4. Einführung in die Baudynamik

Transkript

1 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen Bedeutungen der Baudynamik Grundbegriffe und Klassifizierung Modellierung der Bauwerksschwingungen 4.2 Freie Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Federzahlen und Federschaltungen Freie gedämpfte Schwingungen 4.3 Erzwungene Schwingungen Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Erzwungene gedämpfte Schwingungen 1

2 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen Bedeutungen der Baudynamik Grundbegriffe und Klassifizierung Modellierung der Bauwerksschwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

3 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen Bedeutungen der Baudynamik Grundbegriffe und Klassifizierung Modellierung der Bauwerksschwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

4 Bedeutungen der Baudynamik Baudynamik befasst sich mit der Berechnung und Beurteilung dynamisch belasteter Bauwerke. Schwingungen von Bauwerken spielen in der Baudynamik eine besonders wichtige Rolle. Definition: Als Schwingungen bezeichnet man die Hin- und Her-Bewegungen eines Systems oder Bauwerks. Der Schwingungsvorgang eines Systems kann durch eine zeitabhängige Funktion x(t) beschrieben werden. Der Verlauf von x(t) wird häufig auch als Weg-Zeit-Diagramm bezeichnet. xt () 4

5 Können Schwingungen nützlich sein? Nützliche Schwingungen im Bauwesen: Betonrüttler zum Verdichten von Beton. Stemmhammer. 5

6 Wann sind Schwingungen unerwünscht? Unerwünschte Schwingungen im Bauwesen: Bauwerksschwingungen infolge von Erdbeben Bauwerksschwingungen infolge von Wind Bauwerksschwingungen infolge von Erschütterungen Bahnerschütterungen Erschütterungen aus Baubetrieb (z. B. Spundbohlen-Einrütteln) Industrielle Erschütterungen (KFZ- und Schwerindustrie) Bauwerksschwingungen infolge von Stoßbelastungen Bauwerksschwingungen infolge von Verkehrslasten (z. B. Brücken unter LKW- und PKW-lasten) In der Praxis muss der Baudynamiker neben den analytischen und numerischen Lösungsstrategien sich auf dem Gebiet der Schwingungsmessungen auskennen. Dynamische Messungen sind für die Erhebung von Eingangsdaten und für das Systemverständnis unerlässlich (Quelle: 6

7 Beispiel: Einsturz der Tacoma Narrows Bridge Die Tacoma Narrows Bridge im US-Bundesstaat Washington (eröffnet am und eingestürzt am ) versagte durch selbstinduzierte Schwingungen verursacht durch bestimmte Windbedingungen. Nach ihrem Versagen wurden neue Brücken nicht mehr nur statisch, sondern auch dynamisch ausgelegt. Quelle: 7

8 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen Bedeutungen der Baudynamik Grundbegriffe und Klassifizierung Modellierung der Bauwerksschwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

9 Grundbegriffe und Klassifizierung Schwingungen Periodische Schwingungen Zufallsschwingungen oder stochastische Schwingungen 9

10 1.) Aufteilung nach der Zeitabhängigkeit Andere Möglichkeit: Periodische Schwingungen (Sonderfall: Harmonische Schwingungen) Deterministische Schwingungen Schwingungen Transiente (stoßartige) Schwingungen Nichtdeterministische Schwingungen Zufallsschwingungen Quelle: 10

11 1.) Aufteilung nach der Zeitabhängigkeit Periodische Schwingungen Periodische Schwingungen sind Bewegungen, die sich wiederholen. x( tt) x( t) Die Zeit T, nach der sich die Bewegung wiederholt, nennt man Periode oder Schwingungsdauer. 11

12 1.) Aufteilung nach der Zeitabhängigkeit Die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit nennt man Frequenz. f 1 T Sonderfall: Harmonische Schwingungen Einheit: Hz (nach Hertz, ) 1Hz = 1/s xt () Asin( t) oder xt () Bcos( t) 12

13 1.) Aufteilung nach der Zeitabhängigkeit AB, : Schwingungsamplitude : Kreisfrequenz 2 T 2 f Zufallsschwingungen Auch als stochastische oder regellose Schwingungen bezeichnet. Keine Gesetzmäßigkeit in Zeit. 13

