Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil Ia: Lösung durch Quadratur

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1 - 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil Ia: Lösung durch Quadratur I ersten Teil der Vorlesung wurde zunächst ein Überblick über Typen von Differentialgleichungen gegeben. Anschließend wurden hauptsächlich zwei Verfahren, Trennung der Variablen und Lösung linearer DGLs it konstanten Koeffizienten, vorgestellt. Wir erweitern jetzt unseren Horizont, inde wir weitere Lösungsverfahren diskutieren. Viele Problee der Physik, obwohl it DGLs foruliert, lassen sich durch systeatische Integration ( Quadratur ) lösen. Dies ist wenn öglich der einfachere Weg, der dann auch gewählt werden sollte. Allerdings sind nur bestite Foren von DGLs durch direkte Integration lösbar. Quadratur bei bestiten DGLs.Ordnung 1D Fall Betrachten wir die zunächst i eindiensionalen Fall die DGL (denken Sie dabei an das. Newtonsche Gesetz!) F() [Wichtig ist, dass die rechte Seite nur von =(t) abhängt!] Multiplizieren wir diese Gleichung it F(), so folgt 1 d Nach Integration: d F( ') d' 1 F( ') d' C1 Wir bezeichnen G( ) F( ') d'. Dann gilt ( G( ) C ) 1 d G( ) C 1

2 - - Wir integrieren nochals und erhalten d G( ) C 1 t C Dait haben wir die Lösung auf eine Quadratur zurück geführt, was i atheatischen Sinn Lösung bedeutet. Die Erittlung einer expliziten For nach Auflösen der ipliziten For ag schwierig werden. Beispiel: Haronischer Oszillator Freie Oszillationen, d.h. F( ) Multiplizieren wir diese Gleichung it, so folgt 1 d und nach Integration Das ist eine Variante des Energieerhaltungssatzes. U weiter zu integrieren, trennen wir die Variablen: d Es folgt arccos t const cos( t ) Benutzen wir das Additionstheore cos( t ) cos( t)cos( ) sin( t)sin( ), so können wir die allgeeine Lösung in der uns vertrauten For C cos( t) C sin( t) 1 schreiben.

3 - 3 - Gedäpfte Oszillationen U diese Gleichung zu lösen, führen wir eine neue Variable ein: exp t Dann gilt ( ) Es gibt drei Möglichkeiten Bezeichnen wir Dann ist, und die Lösung ist a cos( t ) aexp( t )cos( t ) Das sind die gedäpfte Schwingungen.

4 - 4 - Dann ist, und die Lösung ist ( a bt) ( a bt)exp( t ) Diese Bewegung ist aperiodisch. Dann ist die Lösung t C t C1 exp exp C1 exp( 1t) C exp( t) wobei 1 und

5 - 5-3D Fall Die bisherigen Betrachtungen können auch leicht auf 3 Raudiensionen übertragen werden. Betrachten wir z.b. die Newtonsche Bewegungsgleichungen für Kräfte, die nicht explizit von der Zeit abhängen Auch hier können wir ultiplizieren, und zwar skalar Eine einfache Uforung liefert Der Energiesatz folgt jetzt durch Integration Wir wenden uns jetzt einigen weiteren physikalischen Anwendungen zu.

6 - 6 - Child Languir Proble In der Elektrodynaik ergibt sich für das elektrostatische Potenzial einer Entladung die Child-Languir-DGL d ( x) j dx ( x) Dielektrizitätskonstante elektrische Ladung Masse j elektrische Strodichte Diese DGL erhalten wir ausgehend von der Poisson-Gleichung der Elektrostatik d ( x) dx elektrische Ladungsdichte wenn wir j ( x) v( x) v Geschwindigkeit benutzen. Die Geschwindigkeit folgt aus de Energiesatz eines geladenen Teilchens in eine elektrostatischen Potential zu v x ( x) ( ), v() () Aufgabe 16.1: Begründen Sie die Forel für die Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens in eine elektrischen Feld Newtonschen Gesetz d x() t E. d( x) E ausgehend von de dx

