Mechanik. LD Handblätter Physik. Erzwungene harmonische und chaotische Drehschwingungen P Schwingungslehre Drehpendel nach Pohl

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1 YS Mechanik Schwingungslehre Drehpendel nach Pohl LD Handblätter Physik P Erzwungene harmonische und chaotische Drehschwingungen Aufzeichnung und Auswertung mit CASSY Versuchsziele Aufnahme der Amplitude eines Drehpendels in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz und der Dämpfung. Bestimmung der Eigenfrequenz des Drehpendels. Untersuchung chaotischer Schwingungen, die durch Erzeugung zweier Gleichgewichtslagen entstehen. Grundlagen Schwingungen und Wellen sind sowohl in Natur als auch in der Technik von großer Bedeutung. Die Untersuchung der damit verbundenen Phänomene ist deswegen von der experimentellen und der theoretischen Seite notwendig. Es ergibt sich dadurch der Zugang zum Verständnis der fundamentalen Modelle und Gesetze der Physik. Drehschwingungen stellen einen Spezialfall der mechanischen Schwingungen dar. An ihnen lassen sich aber alle Untersuchungen der wichtigen Phänomene durchführen. Im vorliegenden Versuch werden erzwungene Drehschwingungen bei unterschiedlich starken Dämpfungen untersucht. Durch Anbringen zusätzlicher Massen an das Drehpendel werden zwei Gleichgewichtslagen (bzw. Ruhelagen) erzeugt und damit ein chaotisches Verhalten erreicht. Die physikalische Größe, die den Zustand des Systems zum gegebenen Zeitpunkt t vollständig beschreibt ist der Auslenkwinkel aus der Ruhelage (bei ). Die Wirkung der Spiralfeder auf das Drehpendel ist durch das Hookesche Gesetz gegeben: Dabei ist D die Federkonstante und das durch die Feder verursachte Drehmoment auf das Drehpendel. Zusätzlich wird durch die Wirbelstrombremse ein Drehmoment auf das Pendel ausgeübt:. Dabei ist k die Reibungskonstante und die erste zeitliche Ableitung des Auslenkwinkels, also die Winkelgeschwindigkeit. Die Summe dieser beiden Drehmomente ergibt das negative (da entgegengesetzt) Gesamtdrehmoment für das nach Newton gilt: Dabei ist J das Trägheitsmoment des Drehpendels und die Winkelbeschleunigung. Daraus folgt: Gleichung (1) ist die Bewegungsgleichung, die die freie, gedämpfte Schwingung beschreibt. Dabei handelt es sich um eine gewöhnliche, homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Lösung eindeutig und wohl bekannt ist. Um die Formeln übersichtlicher zu gestalten, werden folgende Größen eingeführt: Dämpfungskonstante Eigenfrequenz des ungedämpften Drehpendels Frequenz des gedämpften Drehpendels -, die nur für existiert. Abb. 1: Versuchsaufbau zu erzwungenen Drehschwingungen. 1

2 P Geräte 1 Drehpendel nach Pohl DC-Netzgerät V/0...5 A Steckernetzgerät für Drehpendel Vielfach-Messgerät LDanalog Experimentierkabel 100 cm, blau Experimentierkabel 100 cm, rot/blau, Paar Drehbewegungssensor S Sensor-CASSY CASSY Lab PC mit Windows XP/Vista/7/8 In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung der Gleichung (1): Die Konstanten A und B werden durch die Vorgabe des Wertes für den Startwinkel sowie für die Startwinkelgeschwindigkeit festgelegt und ergeben sich dann zu Erzwungene harmonische Schwingungen [ Falls das Drehpendel extern durch ein periodisches Drehmoment ] Für die Phasenverschiebung in Gleichung (4) gilt: Für sehr kleine Erregerfrequenzen verschwindet die Phasenverschiebung. Für sehr große Werte von schwingt das