Übungsaufgaben. Was für Buchstaben gilt, gilt leider nicht für Zahlen! 4, ,75638

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1 Übungsaufgaben Luat enier Stidue an der elingshcen Cabridge Unvirestiät ist es eagl, in wlehcer Rienhnelfoge die Bcuhtsbaen in enie Wrot sethen, das enizg wcihitge dbaei ist, dsas der estre und Izete Bcuhtsbae a rcihgiten Paltz snid. Der Rset knan ttolaer Bölsdinn sein, und an knan es torzted onhe Porbele lseen. Das ghet dseahlb, wiel das neschilche Geihrn nciht jdeen Bchustbaen liset sodnern das Wrot als Gnaezs. Was für Buchstaben gilt, gilt leider nicht für Zahlen! 4, ,75638 Dies ist bei Eintippen von Zahlen in den Taschenrechner dringend zu beachten! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-1

2 Erstabgabe Übung nicht abgegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-2

3 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-3

4 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: Physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit oder sybolisch G = {G} * [G] T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-4

5 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? Wie viele signifikante Stellen bei Mittelwert? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-5

6 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: Zusaengefasst gelte folgende Konvention: Ist der Fehler geschätzt: EINE signifikante Stelle. Ist der Fehler berechnet (Fehlerrechnung oder Messreihe): ZWEI signifikante Stellen. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-6

7 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? Wie viele signifikante Stellen bei Mittelwert? Standardabweichung Spannweite / 4 = 2,25 Standardfehler = Standardabweichung/20 0,50 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-7

8 Beispiel: Studiendauer Diplo 40 Seester Anzahl Anzahl der Absolventen Studiendauer / Seestern Die eisten der Studenten achen die Diploprüfung nach 11 Seestern (Modus). Die ittlere Studiendauer ist 12,5 Seester (Median). Liegt der Median zwischen zwei ganzen Zahlen, wird geittelt, z.b. 12,5 Seester (Es gibt detailliertere Regeln). Der Mittelwert der Studiendauer ist 13,2 Seester (Mittelwert Mean) Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größte und kleinste Wert. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-8

9 Übungsaufgaben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-9

10 Übungsaufgaben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-10

11 Übungsaufgaben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-11

12 Standardfehler Konkretes Beispiel Nuer Zeit/s 1 10,1 2 10,1 3 10,2 4 10,2 5 10,1 6 10,1 7 10,2 8 10,2 9 10, ,1 s t t 1 n s t n n i 1 i 1 t i n 1 s 2 t ti t n 1 10,140s 0, s 0, s t 10,140 0,016s T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-12

13 Standardfehler Konkretes Beispiel Nuer Zeit/s 1 10,1 2 10,1 3 10,2 4 10,2 5 10,1 6 10,1 7 10,2 8 10,2 9 10, ,1 Annahe: Wir essen nicht 10 al eine Schwingung, sondern einal 10 Schwingungen. T 10 = 101,5 s 10, 150 s 0, 10 / 10 s 0, 010 s 10,150 0, 010 s Sind die beiden Messungen iteinander vereinbar? t 10,140 0,016 s 10,14 s 10,15 s Die beiden Messwerte überlappen i Rahen ihrer Fehlerbalken, also die Messungen sind iteinander vereinbar. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-13

14 Übungsaufgaben 85, s 24 0, s T n n??????? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-14

15 Übungsaufgaben Diese Schwingungsdauer ist sicher genauer bestit als wenn wir den Mittelwert aus 24 geessenen Einzelschwingungen nehen, bei der jede Messung auf 0,1 s genau ist. Wenn wir die Zeit T 24 für 24 Schwingungen essen, dann ist die Genauigkeit der 24 Schwingungen 0,1 s. Das bedeutet, eine Schwingung ist auf s 0,1 s = 0, s 24 genau geessen. Dies ist der Grund, waru bei einer Fehlerberechnung die Unsicherheit auf zwei signifikante Stellen angegeben wird, obwohl die Ausgangsgröße nur auf eine signifikante Stelle geschätzt wurde. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-15

16 Übungsaufgaben Was ist ein relativer Fehler? Wir erinnern uns: E = ( x x ) x: Schätzwert oder wert x: Messungenauigkeit oder Messabweichung x/x: Relativer Fehler T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-16

17 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: s c c n T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-17

18 Wie bestie ich den Fehler einer physikalischen Größe, die ittels ehrerer Einzelessungen bestit wurde? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-18

19 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Die wenigsten physikalischen Größen werden direkt, sondern eist ittels ehrerer Einzelessungen bestit Wie gehen die Fehler dieser Einzelessungen in das Endergebnis ein? p v v 0, 623 0, 014 kg 9,12 0,31 /s wert: p = 5,68176 kg /s Wie groß ist der Fehler des Ipulses? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-19