14 Grundbegriffe und Klassifizierung 2.) Aufteilung nach der Dämpfung Ungedämpfte Schwingungen Schwingungen Gedämpfte Schwingungen Angefachte Schwingungen 14

15 2.) Aufteilung nach der Dämpfung Ungedämpfte Schwingungen Schwingungsamplitude bleibt während der Schwingung erhalten. Gedämpfte Schwingungen Schwingungsamplitude klingt mit der Zeit ab. Angefachte Schwingungen Schwingungsamplitude nimmt mit der Zeit zu. Solche Schwingungen sind instabil. 15

16 Grundbegriffe und Klassifizierung 3.) Aufteilung nach den äußeren Einwirkungen Schwingungen Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) Erzwungene Schwingungen 16

17 3.) Aufteilung nach den äußeren Einwirkungen Freie Schwingungen Sie werden auch als Eigenschwingungen bezeichnet. Keine äußeren Kräfte wirken am System. Die dynamischen Eigenschaften eines schwingfähigen Systems werden durch die Eigenschwingungen beschrieben. Die Frequenz einer Eigenschwingung nennt man Eigenfrequenz. Erzwungene Schwingungen Äußere Kräfte (Erregerkräfte) wirken am System. Bei Erregerfrequenz (Frequenz der Erregerkraft) = Eigenfrequenz kommt es zur Resonanz, die besonders gefährlich sein kann. 17

18 Grundbegriffe und Klassifizierung 4.) Aufteilung nach der Linearität Schwingungen Lineare Schwingungen Nichtlineare Schwingungen Lineare Schwingungen sind durch lineare Differentialgleichungen beschrieben. Nichtlineare Schwingungen sind durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben. 18

19 Grundbegriffe und Klassifizierung 5.) Aufteilung nach der Anzahl der Freiheitsgrade Einmassenschwinger Schwingungen Zwei- und Mehrmassenschwinger Schwingungen kontinuierlicher Systeme (Kontinua) Stab Balken Platten w w u 19

20 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen Bedeutungen der Baudynamik Grundbegriffe und Klassifizierung Modellierung der Bauwerksschwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

21 Modellierung der Bauwerksschwingungen Quelle: Wriggers, Mnackenhorst, Buermann, Spiess, Löhnert: Technische Mechanik kompakt. 2. Auflage, B. G. Teubner Verlag,

22 Modellierung der Bauwerksschwingungen xt () yt () y0 sin l 22

23 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.2 Freie Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Federzahlen und Federschaltungen Freie gedämpfte Schwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

24 Baudynamik (Master) SS Freie Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen 24

25 Freie ungedämpfte Schwingungen 2. Newtonsches Gesetz: Eigenfrequenz: Schwingungsgleichung 2 mx+cx = 0 x+ x=0 c m Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Die dynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingung des Systems beschrieben. 25

26 Freie ungedämpfte Schwingungen Lösung der Differentialgleichung: xt () Acost Bsin( t) Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden. Anfangsbedingungen: x(0) x A x x(0) v0 B v Lösung der Differentialgleichung: v ( ) cos sin( ) 0 xt x t t 0 26

27 Freie ungedämpfte Schwingungen Alternative Darstellung der Lösung: xt () Ccost Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden. Anfangsbedingungen: x(0) x x (0) v 0 0 C : Schwingungsamplitude : Phasenwinkel C x v / 2 v 0 arctan x0 27

28 Freie ungedämpfte Schwingungen Einfluss des Eigengewichtes: Schwingungsgleichung: 2 x+ x=0 Eigenfrequenz: c m Statische Ruhelage: x st mg c Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn die Auslenkung von der statischen Ruhelage x st aus gezählt wird. 28

29 Freie ungedämpfte Schwingungen Andere Beispiele: 1.) Mathematisches Pendel g + sin= 0 l g + = l sin bei =0 g l 29

30 Freie ungedämpfte Schwingungen 2.) Physikalisches Pendel A +mgl sin = 0 sin bei 1 Trägheitsmoment: A A +mgl =0 2 + =0 mgl A 30

31 Baustatik III SS Freie Schwingungen Federzahlen und Federschaltungen 31

32 Federkonstanten Federzahl bzw. Federkonstante: F F cl c l l l Federzahl Kraft Verschiebung Beispiel: Stab F Fl F EA l c EA l l 32

