M3 Stoß zweier Kreisscheiben

Transkript

1 Christian Müller Jan Philipp Dietrich I. Versuchsdurchführung a) Erläuterung b) Fehlerbetrachtung II. Auswertung a) Massenmittelpunktsatz b) Impulserhaltungssatz c) Drehimpulserhaltungssatz d) Relativer Energieverlust M3 Stoß zweier Kreisscheiben I. Versuchsdurchführung a) Erläuterung Ziel dieses Versuches ist es die verschiedenen Erhaltungssätze der Mechanik experimentell nachzuweisen. Zu diesem Zweck steht uns eine Luftkissenapparatur mit 2 Kreisschreiben, ein Stroboskop und eine CCD-Kamera zur Verfügung. Zuerst haben wir unsere Luftkissenapparatur so justiert, dass wir keine bzw. nur noch sehr geringe Hangabtriebskräfte feststellen konnten (ganz konnte wir diese Hangabtriebskräfte leider nicht eliminieren, da die Apparatur nicht hundertprozentig eben war, allerdings konnten wir diese Kräfte auf ein Minimum reduzieren, so dass sie so gut wie keinen Einfluss mehr auf unsere späteren Messungen hatte). Nachdem der Tisch fertig justiert war, mussten wir nun noch das Stroboskop so justieren, dass zwar die Kreissscheiben, aber nicht der Tisch, das Licht gut in Richtung der CCD-Kamera reflektierten (Jede Kreisscheibe besaß jeweils 3 auf einer Linie sitzende, reflektierende Punkte - ein Punkt im Mittelpunkt und die anderen zwei am Rand). Nachdem wir danach die Kamera auf unsere Apparatur gerichtet hatten konnten wir nun mit den Messungen beginnen. Dazu ließen wir die 2 Kreisscheiben einen Stoß vollführen, während das Stroboskop mit einer Frequenz von 19Hz lief und die CCD-Kamera ein Bild mit einer Belichtungszeit von 1,4s aufnahm. Diese Kombination aus Stroboskopbeleuchtung und langer Belichtungszeit führte zu einer Überlagerung der Bewegung auf der Aufnahme, aus welcher wir dann mithilfe einer speziellen Software die Punkte der Kreisscheiben auslesen konnten. b) Fehlerbetrachtung Bei unserem Versuch ist es von entscheidender Bedeutung, dass von Aussen keine Kräfte wie z.b. Hangabtriebskräfte, wirken, da sonst die meisten Erhaltungssätze ihre Gültigkeit verlieren. Um

2 dies zu sichern, müssen wir unsere Aufnahme nach 2 Eigenschaften untersuchen: Geradlinigkeit der Bewegung und Äquidistanz der einzelnen Mittelpunkte. Da dies keiner großen Tests bedarf und in unserem Fall sehr schnell zu überprüfen ist, möchten wir hier nur kurz unser Ergebnis festhalten: Geradlinigkeit: Die in unserem Fall gegebene Geradlinigkeit kann man u.a. in der Grafik zur Impulserhaltung gut erkennen (Die einzelnen Messpunkte liegen auf den eingezeichneten Impulspfeilen. Äquidistanz: Die Äquidistanz kann man leicht durch Nachmessen überprüfen. Wir haben zur Kontrolle die ersten Aufnahmen der linken und rechten Kreisscheibe untersucht. Dabei konnten wir feststellen, dass der Abstand der linken Mittelpunkte immer 0,6cm betrug, während die Abstände der rechten Scheibe konstante 1,2cm betrugen. Die Äquidistanz ist somit gewährleistet. II. Auswertung a) Massenmittelpunktsatz Der Massenmittelpunktsatz besagt, dass sich der Massenmittelpunkt eines Systems, auf welches keine äußeren Kräfte wirken, geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Zum experimentellen Nachweis dieses Satzes müssen wir also die Massenmittelpunkte jeder Momentaufnahme einzeichnen und danach bei der dabei entstehenden Bewegung des Massenmittelpunktes Geradlinigkeit und Äquidistanz nachweisen. Da sich der eingezeichnete Massenmittelpunkt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (siehe Grafik Massenmittelpunkt), konnten wir somit den Massenmittelpunktsatz bestätigen. b) Impulserhaltungssatz Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems, auf welches keine äußeren Kräfte wirken, konstant bleibt. Zum Nachweis dieses Satzes müssen wir also die Impulse (in X und Y Richtung) der beiden Kreisscheiben vor und nach dem Stoß bestimmen und miteinander vergleichen. Dazu legen wir zunächst ein Koordinatensystem in die Grafik und zeichnen danach die Impulspfeile ein (in unserem Fall haben wir jeden Pfeil über sieben Mittelpunkte gelegt). Die direkten Messungen aus der Grafik ergaben dabei folgende Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte unserer Pfeile: Pfeilspitze [cm] Pfeilende [cm] 1. Rechts 3,1 0,0 10,6 0,0 1. Links -4,2 1,05-7,8 0,7 2. Rechts -1,3-6,1-0,6-1,8 2. Links -6,1 6,9-2,8 2,3