Drehpendel um 90 bzw. verschoben in Gegenphase. Ist die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz, also bei (Resonanzfall), dann beträgt die Phasenverschiebung 45 bzw.. Der Erreger eilt dem Drehpendel voraus. Chaotische Schwingungen Die potentielle Energie des Drehpendels als Funktion der Auslenkung (des Auslenkwinkels) ist eine quadratische Funktion deren Graph eine Parabel mit genau einem Minimum an der Stelle ist. Das Drehpendel oszilliert um diese Ruhelage (stabile Ruhelage, s. Abb. 2 gestrichelte Kurve). Durch das Anbringen von Zusatzmassen an den Drehkörper wird erreicht, dass sich zwei mögliche Ruhelagen für das Drehpendel ergeben links und rechts von der Ruhelage ohne Zusatzmassen bei. Die potentielle Energie ist eine Funktion mit zwei Minima (stabilen Ruhelagen) und einem dazwischen liegendem Maximum (indifferentes Gleichgewicht oder instabile Ruhelage, s. Abb. 2 durchgehende Kurve). angeregt wird, so gilt: Die Lösung der inhomogenen Gleichung (3) ist die Summe der homogenen Lösung (2) und einer speziellen Lösung von (3). Eine Spezielle Lösung von (3) lautet: Gleichung (4) eingesetzt in (3) ergibt nach einigen Umformungen für die Amplitude: Da die Lösung der homogenen Gleichung für große Zeiten gegen 0 strebt, wird der Auslenkwinkel nach einer Einschwingzeit durch die Gleichung (4) beschrieben. Dabei gilt für die Amplitude des Drehpendels (abhängig von der Erregerfrequenz) die Formel (5). Man beachte, dass für sehr kleine Werte der Erregerfrequenz, die Amplitude gegen den festen Wert und nicht gegen 0 strebt. Dagegen verschwindet die Amplitude im Falle einer sehr großen Erregerfrequenz. Durch die Differentiation (erste Ableitung) der Gleichung (5) nach findet man einen maximalen Wert der Amplitude, der an der Stelle eintritt. Diese Frequenz wird Resonanzfrequenz genannt. Man beachte, dass beim Grenzwert die maximale Amplitude gegen unendlich strebt und es gilt: Abb. 2. Die potentielle Energie als Funktion der Auslenkung. gestrichelte Kurve: Drehpendel ohne Zusatzmassen durchgehende Kurve: Drehpendel mit Zusatzmassen Durch den Erreger wird dem System je nach Phasenlage Energie zugeführt. Dadurch schwingt der Drehkörper abhängig von der Startbedingung entweder um die eine oder die andere Ruhelage. Diese Schwingung ist zumindest für größere Amplituden nicht harmonisch. Bei genügend großer Amplitude bzw. Energie wird das Maximum überwunden und der Drehkörper wechselt zur Schwingung um die andere Ruhelage. Dabei ändert sich die Phasenlage der Schwingung des Drehkörpers zur Erregerschwingung und der Drehkörper wird entsprechend gebremst oder weiter beschleunigt. Deswegen schwingt er nun zunächst um diese Ruhelage oder sofort wieder zurück. Das System verhält sich chaotisch. Im vorliegenden Versuch kann dieses Verhalten gut beobachtet und nachvollzogen werden. Dieses Phänomen wird als Resonanzkatastrophe bezeichnet. 2