33 Federkonstanten Beispiel: Balken w Fl 3 48 c F EI B 3 48EI w l 33

34 Federkonstanten 34

35 Federschaltungen 1.) Parallelschaltung x Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn! F c xc xc x 1 2 x c c c 1 2 Verallgemeinerung: 1 2 c c c... c N c N i1 i 35

36 Federschaltungen 2.) Reihenschaltung x 1 x2 x Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn! F cx cx cx x x x x F F F c c c c c c 1 2 Verallgemeinerung: N c c c c c N i1 i

37 Federschaltungen 3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung c12 c3 c c c c c c c c c

38 Baustatik III SS Freie Schwingungen Freie gedämpfte Schwingungen 38

39 Freie gedämpfte Schwingungen d F F d x, x Dämpfungskraft: Fd dx Diese Dämpfungsart nennt man viskose Dämpfung (z.b. Stoßdämpfer im Fahrzeug). Die Dämpfungskraft F d wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit. d: Dämpfungskonstante (Einheit: Kraft/Geschwindigkeit) 39

40 Freie gedämpfte Schwingungen Newton: mx cx dx mx dx cx x x x d 2m : Abklingkoeffizient c m 40

41 Freie gedämpfte Schwingungen Exponentialansatz: x Ae t x x x Charakteristische Gleichung ,2 D 1 D : Dämpfungsgrad, Lehrsches Dämpfungsmaß 41

42 Freie gedämpfte Schwingungen 1.) D>1: Starke Dämpfung Lösung: D 1 (reell) 1, x Ae Ae e Ae Ae t t t t t Die Konstanten A 1 und A 2 können aus den AB bestimmt werden. t t e Ae 1 0 bei t, da! Kriechbewegung (keine Schwingung)! 42

43 Freie gedämpfte Schwingungen 2.) D=1: Aperiodischer Grenzfall Lösung: D 1 (reell) 1, t 2t t x Ae Ate e A At Die Konstanten A 1 und A 2 können aus den AB bestimmt werden. t xt () e A At 0 bei t! 1 2 Kriechbewegung (keine Schwingung)! Der Ausschlag im Grenzfall D=1 klingt schneller als bei starker Dämpfung D>1 ab! Im Grenzfall D=1:, d 2mc 43

44 Freie gedämpfte Schwingungen 3.) D<1: Schwache Dämpfung 2 2 1,2 D 1 i 1 D id (komplex) 0 0 Lösung: Alternativ: 1t 2t t d x Ae Ae e Ae Ae i t idt t = e ( A A )cos( t) i( A A )sin( t) 1 2 d 1 2 t = e Acos( t) Bsin( t) d Die Konstanten A und B können aus den AB bestimmt werden. t x Ce cos( t) Die Bewegung ist eine Schwingung! d d d 44

45 Freie gedämpfte Schwingungen t xt () Ce cos( t) d xtt Ce tt ( ttd ) ( d) cos d( d) t Td Ce e cos( t ) d xt () xt ( T ) d e T d Das logarithmische Dekrement kann experimentell bestimmt werden. Danach kann D oder d bestimmt werden! xt () 2 2D ln Td xt ( Td ) d 1 D Logarithmisches Dekrement 2 45

46 Freie gedämpfte Schwingungen Zusammenfassung: Dämpfung d 2m Abklingkoeffizient D (2 ) 2 2 Dämpfungsgrad D 2 2 (2 ) Logarithmisches Dekrement D 1 D 2 46

47 Baustatik III SS Einführung in die Baudynamik 4.3 Erzwungene Schwingungen Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Erzwungene gedämpfte Schwingungen Literatur: Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag,

48 Baustatik III SS Erzwungene Schwingungen Erzwungene ungedämpfte Schwingungen 48

49 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Differentialgleichung: mx+cx = F cos( t) x+ x= x t 0 cos( ) Statische Auslenkung: x 0 F c 0 Allgemeine Lösung: x() t x () t x t x x h p h ( t) : homogene Lösung ( t) : Partikularlösung p 49

50 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Homogene Lösung: Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der ungedämpften freien Schwingung: xh () t C cos t Partikularlösung: x () t xv cos t p 0 V : Vergrößerungsfunktion, Amplituden-Frequenzgang Durch das Einsetzen der Partikularlösung in die Dgl. kann die Vergrößerungsfunktion V bestimmt werden. 50

