Die Raketengleichung (eine Anwendungzum Impulssatz)

Transkript

1 Die Raketengleichung (eine Anwendungzu Ipulssatz) Ipuls vor de Ausstoß: p Ipuls nach de Ausstoß: p R v R + Δ v R Ipulserhaltungssatz: p p Ipulse einsetzen ergibt: R v R + Δ + v R Für die Massenänderung gilt: R Δ Dies oben einsetzen, v R Δ + Δ + v R die Klaern ausultiplizieren v R Δ v R + Δ v R Δ und vereinfachen: v R Δ Von dieser Gleichung hat an aber noch nicht sehr viel. Da uns die Raketengeschwindigkeit interessiert, lösen wir danach auf: v R + Δ v R Δ v R Δ v R Δ Nun steht auf der linken Seite die Änderung der Raketengeschwindigkeit Δv v R

2 Also: Δv Δ für Δt gegen 0 geht Δv in dv und Δ in d über. Es gilt an dieser STelle noch einen wichtigen Punkt zu beachten! Auf der rechten Seite der Gleichung uss die Masse i Zähler, wie auch i Nenner auf die Rakete bezogen werden. Da die Raketenasse abnit, uss Δ durch - d ersetzt werden. Dait erhält an schließlich die endgültige differentielle For: d dv R u G U auf die tatsächliche Geschwindigkeit zu koen, üssen auf beiden Seiten der Gleichung alle diese winzigen Anteile vo Anfangswert bis zu Endwert "gesaelt" werden. Diesen Vorgang nennt an Integrieren. Man schreibt das dann so hin: v v 0 d v 0 d Genaueres lernt ihr in der Klasse 12, ebenso wie an das dann wirklich rechnet. Man erhält schliesslich folgende Lösung: v v 0 ln 0 bzw. v v 0 + ln 0 Dies ist die 1. Raketengleichung. Sie gibt die Geschwindigkeit einer Rakete i Vakuu ohne Gravitationseinfluss in Abhängigkeit von der Zeit an. Dabei ist v 0 die Anfangsgeschwindigkeit und 0 ist die Anfangsgesatasse der Rakete, also: 0 + Sei i Folgenden die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null, also: v 0 0 Dann vereinfacht sich die obige Raketengleichung zu: v ln 0 So...it dieser netten Gleichung spielen wir jetzt ein wenig heru, u deren Bedeutung zu erfahren. Erste Idee: v hängt ja von der Zeit ab. Also zeichnen wir erst einal die Geschwindigkeit v in Abhä ngigkeit von der Zeit in ein Diagra. Allerdings üssen wir uns zuvor noch kurz Gedanken über die Masse in der Gleichung achen. Diese hängt natürlich von der Zeit ab, da ja ier weiter Gas ausgestoßen wird. Bei eine konstanten Gasausstoss µ ist die zu Zeitput t ausgestoßene Masse gleich µ t und dait gilt für die Masse : 0 µ t

3 Setzen wir das und die Definition von 0 (s.o.) ein, so ergibt sich: v ln brenn + leer + µ t So jetzt geht's aber endgültig ans Zeichnen. Wir brauchen noch ein paar Werte: µ 2.5 v 200 t Man sieht an der steiler werdenden Kurve, dass die Rakete ier stärker beschleunigt, bis der Brennstoff verbraucht ist. Dieser Zeitpunkt ist gekoen, wenn die Menge des ausgestoßenen Gases µ t gleich geworden ist. Also gilt: µ t Dies uss an nur nach t' aufzulösen und an erhält: t µ Mit den obigen Werten ergibt sich eine Brenndauer von t 800 Sekunden. Zweitens: Brennschlussgeschwindigkeit Was kann an über die Endgeschwindigkeit der Rakete aussagen (bei v 0 0)? A Ende der Brenndauer (Zeitpunkt t') ist µ t' gleich der gesaten Brennstoffasse und es bleibt die Leerasse der Rakete übrig. Dait berechnet sich die Brennschlussgeschwindigkeit ittels: ln 0 Mit den oben eingegeben Werten ergibt sich: / s.

4 Was bedeutet das Ergebnis? Also zunächst kann an an der Gleichung erkennen, dass die Endgeschwindigkeit proportional zur Gasgeschwindigkeit ist. Des Weiteren hängt nur noch von den Massen ab, und zwar auf logarithische Weise. Die Endgeschwindigkeit ist also unab-hä ngig von der Ausströgeschwindigkeit µ. Die angesprochene logarithische Abhä ngigkeit der Endgeschwindigkeit acht den Raketenbauern große Problee. Das wollen wir uns jetzt noch einal etwas genauer anschauen. Dazu stellen wir das Verhältnis von Endgeschwindigkeit zur Ausströgeschwindigkeit in Abhängigkeit von den Massen dar. Das erreichen wir durch Ustellen der Gleichung: ln 0 Für die Gesatasse gilt (s.o.) : 0 + es folgt also: ln + brenn und an erhält durch kürzen: e ln 1 + Jetzt haben wir die Gleichung so ugestellt, dass das Verhältnis der Geschwindigkeiten eine Funktion des Verhältnisses von Brennstoffasse zur Leerasse der Rakete ist. Zu Zeichnen dieser Beziehung geben wir den Verhältnissen neue Bezeichnungen: v Verh Verh und erhalten: v Verh ln 1+ Verh Der Funktionsgraph sieht folgenderaßen aus:

5 Der Funktionsgraph sieht folgenderaßen aus: v Verh Verh Man erkennt, dass selbst bei eine großen Verhältnis der Brennstoffasse zur Leerasse von 60 nur eine ca. vierfach höhere Geschwindigkeit, als die Austrittgeschwindigkeit des Gases erreicht werden kann. Zu beachten ist hierbei, dass zu Leegewicht ja auch die Nutzlast gehört. Es ist also sehr probleatisch große Nutzlasten auf hohe Endgeschwindigkeiten zu bringen. Hier einige Werte der Ausströgeschwindigkeiten, die heute erreicht werden: Feststoffraketen: Flüssigkeitsraketen: Hybrid-Antriebe: 1700 bis 2450 /s 2600 bis 3850 /s 2500 bis 4350 /s Be: U den Einflussbereich der Erde zu verlassen, uss eine Rakete eine Geschwindigkeit von 11,2 k/s erreichen. Diese Geschwindigkeit nennt an auch Fluchtgeschwindigkeit oder 2. kosische Geschwindigkeit. (Wie an die errechnet, kot später.) Die konstruktive Obergrenze für einstufige Raketen liegt bei ca. 15:1, woit sofort deutlich wird, dass an it einstufigen Raketen die Fluchtgeschwindigkeit nicht erreichen kann. Erst recht nicht, wenn an bedenkt, dass unsere Berechnungen bis lang ohne Schwerkrafteinfluss und ohne Berücksichtigung von Reibungseffekten geacht wurden!

6 Drittens: Rakete unter Schwerkrafteinfluss (Näherung: gconst) Bei senkrechten Wurf nach oben gilt: v y v g t it g 9.81 Für die Geschwindigkeit v nehen wir die oben hergeleitetete Raketengleichung und erhalten die Geschwindigkeitsfunktion der Rakete während des Brennvorgangs v( t ). (Die Variable ist jetzt der übersichtlichkeit halber it Schatten gedruckt) v tttt ln brenn + leer g tttt + µ tttt Hier noch einal die Werte: µ 10 g 9.81 Berechnen der Brenndauer t' µ t t µ t 100 Wie sieht v( t ) nach Brennschluß aus? Es handelt sich hier u einen Wurf nach oben, also: v Wurf tttt v 0 g tttt v_0 ist die Brennschlussgeschwindigkeit, ist also: v 0 v t Jetzt ist noch zu beachten, dass diese Bewegungsart ja erst nach Brennschluss stattfindet, also die Zeit u t' verschoben werden uss. Es gilt also für die Geschwindigkeit nach Brennschluss: v nach tttt v t g tttt t Insgesat erhalten wir folgende zusaengesetzte Funktion für die Geschwindigkeit: v t t < t v tttt v nach t t t Diese Funktion sieht folgenderaßen aus:

7 ,5x 1x y t Man erkennt sehr schön die beiden unterschiedlichen Fälle. Zunächst die Beschleunigung der Rakete während des Brennens der Triebwerke und anschlie ßend der Geschwindigkeitsabfall nach Brennschluss. Jetzt stellt sich noch die Frage, wie es sich it der Steighöhe der Rakete verhält. U das zu klären, üssen wir den allgeeinen Zusaenhang der Mechanik zu Hilfe nehen, dass die zurückgelegte Strecke die " Saelgröße" all der kleinen Streckenabschnitte ist, die i laufe der Zeit zurück gelegt werden. Matheatisch ausgedrückt sieht das so aus: tt t s tttt v τ d τ 0 Den Funktionsverlauf (sprich das "Aufsaeln") können wir ohne die Funktion extra anzugeben vo Coputer berechnen lassen. Das schaut dann so aus: 1x x x x y 2x t

8 Nach Brennschluß ist ein parabelföriger Verlauf zu erkennen, den wir ja schon von der senkrechten Wurfbewegung kennen. Ist ja auch klar...nach Brennschluss verhält sich die Rakete wie ein hochgeworfener Stein. Jetzt berechnen wir noch die axiale Höhe der Rakete. Wenn die Rakete ihren höchsten Punkt erreicht hat, ist die Geschwindigkeit gerade wieder auf Null abgesunken (vergl. Diagra oben). Den Zeitpunkt, an de dies geschieht nennen wir al t''. Er berechnet sich durch Nullsetzten von v_nachher. v nach t 0 und dait (s.o.) g t + t + v t 0 Diese Gleichung nach t'' auflösen v t t + t g und ausrechnen. t So, die axiale Höhe y_ax ist der Funktionswert der Höhenfunktion s( t ) an der Stelle t''. Also: s t y ax und dait y ax s y ax Geschafft :-) Ein Dokuent von St. Lück (Kontakt: liveath@slueck.de)