3 Versuchsaufbau a) Erzwungene harmonische Schwingungen Der Versuchsaufbau ist in der Abb. 1 dargestellt. Die Netzgeräte sowie die Messgeräte an den Elektromagneten der Wirbelstrombremse bzw. an den Erregermotor anschließen (Abb. 5). Stativstange in den Drehbewegungssensor einschrauben. Vorsichtig die Welle des Drehbewegungssensors S in die dafür vorgesehene Buchse des Pendelkörpers stecken (s. Abb. 3, links). Dabei den Pendelkörper nicht halten, um eine dadurch mögliche Unwucht zu vermeiden. Zur schlupffreien Verbindung der beiden Achsen soll der O- Ring auf der Welle des Drehbewegungssensors S ganz eingesteckt sein (s. Abb. 3 rechts). Sicherheitshinweis Maximale Stromstärke am Elektromagneten für die Wirbelstrombremse beachten: I max = 1 A (kurzzeitig 2 A) Abb. 3: Montage des Drehbewegungssensors S an das Drehpendel. Die Stativstange des Drehbewegungssensors S vorsichtig so auf den Tisch legen (s. Abb. 4), dass sich die beiden Achsen in gerader Verlängerung befinden. Durch das Gewicht der Stativstange wird der Drehbewegungsensor S ohne mechanische Belastung der Welle des Drehkörpers stabil gehalten Abb. 5. Anschluss der Mess- und Netzgeräte. Das Netzgerät der Wirbelstrombremse sowie den Erregermotor noch nicht einschalten. b) Chaotische Schwingungen Für die Messung chaotischer Schwingungen sind Massenstücke (Zusatzmassen) an den Drehkörper des Drehpendels in unmittelbare Nähe des Zeigers für Auslenkung zu befestigen. Es ist darauf zu achten, dass die Massenstücke symmetrisch um den Zeiger angebracht sind (Abb. 6). Den Drehkörper langsam etwas in eine Richtung auslenken und sicherstellen, dass sich dort eine Ruhelage befindet. Dasselbe für die andere Seite wiederholen. Bei Bedarf Zusatzmassen etwas umplatzieren. Abb. 6. Montage der Zusatzmassen zur Untersuchung chaotischer Schwingungen. Abb. 4: Der Drehbewegungssensors S am Drehpendel. Den Drehbewegungssensor S an das Sensor-CASSY 2 anschließen. 3

4 Versuchsdurchführung a) Erzwungene harmonische Schwingungen Einstellungen in CASSY Lab laden. Die Messung noch nicht starten! Mit Dämpfung Eine kleine Stromstärke (ca. 0,5 A) an der Wirbelstrombremse einstellen. Den Erregermotor einschalten und die angelegte Spannung beobachten. Durch die angelegte Spannung ergibt sich die Erregerfrequenz. Das Drehpendel beginnt zu schwingen. Nach der Einschwingzeit ergibt sich eine konstante Amplitude. Sobald sich die Amplitude nicht mehr ändert, Messung in CASSY Lab mit Messung starten starten. Nach Aufnahme des Messwertes Messung in CASSY Lab mit sofort wieder stoppen. Es wird lediglich nur ein Messwert aufgenommen. b ) Chaotische Schwingungen Hinweis: Bei diesem Versuch wird die Wirbelstrombremse nicht benötigt. Ggfs. das Netzgerät ausschalten bzw. nicht anschließen. Einstellungen in CASSY Lab laden. Den Erregermotor einschalten und Schwingung beobachten. Hinweis: Darauf achten, dass der Drehkörper nicht nur um eine der beiden Ruhelagen schwingt, sondern auch zwischen den beiden Ruhelagen wechselt. Ggf. Erregerfrequenz mit der an den Erregermotor angelegten Spannung verändern. Falls die entsprechende Spannung eingestellt ist Messung mit CASSY Lab mit starten. Hinweis: Schwingung über mehrere Minuten aufnehmen, damit die chaotische Natur des Pendelns deutlich wird. Messung mit CASSY Lab mit stoppen. Versuch mit anderen Erregerfrequenzen wiederholen: Dazu die Spannung am Erregermotor ein wenig verändern und wiederum Einschwingzeit abwarten. Neuen Messwert mit Messung fortsetzen aufnehmen. Nach Aufnahme des Messwertes Messung in CAS- SY Lab mit sofort wieder stoppen. Hinweis: Die Messwerte stets die Messung mit fortsetzen und nicht mit Messung Messung starten aufnehmen. Hinweise: Die aufgenommenen Messwerte liegen auf einer Kurve wie in Abb. 7 dargestellt. Falls sich die Messwerte nur in einem kleinen Bereich der Kurve konzentrieren, Messung für die fehlenden Werte fortsetzen. Erst wenn genügend Messewerte aufgenommen sind das Netzgerät an der Wirbelstrombremse ausschalten. Ohne Dämpfung Ggf. das Netzgerät an der Wirbelstrombremse ausschalten. Messungen wie oben beschrieben wiederholen. Hinweise: Die Amplitude wird bei Resonanzfrequenz so groß, dass der Drehkörper gegen die Schutzfedern schlägt. In diesem Fall die Spannung am Erreger etwas verändern. Messwert nur aufnehmen, wenn Drehkörper nicht die Schutzfedern berührt. 4

