Musso: Physik I Teil 14 Schwingungen Seite 1

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1 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Tipler-Mosca SCHWINGUNGEN UND WELLEN 4. Schwingungen (Oscillations) 4. Harmonische Schwingung (Simple harmonic motion) 4. Energie eines harmonischen Oszillators (Energy in simple harmonic motion) 4.3 Einige schwingende Systeme (Some oscillating systems) 4.4 Gedämpfte Schwingungen (Damped oscillations) 4.5 Erzwungene Schwingungen und Resonanz (Driven oscillations and resonance) Eine Schwingung tritt auf, wenn die stabile Gleichgewichtslage eines Systems leicht gestört wird. Universität Salzburg Seite 8..6

2 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Universität Salzburg Seite 8..6

3 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 3 4. Harmonische Schwingung (Simple harmonic motion) Federschwinger als Beispiel eines harmonischen Oszillators Federschwinger: Gegenstand im Gleichgewicht F = x = Gleichgewichtslage Gegenstand um x aus Gleichgewichtslage verschoben aus Hooke'sches Gesetz (siehe Gl. (4.7) bzw. auch Gl. (.9)) Fx = kx mit k Federkonstante Aus zweites Newton'sches Axiom F i = ma Fx = max x x k d x k bzw. m dt m kx= ma a = x = x x i A Amplitude ω Winkelgeschwindigkeit δ Phasenkonstante ωt + δ Phase der Schwingung T Schwingungsdauer f oder ν Frequenz Einheit Herz (Hz) Hz = s Universität Salzburg Seite

4 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 4 zwei schwingende Systeme mit gleicher Frequenz x = Acos( ωt) und x = Acos( ωt + δ) mit n =,,,3,... wenn δ = oder n π cos( ωt + δ) = cos( ωt) beide Systeme sind in Phase wenn δ = oder (n +) π cos( ωt + δ) = cos( ωt) beide Systeme sind in Antiphase Citicorp Building, New York Schwankungen des Gebäudes durch heftige Winde reduziert durch schwingendes Dämpfungssystem mit 8 Phasenverschiebung dv d x = = = + = dt dt a ω Acos( ωt δ) ω x Universität Salzburg Seite

5 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 5 k k Aus a = ω x und a = x ω = m m Aus den Anfangsbedingungen bei t = x( t ) = x und v( t ) = v v x x = Acos δ und v = Aωsin δ tan δ = A= ωx cosδ Schwingungsdauer oder Schwingungsperiode T definiert durch xt ( + T) = xt ( ) für alle t ( ) [ ] ( ) Acos ω t + T + δ = Acos ωt + ωt + δ = Acos ωt + δ Für sinus und cosinus gilt: ωt + π + δ = ωt + δ π = ωt π Kreisfrequenz ω = = πf T Astronautenwaage m k = ω Universität Salzburg Seite

6 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 6 Beispiel 4.: Wellenreiten π y = A ( ωt + δ) A= ω = δ = 6 - Boot bewegt sich vertikal mit cos wobei. m s und : s - ω Teil a) aus f = f = =.796 Hz T = =.6 s π π f - π Teil b) Ort yt ( ) des Bootes bei t= s: yt ( = s) = (. m) cos s ( s) +.64 m 6 = Teil c) aus y = Acos ωt + δ ( ) d - - π - - π Geschwindigkeit v = y = y = ωasin ( ωt + δ) = s (. m) sin s t (.6 m s ) sin s t dt + = d Beschleunigung a = y = y - - π - - π = ω Acos ω ( t + δ ) = s (. m) cos s t (.3 m s ) cos s t dt + 6 = + 6 Teil d) Anfangswerte bei t = s: π y = Acos δ y = (. m) cos.4 m 6 = - π - v = ωasin δ v = (.6 m s ) sin 6 =.3 m s π a = ω Acos δ a = (.3 m s ) cos =.6 m s Beispiel 4.: Ein schwingender Gegenstand mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salzburg Seite

7 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 7 Beispiel 4.3: Schwingender Klotz an einer Feder - Klotz = kg, Feder = 96 N m, Auslenkung = 5 cm bei = s, m k x t Teil a) gesucht ω, f, T : - k 96 N m aus Gl. (4.8) ω = ω = = 9.9 s m kg - ω 9.9 s aus Gl. (4.) f = f = =.58 Hz bzw. T = =.635 π π f Aus der Anfangsbegingung für t = A= 5 cm und δ = - ( ) x = A ωt + δ x = t - Teil b) aus Gl. (4.4) cos( ) 5 cm cos (9.9 s ) s Beispiel 4.4: Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Federschwingers mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salzburg Seite