3 Aus diesen Messwerten können wir nun die einzelnen Geschwindigkeiten berechnen. Dazu bilden wir zunächst die Differenzen zwischen Pfeilspitze und ende, rechnen danach die Längenangaben auf Originalgröße um (Unsere Grafik hat einen Maßstab von 61:100) und berechnen dann mithilfe der Stroboskobfrequenz die entsprechenden Geschwindigkeiten: v = (x a -x e ) 100/61 f/l Wobei xa die Pfeilspitze xb das Pfeilende, 100/61 der Umrechnungsfaktor in Originalgröße, f die Frequenz und l die Anzahl der Momentaufnahmen zwischen Pfeilspitze- und ende sind. Wir erhalten somit folgende Geschwindigkeiten: Vx [m/s] Vy [m/s] 1. Rechts -0,389 0, Links 0,187 0, Rechts -0,036-0, Links -0,171 0,239 Da die Massen der beiden Kreisscheiben nahezu indentisch sind vereinfacht sich der Impulserhaltungssatz in unserem Falle zu: v 1 + v 2 = v 1 + v 2 Nach Einsetzen ergeben sich folgende Gesamtgeschwindigkeiten: x-richtung: Vor dem Stoß: -0,202 m/s Nach dem Stoß: -0,208 m/s Abweichung: 0,006 m/s y-richtung: Vor dem Stoß: 0,018 m/s Nach dem Stoß: 0,016 m/s Abweichung: 0,002 m/s Die Abweichung der Werte vor und nach dem Stoß scheint im Toleranzbereich dieser Messung zu liegen. Wir konnten somit den Impulserhaltungssatz im Rahmen unserer technischen Möglichkeiten bestätigen. Eine 2. Möglichkeit den Impulserhaltungssatz nachzuprüfen ist es ein Vektorparallelogramm zu zeichnen. Wenn in diesem Parallelogramm der resultierende Vektor aus den Geschwindigkeiten vor dem Stoß dem resultierenden Vektor aus den Geschwindigkeiten nach dem Stoß entspricht, so ist der Impulserhaltungssatz erfüllt. In unserem gezeichneten Vektorparallelogramm (siehe Rückseite Abb.: Impulserhaltungssatz) sieht man, dass wir den Impulserhaltungssatz im Rahmen unserer Messungenauigkeit auch hier beweisen konnten. Zu beachten ist dabei noch, dass die Länge des resultierenden Vektors vor dem Stoß vgesamt sehr stark bei nur geringen Änderungen schwankt, da der Winkel zwischen vr und vl fast 180 beträgt und das Vektorparallelogramm entsprechend steil ausfällt. Dies ist auch der Grund, weshalb sich die beiden resultierenden Vektoren in der Länge relativ stark unterscheiden.

