht reibungsfrei. Geben Sie die Reation (<, >, =) zwishen den Endgeshwindigkeiten an. µ µ = α α g Geg.: α, µ,, g Eine Kuge und ein Kotz bewegen sih unter Einfuss der Shwerkraft eine shiefe Ebene hinab. Die Kuge rot it Shupf. Der Kotz rutsht. Geben Sie die Reation (<, >, =) zwishen den Endgeshwindigkeiten an. µ α 1 µ α 2 g Geg.: α, µ,, g 1 2

8 16. Betrahten Sie den angen, dünnen Stab it der Länge und der Masse. Geben Sie das Massenträgheitsoent Θ yy bezügih der eingezeihneten Ahse y an. Θ yy = a, 1 2 z x y Geg.: a,, 17. Betrahten Sie eine auf der Syetrieahse geagerte Kreissheibe (2), an deren Ufang eine Punktasse (1) exzentrish angebraht wurde. Geben Sie den Betrag der Lagerreaktion in A an, wenn die Ahse it der Winkegeshwindigkeit ω rotiert. r 1 ω F A = A 2 B Geg.: 1, 2, Θ S 2, r, ω, 1 Punkt 18. Es zeigt sih, dass sih die ittere Energie eines gedäpft shwingenden Systes nah de Gesetz E = 2δ E erhät. Die ittere Energie zu Zeitpunkt t = 0 sei it E 0 gegeben. Geben Sie den zeitihen Verauf der itteren Energie an! E = Geg.: E = 2δ E, δ, E Geben Sie die Eigenkreisfrequenz des Systes an. ω 0 = 3 4 Geg.:, 20. Das dargestete Syste besteht aus ier Massen und Federeeenten. In der Mitte sind zwei Federn durh einen asseosen Knoten erbunden. Geben Sie an, wie iee Eigenfrequenzen und Eigenforen das Syste besitzt. Eigenfrequenzen Eigenforen Geg.:,