2.2 Turnübungen Wir rechnen paarweise das kgv und anschließend den ggt der drei kgv: ggt( kgv( 2,18),kgV( 2,12),kgV( 18,12)

Transkript

1 Hans Walser, [ a] Zwischen ggt und kgv 1 Motivation In der Schule lernte an den Satz, dass das Produkt zweier Zahlen gleich de Produkt ihres größten geeinsaen Teilers (ggt) it ihre kleinsten geeinsaen Vielfachen (kgv) ist: a 1 a 2 = ggt( a 1,a 2 ) kgv( a 1,a 2 ) Und dann ka der erhobene Zeigefinger: Gilt aber nicht für drei Zahlen. Mich hat das als Schüler irritiert. 2 Beispiel it drei Zahlen Rechnen wir al it a 1 = 2, a 2 = 18 und a 3 = ggt und kgv Für ggt und kgv erhalten wir: ggt( 2,18,12)= 2 kgv( 2,18,12)= 36 ggt( 2,18,12) kgv( 2,18,12)= 2 36 = 72 Andererseits ist: = 432 Nun haben wir: ggt( 2,18,12) kgv( 2,18,12)= 2 36 = = Auf der linken Seite des Ungleichheitszeichens fehlt ein Faktor 6. Was hat es dait auf sich? 2.2 Turnübungen Wir rechnen paarweise das kgv und anschließend den ggt der drei kgv: ggt( kgv( 2,18),kgV( 2,12),kgV( 18,12) )= ggt( 18,12, 36)= 6 Nun achen wir es ugekehrt: kgv( ggt( 2,18),ggT( 2,12),ggT( 18,12) )= kgv( 2,2,6)= 6 Wir koen bei beiden Verfahren auf die fehlende Zahl Prifaktorzerlegungen Wir arbeiten it der Prifaktorzerlegung: Es ist: a i = p i, j j

2 Hans Walser: Zwischen ggt und kgv 2/5 a 1 = 2 = 2 1 a 2 = 18 = a 3 = 12 = Wir tabellieren die Exponenten; falls eine Prizahl nicht als Prifaktor vorkot, schreiben wir den Exponenten null. 1 0 = Nach de in der Schule gelernten Verfahren ist: in 1,1,2 ggt( 2,18,12)= 2 ( ) in 0,2,1 3 ( ) = = 2 1 = 2 ax 1,1,2 kgv( 2,18,12)= 2 ( ) ax 0,2,1 3 ( ) = = 4 9 = 36 Bei drei Zahlen gibt es aber zwischen de Miniu und de Maxiu noch die Zahl in der Mitte. Die Statistiker nennen dies den Median. Nun rechnen wir dait: edian 1,1,2 2 ( ) edian 0,2,1 3 ( ) = = 2 3 = 6 Dies ist offensichtlich die fehlende Zahl dazwischen. Was soll dieses Bild? 3 Beispiel it vier Zahlen Wir arbeiten it a 1 = 702, a 2 = 168, a 3 = 36 und a 4 = kgv und ggt Es ist: ggt( 702,168, 36,105)= 3 kgv( 702,168, 36,105)= ggt( 702,168, 36,105) kgv( 702,168,36,105)= = Andererseits ist: = Wir haben einen fehlenden Faktor:

3 Hans Walser: Zwischen ggt und kgv 3/ = Turnübungen Bei vier Zahlen gibt es sechs ögliche Paare. Wir rechnen paarweise das kgv: kgv( 702,168)= kgv( 702, 36)= 1404 kgv( 702,105)= kgv( 168, 36)= 504 kgv( 168,105)= 840 kgv( 36,105)= 1260 Anschließend berechnen wir den ggt der sechs kgv: ggt( 19656,1404, 24570,504,840,1260)= 6 Nun gehen wir ugekehrt vor. Wir berechnen zuerst paarweise den ggt: ggt( 702,168)= 6 ggt( 702,36)= 18 ggt( 702,105)= 3 ggt( 168,36)= 12 ggt( 168,105)= 21 ggt( 36,105)= 3 Für das kgv der sechs ggt ergibt sich: kgv( 6,18, 3,12,21,3)= 252 Wir erhalten zwei verschiedene Zahlen. Das Produkt der beiden Zahlen ist aber gerade der fehlende Faktor. 4 Hintergrund 4.1 Prifaktorzerlegungen Wir gehen aus von n Zahlen a 1,, a n und nehen deren Prifaktorzerlegung. Dabei sei die Nuer der größten überhaupt vorkoenden Prizahl. a i = p i, j j Wir erhalten die Exponententablle : 1,1 1, = i, j = n,1 n, Nun ordnen wir die Spalten der Exponententabelle der Größe nach, die kleinen oben. Die Eleente der so geordneten Tabelle nennen wir k, j. Es ist also: Dait definieren wir: 1, j n, j, j { 1,,} b k = p k, j j, k 1,,n { }

4 Hans Walser: Zwischen ggt und kgv 4/5 Die erste Zahl, also b 1, enthält jeweils das Miniu der bei einer Prizahl vorkoenden Exponenten. Soit ist b 1 = ggt( a 1,, a n ). Entsprechend ist b n = kgv( a 1,, a n ). Auf Grund des Anordnens der Exponenten der Prifaktoren erhalten wir die Teilerkette b 1 b 2 b 3 b n. Da wir in den b k insgesat dieselben Prifaktoren haben wie in den a i, gilt: n b k i=k n = a i Dait ist das zahlentheoretische Proble einer Jugend gelöst. 4.2 Beispiel Zur Illustration nochals das Beispiel it den vier Zahlen: a 1 = 702 = Exponententabelle: Spalten der Größe nach geordnet: Das ergibt die Zahlen b i : i=1 a 2 = 168 = a 3 = 36 = a 4 = 105 = = = b 1 = = 3 = ggt( 702,168,36,105) b 2 = = 6 b 3 = = 252 b 4 = = = kgv( 702,168,36,105) Die Zahlen 6 und 252 erhielten wir oben auch bei den Turnübungen.

5 Hans Walser: Zwischen ggt und kgv 5/5 4.3 Miniax U von n Zahlen i, j unter ausschließlicher Verwendung der beiden Funktionen in (Miniu) und ax (Maxiu) zu Beispiel die drittkleinste zu finden, bestien wir zunächst von allen Teilengen it genau drei Zahlen (es gibt 3 n ( ) solcher Teilengen) je das Maxiu und anschließend das Miniu dieser Maxia. Nun ja, das ist ja wohl nicht die effizienteste Methode des Anordnens, aber lustig ist die Überlegung alleal. Allgeein gilt für die k-t-kleinste Zahl k, j : ( ) k, j = in ax i 0<i 1 <<i k n 1, j,, i k, j Daraus ergibt sich sofort: b k = ggt kgv ( a i1,,a ik ) 0<i 1 <<i k n Analog gilt unter Vertauschung der Operationen: n+1k, j = ax in i 0<i 1 <<i k n 1, j,, ( i k, j ) Und entsprechend: b n+1k = kgv ggt ( a i1,,a ik ) 0<i 1 <<i k n Nun verstehen wir auch die Ergebnisse der Turnübungen.