51 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Vergrößerungsfunktion: V Frequenzverhältnis, Abstimmung: 51

52 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Sonderfälle: 1.) Statische Belastung: 0 0 V 1 xp () t x Statischer Ausschlag! 0 F c 0 52

53 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen 2.) Resonanz: 1 V xp () t Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist. In diesem Fall ist die Schwingungsamplitude unendlich groß! Daher: Resonanz möglichst vermeiden! Partikularlösung im Resonanzfall: 1 x () p t x0tsin t 2 instabil! 53

54 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen 3.) Sehr große Erregerfrequenz: V 0 xp () t 0 Bei sehr hoher Erregerfrequenz keine Antwort vom System! Das System ist nicht mehr in der Lage, auf die Erregung zu reagieren! 54

55 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen Allgemeine Lösung: x x x Ccos( t) xv cos( t) h p 0 Die Konstanten C und können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden. 55

56 Baustatik III SS Erzwungene Schwingungen Erzwungene gedämpfte Schwingungen 56

57 Arten der Erregungen Mögliche Fälle: 1.) Krafterregung 2.) Federerregung 3.) Dämpfererregung 4.) Unwuchterregung 5.) Fußpunkterregung 1.) 2.) 3.) Für alle 5 Fälle kann eine einheitliche Differentialgleichung bzw. Schwingungsgleichung hergeleitet werden! 4.) 5.) 57 x cos E x0 t

58 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Differentialgleichung: 1 2D 2 Allgemeine Lösung: cos x x x x 0E t 1, Fall 1.), 2.): Krafterregung & Federerregung E 2 D, Fall 3.): Dämpfererregung 2, Fall 4.), 5.): Unwuchterregung & Fusspunkterregung x() t x () t x t x x h p h ( t) : homogene Lösung ( t) : Partikularlösung p 58

59 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Homogene Lösung: Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der freien gedämpften Schwingung. Sie klingt exponentiell ab. () t x t Ce cos t h d 59

60 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Homogene Lösung: Nach hinreichend großer Zeit ist x h (t) im Vergleich zu x p (t) vernachlässigbar klein, d.h., x () t x () t h p x() t x () t x () t x (), t t t h p p E Die Schwingung bis zu diesem Zeitpunkt t E nennt man Einschwingvorgang! Partikularlösung: x () t x V cos t p 0 V : Vergrößerungsfunktion, Amplituden-Frequenzgang : Phasenverschiebung, Phasen-Frequenzgang 60

61 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungsfunktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden. 2 2 cos( t) : (- cos2dsin cos ) V E sin( t) : - sin2dcossin 0 V... tan... 61

62 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang: V E (1 ) 4D Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang: 2D tan

63 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Fall 1.) & 2.): V 1 Fall 3.): V 2 Fall 4.) & 5.): V 3 63

64 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Charakteristische Werte von V() und (): V (0) V (1) V ( ) V ( ) m m m Fall 1.) und 2.) 1 1 2D D 1 2 2D 1 D Fall 3.) Fall 4.) und 5.) 0 1 2D D 1 2D 1 D 2 (0) (1) ( ) Fall 1.) 5.)

65 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Eigenschaften von V 1 : Fall 1.) & 2.) # D 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1. # D1: V 1/ 2 D, Resonanz bei 1. 1m # D 0,5: V 1/(2D 1 D ) bei 12 D m m 2 # D 0,5: V1 m 1 bei m 0, Kurven fallen monoton gegen 0. m Eigenschaften von V 2 : Fall 3.) Maximum V 1 ist unabhängig von D und immer bei 1! 2m m 65

66 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Eigenschaften von V 3 : Fall 4.) & 5.) # D 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1. # D1: V 1/ 2 D, Resonanz bei 1. 3m # D 0,5: V 1/(2D 1 D ) bei 1/ 1 D m m 2 V3m m # D 0,5 : 1 bei, Kurven wachsen monoton gegen 1. Phasenverschiebung für alle 5 Fälle: # D 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz). # 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase. # 1: Hohe Erregerfrequenz,, Ausschlag und Erregung in Gegenphase. Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt! m 66