7 - 7 - Aufgabe 16.: Integrieren Sie die Child-Languir DGL d ( x) j dx ( x) Dielektrizitätskonstante elektrische Ladung Masse j elektrische Strodichte unter den Bedingungen () '(). Aufgabe 16.3: Stellen Sie die Bewegungsgleichung einer Rakete i Gravitationsfeld auf. Dazu betrachten wir die Bewegung eines Körpers, dessen Masse sich bei der Bewegung ändert. Nehen wir z.b. eine Rakete it Masse (t), die Gase ausstößt it der relativen Geschwindigkeit v rel zur Rakete. Das zweite Newtonsche Gesetz ist dp F wo p=v der Ipuls des Gesatsystes (Rakete+Gase) ist. Betrachten wir zwei hintereinander folgende Zeitpunkte t und t+. Dann haben wir p(t) = v p(t+) = (+d)(v+dv)+d gas v gas. d gas = - d > ist die Masse und v gas ist die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Gase. Nach de. Newtonschen Gesetz erhalten wir p(t+) - p(t) = F (+d)(v+dv)+d gas v gas - v = F Die Größe ddv ist klein (. Größenordnung) und wird vernachlässigt.

8 - 8 - Außerde gilt für die Relativgeschwindigkeit v gas = v + v rel. Dait folgt dv = v rel d + F dv v rel d F Das ist die so genannte Raketengleichung. Lösung der Raketengleichung Betrachten wir zunächst den Fall F=. Dann gilt dv = v rel d Falls die Gase direkt nach hinten ausgestoßen werden, haben wir (eindiensional v rel = - v ˆ rel x und v= vx ˆ ) dv vrel dv vreld d Falls v rel = const ist, können wir integrieren und erhalten d v vrel vrel ln C Die Anfangsbedingung ist = bei v=. Daraus folgt C= v rel ln. Die Lösung ist also v vrel ln v exp v rel Mit Gravitationsfeld gilt dv d vrel g Diese Gleichung schreiben wir u als d ( v gt) v rel d

9 - 9 - d( v gt) d vrel Die Lösung ist v gt vrel ln v gt exp v rel Diese Beziehung zeigt uns den Zusaenhang zwischen de Massenverlust der Rakete und der Geschwindigkeit bei bekannter Ausstoßgeschwindigkeit auf. Den Massenverlust kann an (denken Sie an Gas geben ) steuern. Aufgabe 16.4: Welche Masse uss die Rakete pro Sekunde ausstoßen, dait sie a Startplatz gerade verharrt und nicht beschleunigt wird? Wir setzen v= und dv : d g g gt exp vrel vrel vrel

10 - 1 - Aufgabe 16.5: Ein Boot der Masse auf eine See bewege sich it der Anfangsgeschwindigkeit v=v. Geben Sie einen allgeeinen Ausdruck an für die Strecke, die das Boot zurücklegt, bis das Boot bei Abschalten des Motors durch die Reibung auf v= abgebrest wird, wenn die Reibungskraft durch f v R gegeben ist.

11 Aufgabe 16.6: An eine Wintertag fällt eine konstante Schneeenge von ρ kg/ s pro Fläche und Zeit. Zwei Schlitten A und B it Oberfläche S und Masse bewegen sich ohne Antrieb und Reibung auf einer Ebene. Zu Zeitpunkt t = haben beide die Geschwindigkeit v. Der Fahrer von Schlitten A hält sein Fahrzeug stets schneefrei, während der Fahrer von Schlitten B sich nicht daru küert. Welche Zeit braucht jeder der beiden, u die Strecke L zurückzulegen? Schlitten A. p( t) v d p( t ) ( dp dp p( t ) p( t) vd dv dv v v v e x d S St/ v v S d)( v dv) Schlitten B p( t) v d p( t ) ( d)( v dv) dp dp dv v ln v v x p( t ) p( t) vd dv d S St v v ln t v' v St St St ln 1

12 - 1 - Aufgabe 16.7: Ein Fallschirspringer springt von eine Flugzeug bei einer Höhe

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