20 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Wie groß ist der Fehler des Ipulses? Größter Wert des Ipulses i Rahen der Fehlergrenzen der Einzelessungen p = v = (0, ,014) (9,12 + 0,31) kg /s = 6,00691 kg /s Kleinster Wert des Ipulses i Rahen der Fehlergrenzen der Einzelessungen p = v = (0,623 0,014) (9,12 0,31) kg /s = 5,36529 kg /s In vielen Büchern wird dann folgendes geacht: Fehler des Ipulses entspricht der Hälfte des Intervalls zwischen größte und kleinste Wert p = ½ (6, ,36529) kg /s = 0,32081 kg /s Endergebnis: p = (5,68 ± 0,32) kg /s Dieses Vorgehen ist nicht ganz korrekt T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-20

21 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Wie groß ist der Fehler des Ipulses? Genauere Betrachtung: wert: p = 5,68176 kg /s Maxialwert: p = 6,00691 kg /s Minialwert: p = 5,36529 kg /s p Max p = 0,325 kg /s p Min p = 0,316 kg /s 033, p 568, kg/s 032, Dies ist unübersichtlich, daher: Endergebnis: p = (5,68 ± 0,33) kg /s Dies wäre dann der Größtfehler und als Angabe besser als der halbierte Wert oder ein asyetrischer Fehler T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-21

22 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Das bislang vorgestellte Verfahren ist extre aufwändig und bei koplexen physikalischen Größen äußerst unübersichtlich Geht es einfacher? (geessenes ) 1 best (geessenes v) v 1 v v (wert von p) v T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-22

23 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Größter Wert für p = v: v 1 1 v v v 1 v v v v Konvention: v 1 v v T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-23

24 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung v v v v v v v v v v v v v Kleinster Wert für p = v: Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler

25 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Zusaenfassung : v 1 v v p p p v 1, wobei p p v best Die Fehlerfortpflanzung nach Gauß wird folgendes Ergebnis liefern: 2 2 p v p v Dies ist der wahrscheinliche und nicht der axiale Fehler T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-25

26 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Fehler. C A B C A B C A B C A / B C A B C A B Die Gauss sche Fehlerfortpflanzung wird für beide Fälle ergeben: Wahrscheinlicher Fehler: 2 2 C A B C A B C A B 2 2 C A B C A / B C A B T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-26

27 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Der relative Fehler des Ipulses ist die Sue der relativen Fehler der Einzelgrößen Dies gilt bei allen Produkten und Quotienten v 0, 623 0, 014 kg 9,12 0,31 /s v v 0,014 0, ,2 % 0,623 0,31 0, ,4 % 9,12 p v 2, 2% 3,4% 5,6% p v p 5, 6 % p 0, 056 5, 682 kg /s 0,318 kg /s p (5, 68 0,32) kg /s T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-27

28 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Der auferksae Student wundert sich an dieser Stelle: p (5, 68 0,32) kg /s In vielen Büchern wird dann folgendes geacht: Fehler des Ipulses entspricht der Hälfte des Intervalls zwischen größte und kleinste Wert p = ½ (6, ,36529) kg /s = 0,32081 kg /s Endergebnis: p = (5,68 ± 0,32) kg /s Dieses Vorgehen ist nicht ganz korrekt Die Linearisierung erzeugt eine Näherung das ist natürlich nur eine Abschätzung! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-28

29 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung Analoges Vorgehen wie bei Produkt Beispiel aus de Praktiku: Dichte der Luft Luft 1 2 Glas Luft Glas L Größter Wert für L Kleinster Wert für L Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Suen und Differenzen

30 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung Bei Suen und Differenzen addieren sich die absoluten Fehler. B A C B A C B A C B A C Die Gauss sche Fehlerfortpflanzung wird für den wahrscheinlichen Fehler ergeben: 2 2 B A C B A C Wahrscheinlichster Fehler Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Suen und Differenzen

31 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 1 Beispiel aus de Praktiku: Dichte der Luft L 1 2 V V V = (16,73 0,21) c 3 1 = (10,3420 0,0020) g 2 = (10,3210 0,0020) g L = 0,0210 g = 1, g c -3 Differenz: L 1 2 0,0040 g Quotient: L L V V 0,0040 0,21 0,190 0,013 0, 203 0, ,73 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-31

32 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 1 Bei der Arbeit i Praktiku gilt: Es ist ier besser einen Größtfehler anzugeben als gar keinen Fehler. Allgeein gilt: Durch Mittelwertbildung und die Berechnung des Standardfehlers iniiert an ier nur statistische (zufällige) Fehler. Systeatische Fehler bleiben erhalten, gewinnen sogar relativ zu den zufälligen Fehlern an Bedeutung. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-32

33 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 1 Beispiel aus de Praktiku: Dichte der Luft L 1 2 V V V = (16,73 0,21) c 3 1 = (10,3420 0,0020) g 2 = (10,3210 0,0020) g L = 0,0210 g = 1, g c -3 Differenz: L 1 2 0,0040 g Quotient: L L V V 0,0040 0,21 0,190 0, 013 0, 203 0, ,73 (1, 26 0, 25) 10 g c 3 3 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-33