8 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 8 Zwei gleiche Massen, die an gleichen Federn befestigt sind, und auf einer reibungsfreien Oberfläche ruhen. aus Gl. (4.8) bzw. (4.) f k = π m Konsequenzen: Musik: die Tonhöhe ändert sich nicht (bzw. kaum) wenn ein Ton z.b. am Klavier stark oder zart angeschlagen wird. Universität Salzburg Seite

9 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 9 Harmonische Schwingung und Kreisbewegung für δ = bei t = x = A v = a = ω A T bei t = x = v = ωa a = 4 T bei t = x = A v = a = ω A 3T bei t = x = v = ωa a = 4 bei t = T x = A v = a = ω A x = Acos( ωt) v = x = ωasin( ωt) ( ) = = ω ω a x Acos t Kreisbewegung mit θ = ωt + δ und v = ωr = ωa Universität Salzburg Seite

10 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 4. Energie eines harmonischen Oszillators (Energy in simple harmonic motion) aus Emech = Ekin + Epot mit Gl. (6.) Epot = kx und x = Acos t + Epot = ka cos t +δ ( ω δ) ( ω ) E = mv v = ωa ( ωt + δ) = ω ω + δ = ω δ mit kin und sin ( ) ( + ) Ekin m A sin t ka sin t mit E = E + E mech kin pot Emech = ka cos ( ωt δ) sin ( ωt δ) ka da = θ + θ = sin cos T ( ω t + δ ) t = ( ω t + δ ) t = es gilt sin d cos d T Universität Salzburg Seite 8..6

11 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Potentielle Energie Epot als Funktion von x Gesamtenergie Emech = Ekin + Epot Da E E gilt Bewegung beschränkt auf - A x + A mech pot Beispiel 4.5: Energie und Geschwindigkeit eines schwingenden Gegenstands Körper m = 3 kg, Amplitude A = 4 cm, Periode T = s Teil a) aus Gl. (4.7) Gesamtenergie mech und aus Gl. (4.) π π Emech = m A ( 3 kg) ( 4 cm).37 J T = = s Teil b) maximale Geschwindigkeit aus mv x,max = Emech v E m ( ).37 J mech - - x,max = = =.6 m s =.6 cm s 3 kg Teil c) gesucht Ort x mit vx = vx,max aus Emech = Ekin + Epot = mvx + kx Emech = m vx,max k E = ka f = = T π m 3 3Emech Emech = kx x = = ka = A= ( 4 cm ) = 3.46 cm 4 k k + kx = mv + kx = E + kx 4 4 x,max mech Universität Salzburg Seite 8..6

12 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Allgemeine Bewegung in der Nähe des Gleichgewichts Potentielle Energie E in Abhängigkeit von x für eine stabile und eine instabile Gleichgewichtslage pot Angenäherte Parabel mit Minimum bei x : ( ) ( ) E = A+ B x x pot de F = F = B( x x ) B = k dx F = k x x harmonische Bewegung um x pot aus x x mit x Potentielle Energie Epot als Funktion von x für ein kleines Kügelchen, das auf dem Boden einer kugelförmigen Schale hin und her rollt. Gestrichelte Kurve: Näherung von E durch Parabel pot nur für kleine Auslenkungen um die Gleichgewichtslage stimmen beide Kurven überein Universität Salzburg Seite 8..6

13 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Einige schwingende Systeme (Some oscillating systems) Vertikale Bewegung des Federschwingers Gesamtkraft auf Masse m: F = ky + mg mg Auslenkung aus der Ruhelage aus ky = mg y = k mit Gesamtauslenkung y = y + y' i ( ) F = k y + y ' + mg = ky ky ' + mg = ky ' yi, i yi, d may = ky ' mit ay = y ' = y ' my ' = ky' dt k k y ' = y' Lösung y' = Acos ( ωt + δ) wobei ω = m m Wirkung der Gravitationskraft: Verschiebung der Gleichgewichtslage Gesamtkraft auf Masse ausgelenkt um y ' gegeben durch k oszilliert um Gleichgewichtslage mit ω =, m d.h. gleich wie horizontaler Federschwinger ky ', Federkraft und Gravitationskraft sind beide konservative Kräfte (verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg) Summe beider Kräfte auch konservativ Epot = W = ( Fy ) dy' = ( ky' ) dy' = ky' + E pot, Universität Salzburg Seite