4 c) Drehimpulserhaltungssatz Der Drehimpulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtdrehimpuls konstant ist. Dabei setzt sich der Drehimpuls einer Kreisscheibe bezüglich eines Bezugspunktes O aus einem Eigendrehimpulsanteil und einem Drehimpulsanteil bezüglichdes Punktes O zusammen: L = r p + Jω Wobei r der Abstand von O zum Mittelpunkt der Kreisscheibe, p der Impuls der Kreisscheibe, J das Trägheitsmoment und ω die Winkelgeschwindigkeit der Kreisscheibe sind. Aus Symmetriegründen ergibt sich, dass auch die Differenzen der Winkelgeschwindigkeiten konstant bleiben muss. Können wir dies nachweisen so ist damit der Drehimpulserhaltungssatz bestätigt. ω 1 - ω 2 = ω 1 - ω 2 Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten messen wir zunächst die Winkel, die die Punkte mit einer zuvor gewählten Achse einnehmen. Daraus können wir dann die Winkelgeschwindigkeiten berechnen: Anfang [Grad] Ende [Grad] ω [1/s] ω ,062 ω ,123 ω ,413 ω ,581 Somit erhalten wir als Winkelgeschwindigkeitsbilanz vor dem Stoß: ω 1 - ω 2 = -0,185 s -1 nach dem Stoß: ω 1 - ω 2 = -0,167 s -1 Dies entspricht einer Differenz von: ω = 0,018 s -1 Die Differenz fällt somit auf den Versuch bezogen relativ klein aus. Man kann daher auch den Drehimpulserhaltungssatz als bestätigt annehmen. Zur weiteren Überprüfung des Drehimpulserhaltungssatzes können wir das Trägheitsmoment der Kreisscheibe über den Drehimpuls berechnen und dieses dann mit dem theoretischen Trägheitsmoment einer Kreisscheibe vergleichen: Wählen wir unseren Bezugspunkt O als Schnittpunkt der beiden Bahnen der linken Kreisscheibe vor und nach dem Stoß, so erhalten wir als Drehimpulserhaltungssatz folgende Formel: Jω 1 a 2 p 2 + Jω 2 = Jω 1 a 2 p 2 + Jω 2 Wobei a2 und a 2 die Abständen zu den Bahngeraden der rechten Kreisscheibe vor und nach dem Stoß sind. Lösen wir diese Formel nun nach dem Trägheitsmoment auf, so erhalten wir: J = (a 2 p 2 a 2 p 2 )/(ω 1 + ω 2 ω 1 ω 2 )

5 J = 2, kgm² Andererseits können wir das Trägheitsmoment einer homogenen Kreisscheibe der Masse m (m = 22,6g) und des Radius R (R = 1,475cm) über die Formel J h = mr²/2 berechnen. J h = 2, kgm² Dabei ergibt sich eine Messunsicherheit von (Um = 0,1g, UR = 0,5mm): U J = J ( U m /m + 2U R /R ) = 0, kgm² J h = (2,46 ± 0,2) 10-6 kgm² Die über diese beiden Wege berechneten Werte müssten somit übereinstimmen. Der Quotient aus beiden müsste 1 ergeben: q := J/J h = 1 q = 1,2 Somit konnten wir auch über diesen Weg (unter Berücksichtigung der Messunsicherheit) den Drehimpulserhaltungssatz bestätigen. d) Relativer Energieverlust Da der Stoß der beiden Kreisscheiben nicht vollkommen elastisch ist, gilt auch der Energieerhaltungssatz nicht. Stattdessen können wir jedoch den relativen Energieverlust berechnen, indem wir die Energie vor und nach dem Stoß vergleichen. Die Gesamtenergie des Systems ergibt sich in unserem Versuch aus kinetischer und Rotationsenergie der beiden Kreisscheiben: E = m/2(v v 2 2 ) + J/2(ω ω 2 2 ) Der Energieerhaltungssatz lässt sich unter Berücksichtigung des Energieverlustes als E 1 + E 2 = E 1 + E 2 + U schreiben. Es ergibt sich somit ein relativer Energieverlust von: U/E = (E-E )/E

6 Wobei E die Gesamtenergie vor dem Stoß und E die Gesamtenergie des Systems nach dem Stoß ist. U/E = 0,26 = 26% Wir konnten somit zeigen, was wir bereits vorher vermutet hatten: Der Stoß ist nicht vollständig elastisch, sondern es werden ca. 26% der Energie in Verformungs- oder Wärmeengerie umgewandelt. Christian Müller Jan Philipp Dietrich