34 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 1 Größtfehler: L L V V 0,203 Grobe Abschätzung: L V 0,1900,013 V L Wahrscheinlicher Fehler: 2 2 L V L V 0,1904 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-34

35 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 iung der Dichte eines Körpers it der Auftriebethode G K L G K Fl F G G L Fl A K K L K FL K Fl K g gv K V L K K Fl L K V K Fl K L K Fl K L K Fl K L K K Fl L Fl K K T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-35

36 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 L K K Fl L Fl K K 13,8973 0, 0001 g L K 8,6147 0,0001 g Fl K Fl 3 0,997g/c Walcher: Tabelle A3.1 Einsetzen ergibt: K 3 2, g/c Die Größtfehler sind:, 2, g/c KMax 3 und KMin, 2, g/c 3 Dait ergibt sich für die Dichte: K = (2,62288 ± 0,00012) g/c 3 Dies ist das Ergebnis einer stupfsinnig angewandten Fehlerrechnung. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-36

37 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 L K K Fl L Fl K K K = (2,62288 ± 0,00012) g/c 3 Dies ist das Ergebnis einer stupfsinnig angewandten Fehlerrechnung. Fl = (0,997 ± 0,000..) g/c 3 ist nicht fehlerfrei, auch wenn der Wert einer Tabelle entnoen wurde. Stellenzahl gibt häufig auch die Genauigkeit wieder. Ein genauerer Wert als K =2,62 g/c 3 ergibt keinen Sinn, wenn ich ich nicht beühe, Fl genauer zu bestien. Die Messethode ist zu gut, verglichen it den nicht geessenen Ausgangsgrößen. Es ergibt wenig Sinn, die Fläche eines Kreises auf 8 Stellen genau anzugeben, wenn = 3,14 verwendet wird. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-37

38 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-38

39 Wahrscheinlichkeitsdefinition Die Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses ist der Quotient der günstigen Fälle zur Zahl der öglichen Fälle. W E Z Z E Anzahlder für E günstigen Ereignisse Anzahlderöglichen, gleich wahrscheinlichen Eleentarereignisse Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1. Die Wahrscheinlichkeit des unöglichen Ereignisses ist 0. 0 W 1 Je näher W an 1 ist, desto wahrscheinlicher ist ein Ereignis. I täglichen Leben wird die Wahrscheinlichkeit oft in % angegeben. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-39

40 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten Zu Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine "6" auf eine sechseitigen Würfel zu würfeln: 1/6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A 1 = { 2, 4, 6 }? Das Ereignis A 1 lässt sich zerlegen in die Eleentarereignisse E 2, E 4 und E 6 Es gilt für die Wahrscheinlichkeit von A 1 W(A 1 ) = W(E 2 ) + W(E 4 ) + W(E 6 ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 Obige Addition von Wahrscheinlichkeiten ist nur dann korrekt, wenn die Ereignisse E i einander ausschließen. Einander ausschließen heißt, an kann entweder eine 2 eine 4 oder eine 6 würfeln. Es gibt auch Ereignisse, die sich nicht ausschließen. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-40

41 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten Es seien A und B Teilengen von A AB B Der Durchschnitt (Schnitt) von A und B: Die Menge der Eleente von, die gleichzeitig zu A und zu B gehören, heißt Durchschnitt: A B oder AB A B Die Vereinigung von A und B: Die Menge der Eleente von, die zu A oder zu B gehören, heißt Vereinigung. Ein Eleent kann auch zu beiden gehören (Oder ist nicht zu verwechseln it entweder oder) A B T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-41

42 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten Allgeein gilt: Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt und die Vereinigung zweier Einzelereignisse ist: Wenn stochastisch unabhängig: AB W (A B) = W (A) * W (B) A B W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) A B T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-42

43 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten Zusaengefasst für stochastische Unabhängigkeit: W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) W (A B) = W (A) * W (B) Da an bei eine Würfel nicht gleichzeitig eine "2" und eine "3" würfeln kann, ist die Wahrscheinlichkeit, eine "2" oder eine "3" zu würfeln, gleich der Sue der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, also ergibt sich: Sind A und B sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, ist also W (AB) = W (A B ) = 0, dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung von A und B: W (A B) = W (A) + W (B) 1/6 + 1/6 = 1/3 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-43

44 Rechnen it Wahrscheinlichkeiten Beispiel : Kartenspiel it 52 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Dae oder ein Herz zu ziehen? 52 Karten haben vier Daen und 13 Herz, davon ist eine Karte Herz-Dae. W (A B) = W (A) + W (B) W (A B) W (A B) = W (A) * W (B) W (A B) = 13/52 + 4/52 (13/52*4/52) 4 W (A B) = 13/52 + 4/52-1/52 = 16/52 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-44