14 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 4 Beispiel 4.6: Federschwinger mit Papierfedern Papierfeder, Blatt Papier mit Masse m aufgehängt Auslenkung y = 8 cm, gesucht angehängte Masse m für Schwingungsfrequenz f = Hz n ω k aus Gl. (4.) f = = und mit Hooke'sches Gesetz plus Gleichgewichtsbedingung ky π π m ( πf ) y ( π) ( Hz) n k g nk g g = mit m = nm = f = m y m y π ny n n - g 9.8 m s n = n = = 3. 3 Blatt Papier erforderlich.8 m = m g Beispiel 4.7: Perle auf einem schwingenden Block mögliche Prüfungsaufgabe Universität Salzburg Seite

15 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 5 Beispiel 4.8: Potentielle Energie eines Feder-Erde-Systems Masse m=3 kg, Federausdehnung y zusätzliche Ausdehnung y ' = 5 cm, gesucht potentielle Gesamtenergie E : = 6 cm, aus Gl. (4.3) Epot ( y' ) = ky' + Epot, Teil a) bei Gleichgewichtslage y' = E = E - ( A) ( )( ) pot 84 N m.5 m.3 J pot pot ( ) pot, - ( 3 kg)( 9.8 m s ) mg und mg ky = k = k = = 84 N m y.6 m bei maximale Auslenkung y' A 5 cm E ( A) ka = = pot = Epot = = Teil b) Sei E = für die unbelastete Feder ( m = bzw. y' = y ) aus Gl. (4.3) Epot ( y' ) = ky' + Epot, = ky + Epot, Epot, = ky 84 N m.6 m.35 J - ( )( ) Epot, = = Für die ausgelenkte Feder Epot ( A) = ka Epot ( A) = ka + Epot, =.3 J.35 J =. J - Universität Salzburg Seite

16 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 6 Das mathematische Pendel Mathematischer Pendel: Idealisierung punktförmige Masse m, masseloser Faden mit Länge L aus Auslenkung ϕ Schwingung mit Periode T Aus Kräftediagramm und F = ma Radialkomponente F T i i dφ mgcosφ = ml dt d s Tangentialkomponente mg sin φ = m mit s = Lφ dt d φ d φ g mg sin φ = ml = sin φ d t d t L Die Pendelschwingung des mathematischen Pendels ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers. d φ g = sin φ nichtlineare Differentialgleichung zweiten Grades dt L für kleine Winkel φ gilt sin φ φ d φ g d φ dt L dt Lösungsfunktion φ = φ cos ωt + δ = φ Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators = ω φ mit ( ) ω g = L aus Gl. (4.8) bei bekanntem L und T kann g bestimmt werden Universität Salzburg Seite

17 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 7 Das Pendel in einem beschleunigten System Kastenwagen beschleunigt mit a PK = a KW relativ zu den Schienen (Inertialsystem). Sei a Beschleunigung des Pendelkörpers relativ zu den Schienen wenn Pendelkörper relativ zu Kastenwagen ruht θ = θ und apk = akw bezogen auf Schienen: mg + T = mapk mg + T = makw x-komponente: + T sin θ = makw T sinθ = makw y-komponente: mg + T cosθ = T cosθ = mg Mathematisches Pendel in der Gleichgewichtslage a Division tan θ = g wenn Pendelkörper relativ zum Kastenwagen schwingt KW Beschleunigung des Pendelkörpers bezüglich des Kastenwagens apk,kw = apk akw aus mg + T = mapk mg + T = m( apk,kw + akw ) m( g akw ) + T = map K,KW mit g a = g' KW Bewegungsgleichung des Pendelkörpers im beschleunigten Bezugssystem mg ' + T = mapk,kw bei T = mg' = mapk,kw Pendelkörper würde im Kasten mit g ' unter einem Winkel zur Vertikalen fallen; bei T und Pendelkörper schwingend L Schwingungsdauer T ' = π g ' in einem beschleunigten System Mathematisches Pendel beim Schwingen in einem beschleunigten System Universität Salzburg Seite

18 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 8 Pendelschwingungen mit großer Amplitude Beispiel 4.9: Eine Pendeluhr φ / rad φ / deg Pendeluhr, genaue Zeit bei φ = sei φ <, was macht die Uhr? aus Gl. (4.3) T wird kleiner Uhr geht vor T T aus Gl. (4.3) T = T + sin φ sin φ.9 = = T % mit T = d = 44 min T T =.9% von 44 min =.73 min d - Universität Salzburg Seite