5 Messbeispiele a) Erzwungene harmonische Schwingungen Mit Dämpfung In Abb. 7 ist ein Messbeispiel der gedämpften, erzwungenen, harmonischen Schwingungen dargestellt. Die Messwerte wurden gemäß Gleichung (5) angepasst (durchgezogene Kurve): Die entsprechende Stromstärke sowie Fitparameter sind in Tabelle 1 dargestellt. Tab. 1: Fitparameter für die gedämpfte, erzwungene Schwingung I 0,43 A 28,29 199,6, 3 Abb. 7: Resonanzkurve der gedämpften, erzwungenen, harmonischen Schwingungen Ohne Dämpfung In Abb. 8 ist ein Messbeispiel der ungedämpften, erzwungenen, harmonischen Schwingungen dargestellt. Die Anpassung der Messwerte erfolgte gemäß der Gleichung (6) Die entsprechenden Fitparameter sind in Tabelle 2 dargestellt. Tab. 2: Fitparameter für die ungedämpfte, erzwungene Schwingung I 0 A 195,5, 7 3 Die Resonanzkatastrophe l b q z. Die theoretischen Kurven (5) und (6) werde durch die Messwerte hervorragend bestätigt. Hinweis: In Abb. 7 und 8 sind nicht der Auslenkwinkel, sondern die dem Auslenkwinkel proportionale Auslenkung in cm dargestellt ist. Abb. 8: Resonanzkurve der ungedämpften, erzwungenen, harmonischen Schwingungen (unterschiedlich Skalierung der Achsen: zum direkten Vergleich mit der gedämpften Schwingung oberes Diagramm wie Abb. 7) 5

6 b) Chaotische Schwingungen In Abb. 9 und 10 sind der Auslenkwinkel in Abhängigkeit von der Zeit für ein Zeitintervall von ca. 9 Minuten und ein Ausschnitt daraus über 100 Sekunden dargestellt. E sind keine sich wiederholende Muster oder Perioden zu sehen. Damit ist eine Voraussage der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit ist nicht möglich. Das System ist nicht deterministisch und verhält sich chaotisch. Eine alternative Darstellung der Dynamik eines physikalischen Systems ist das Phasendiagramm hier wird z.b. die Geschwindigkeit gegen den Ort aufgetragen. Im vorliegenden Fall die Winkelgeschwindigkeit (die erste zeitliche Ableitung des Auslenkwinkels) gegen den Auslenkwinkel. Die dabei entstehenden Kurven werden als Phasenraumbahnen bezeichnet. Aus der Mathematik ist es bekannt, dass sich bei deterministischen Lösungen der Bewegungsgleichung (im Falle einer eindeutigen Lösung, die dann für beliebig große Zeiten t bekannt ist) die Phasenraumbahnen nicht schneiden. Weiterhin sind diese Bahnen geschlossene Kurven im Fall einer periodischen Bewegung. Abb.11 zeigt das Phasendiagramm für das chaotische Drehpendel über eine Zeit von etwa 10 Minuten. Die Spiralnatur der Bahnen und das Umkreisen verschiedener Punkte in der Ebene sind klare Merkmale einer chaotischen Bewegung. Abb. 9: Chaotische Schwingungen: Aufnahmezeit 9 Minuten. Abb. 11: Phasendiagramm der chaotischen Schwingung. Es sind keine geschlossenen Bahnen zu sehen. Abb. 10: Chaotische Schwingungen: Aufnahmezeit 100 Sekunden. LD DIDACTIC GmbH Leyboldstraße 1 D Hürth Telefon: (02233) Fax: (02233) info@ld-didactic.de LD DIDACTIC GmbH Technische Änderungen vorbehalten