19 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 9 Das physikalische Pendel Physikalisches Pendel: ein ausgedehnter starrer Körper, der nicht in seinem Massenmittelpunkt CM aufgehängt ist. Mit Abstand D des Massenmittelpunkts CM von der Drehachse, Auslenkungswinkel φ aus der Gleichgewichtslage, und Gesamtmasse M der Auslenkung entgegengerichtetes Drehmoment τ = MgD sin φ d d d MgD mit τ = Iα = I φ I φ = MgDsin φ φ = sin φ dt dt dt I d MgD für kleine Auslenkungen ist sin φ φ φ = φ = ω φ wobei dt I ω = MgD I Für große Amplituden Reihenentwicklung Gl. (4.3) mit T aus Gl. (4.33) Übergang physikalisches Pendel mathematisches Pendel Trägheitsmoment I des mathematischen Pendels: I MD I MD D = L T = π = π = π mit Pendellänge D = L T = π MgD MgD g g Universität Salzburg Seite

20 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Beispiel 4.: Schwingungsdauer eines homogenen Stabs Homogener Stab mit Masse M und Länge L, gesucht Schwingungsdauer wenn: ML 3 = Teil a) Drehpunkt P am Stabende aus Tabelle 9. mit Abstand Achse - Massenmittelpunkt D = L I ML L aus Gl. (4.33) T = π = π = π MgD 3MgL 3g Teil b) Drehpunkt P im Abstand x vom Massenmittelpunkt CM Anwendung des Satzes von Steiner Gl. (9.3) aus Tabelle 9. I ML Mx = + = CM + I I I Mx ML + Mx L + x I aus Gl. (4.33) T = π = π = π Mgx Mgx gx für x T L + x L L L L L L für x = T = π = π = π = π gx gl g 3g x für x L T π g Beispiel 4.: Minimale Schwingungsdauer eines homogenen Stabes mögliche Prüfungsaufgabe Universität Salzburg Seite 8..6

21 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 4.4 Gedämpfte Schwingungen (Damped oscillations) Gedämpfte Schwingung Aperiodischer Grenzfall (kritische Dämpfung) und starke Dämpfung (überdämpft) Kriechfall Gedämpfter Oszillator Schwach gedämpfter Oszillator (unterdämpfte Bewegung) Reibungskraft F = - bv Ein Schwingungssystem mit einer geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft heißt linear gedämpft. Aus Gl. (4.7) E A, d.h. die Energie ist proportional dem Amplitudenquadrat der Schwingung. Für eine lineare Dämpfung Abnahme des Amplitudenquadrats ist exponentiell A Amplitude zur Zeit t = τ Zeitkonstante oder Zerfallszeit der Schwingung Universität Salzburg Seite 8..6

22 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Die Bewegungsgleichung eines gedämpften Oszillators ergibt sich wieder aus dem zweiten Newton'schen Gesetz für einen Federschwinger homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten λt Lösung mit einem Exponentialansatz x = e λ aus Lösung der quadratischen Bestimmungsgleichung λ + ( bm) λ + ( km) = ( bm) drei Fälle der gedämpften Schwingung: b. Starke Dämpfung (überdämpft): > ω m b. Aperiodischer Grenzfall: = ω m b 3. Schwache Dämpfung (unterdämpft): m < ω b b ± 4ω m m b b + + = = = ± λ λ ω λ ω m m Stoßdämpfer: Dämpfungskonstante so gewählt, daß nur ein bis zwei Nachschwingungen auftreten Universität Salzburg Seite 8..6

23 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 3 ( ω + δ) Bei schwacher Dämpfung Lösung der Bewegungsgleichung xt ( ) = At ( )cos ' t mit ( b m) t b At ( ) = Ae ω' = ω und ω = mω b Für sehr schwache Dämpfung ω' ω mω Für zunehmende Dämpfung b mω k m ω ' b Kritische Dämpfung bzw. aperiodischer Grenzfall bei = ω ' = mω Aus At ( ) = Ae A = Ae Zeitkonstante = ( b m) t ( b m) t m τ b kr bei kritischer Dämpfung = bkr = mω τkr = = mω bkr ω ungedämpfte Schwingung b = τ = τ τ kr m b ( b ) Aus Gl. (4.7) E ka m A für gedämpfter Oszillator A A e E m ' A ( bmt ) ( bmt ) t Emech = mω' A e bei schwacher Dämpfung Emech mω A e = Emech,e τ m t mech = = ω = mech = ω t Energetische Betrachtung zu E = E e τ siehe auch Gl. (4.47) und Gl. (4.48) mech mech, Universität Salzburg Seite

24 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 4 t τ t τ Aus Emech = Emech,e Differentiation nach t demech = Emech,e dt = Emechd t τ τ bei schwacher Dämpfung Energieverlust ΔEmech im Zeitintervall Δt einer Periode T ( Δ t = T) Δ Emech = EmechT τ ΔEmech T π π relative Energieabnahme während einer Schwingungsperiode = = = Emech τ ωτ Q Periode b m aus Gl. (4.37) ω' = ω mit Q = ωτ und τ = ω' = ω bei schwacher Dämpfung b und Q somit ω' ω mω b 4Q Beispiel 4.: Musik machen Klavier, mittleres c ω = 6 Hz, beim Anschlag E mech, Schwingungsenergie E nach t = 4 s auf die Hälfte gesunken mech / Teil a) aus Gl. (4.4) Emech Emech,e Emech, Emech,e t/ τ t/ t/ 4 s = e ln = τ = = = 5.77 s τ ln ln Teil b) aus Gl. (4.43) Q = ωτ Q = π 6 Hz 5.77 s = 95 t τ t/ τ = = ( )( ) ΔE T π ΔE Teil c) aus Gl. (4.44) = = = 6.6 E τ Q E mech mech 4 mech Periode mech Periode Universität Salzburg Seite

25 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite Erzwungene Schwingungen und Resonanz (Driven oscillations and resonance) Damit ein gedämpftes system in Bewegung bleibt, muß ihm mechanische Energie zugeführt werden: angetriebene oder erzwungene Schwingung. Wenn die zugeführte mechanische Energie gleich der durch die dissipativen Prozesse abgeführte Energie Amplitude bleibt zeitlich konstant stationärer Zustand. Wenn die treibende Frequenz ω gleich der Eigenfrequenz ω des Oszillators ist maximale Energie, die auf den Oszillator übertragen wird Resonanzfrequenz Resonanzkurve: die dem Oszillator durch eine periodische Anregung zugeführte mittlere Leistung Wenn Dämpfung schwach (hohes Q) Breite Δω der Resonanzkurve schmal scharfe Resonanz Für starke Dämpfung (kleines Q) Breite Δω der Resonanzkurve groß Die Breite Δω der Resonanzkurve in halber Maximalhöhe heißt Halbwertsbreite Universität Salzburg Seite

26 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 6 Ausgedehnte Objekte haben mehr als eine Resonanzfrequenz: Resonanzmuster einer Gitarre Resonanzerscheinungen im Alltag: Schaukel von außen geschubst, von innen gepumpt nicht gut ausgewuchtete Maschinen Übertragung von Vibrationen Hammerwerken Anregung von Fundamentalschwingungen in Gebäuden Glas Zerspringen mit Hilfe einer intensiven Schallwelle Resonatoren in der Hochfrequenztechnik, in der Lasertechnik Universität Salzburg Seite

27 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 7 Mathematische Behandlung der Resonanz Erzwungene Oszillation: zusätzlich zur rücktreibenden Kraft und zur Reibungskraft noch eine äußere treibende Kraft F = F cos ωt mit Kreisfrequenz ω Zweites Newton'sche Gesetz, angewendet auf einem gedämpften Oszillator: k dx d x cos ω mit ω ω cos ω kx bv + F t = ma = m x b + F t = m m dt dt Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lösung besteht aus zwei Teilen: Lösung der homogenen Differentialgleichung + partikuläre Lösung Lösung der homogenen Gleichung = Lösung des gedämpften Oszillators Gl. (4.36) ( ) ( ) ( ) b m t b m t x = A e cos ω' t + δ Einschwingvorgang, wegen e nach langer Zeit vernachlässigbar Partikuläre Lösung stationäre Lösung Auslenkung des Oszillators und treibende Kraft oszillieren mit gleicher Kreisfrequenz ω, aber Unterschied in der Phase gegeben durch δ ω ω δ ω ω δ π ω ω δ π Universität Salzburg Seite

28 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 8 Beispiel 4.3: Ein Federschwinger mögliche Prüfungsaufgabe Universität Salzburg Seite

29 Musso: Physik I Teil 4 Schwingungen Seite 9 Alonso-Finn. Schwingende Bewegung. Einführung. Kinematik der einfachen harmonischen Bewegung.3 Rotierende Vektoren bzw. Phasoren.4 Kraft und Eenrgie in der einfachen harmonischen Bewegung.5 Grundgleichungen der einfachen harmonischen Bewegung.6 Der einfache Pendel.7 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Bewegungen in der gleichen Richtung und.8 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Bewegungen in der gleichen Richtung und.9 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Schwingungen in zueinander senkrechten. Gekopplete Schwingungen. Molekülschwingungen. Anharmonische Schwingung.3 Gedämpfte Schwingung.4 Erzwungene Schwingung Universität Salzburg Seite