Der Umgang mit Unsicherheiten

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1 Manfred Drosg Der Umgang mit Unsicherheiten Ein Leitfaden zur Fehleranalyse facultas

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Wissenschaftlichkeit Sichere (fehlerfreie) Daten 16 2 Grundlegendes über Daten Was ist Messen? Wissenschaftlich relevante Messungen (Schätzwert) Direkte Vergleichsmessungen Indirekte Vergleichsmessungen Was heißt analog, was digital? Umgang mit Datenwerten (Zahlen) Geltende Ziffern Verkürzen von Zahlen Rundung Rundung auf die nächste gerade Ziffer 25 3 Grundlegendes über Unsicherheiten (Fehler) Typische Quellen der (inneren) Unsicherheit (Beispiel) Eichunsicherheit Linearitätsunsicherheit Digitalisierungsunsicherheit Definitionen Begriffsklärung Notwendige Voraussetzung Abweichungen (Zufällige) Unsicherheiten Explizite Angabe der Unsicherheit Signifikante Stellen (implizite Unsicherheit) Verwendung ganzer Zahlen Rundungsunsicherheiten Größtfehler (Toleranzen) Abgrenzung (Schranken) Ausreißer" Vorgangsweise beim Auftreten eines Ausreißers Unsicherheit einer einfachen Messung Länge Kreisfläche 39

3 8 3.4 Unsicherheiten zusammengesetzter Größen Konsequenzen aus der quadratischen" Addition Quadratische" Subtraktion 45 4 Zufallige Ereignisse (radioaktiver Zerfall) Zeitliche Verteilung von radioaktiven Ereignissen Untersetzung Zählverluste (Totzeit) Direkte Korrektur der Totzeit ( live time") Korrektur mit Hilfe eines Impulsgenerators Regelmäßige Signale Unsicherheit durch Induktion (Beispiel) Eigenschaften von (geordneten) Datensätzen Zentralmaße Streuungsmaße (Äußere) Unsicherheit von Datenwerten Auswertung des Beispiels Reproduzierbarkeit innerhalb von Datensätzen Lineare Regression (kleinste Abweichungsquadrate) 65 5 Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Häufigkeitsverteilung (Spektrum) Merkmale von Verteilungen Merkmale unimodaler Verteilungen Wirkung der Datenunsicherheit auf die Verteilung Differenzielle Nichtlinearität Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomial-Verteilung Poisson-Verteilung Normal-(Gauß-)Verteilung Eigenschaften der Normalverteilung Die Gaußsche Fehlerfunktion Statistische Sicherheit Der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten 88 6 Unsicherheit durch Deduktion Theoretische Situation Praktische Situation Schätzwerte mit Hilfe innerer Unsicherheiten Zählung von Kernstrahlung Innere und äußere Unsicherheiten Toleranzen von Widerständen 98

4 6.2.3 Faltung von Unsicherheitsverteilungen Zum Vorzeichen der Unsicherheit Vom Nutzen wiederholter Messungen Im Falle innerer Unsicherheiten Im Falle äußerer Unsicherheiten Ausgleichsrechnung (kleinste Abweichungsquadrate) Gewichteter Mittelwert Ausgleichsgerade (Gewichtete Lineare Regression) Allgemeiner Fall der Ausgleichsrechnung Datenkonsistenz innerhalb von Datensätzen Kriterium von Chauvenet Verwerfen von Daten mit inneren Unsicherheiten Korrelationen Allgemeines Zusammenhangsmaß Korrelierte (systematische) innere Unsicherheiten Vorzeichen der systematischen" Unsicherheit Abgrenzung zu unkorrelierten Unsicherheiten Unsicherheit eines einzelnen Datenwertes Unsicherheiten bei Mehrfachmessungen (Beispiele) Weitere Beispiele korrelierter Unsicherheiten Kalibrierung von Messgeräten Zählung Wirkungsquerschnittsmessung Zusammenfassung Gibt es äußere Skalenunsicherheiten? Abgrenzung zu Systematischen Fehlern" Grobe Fehler" Korrekturen Unterlassene Korrekturen Fehlerhafte Korrekturen Unnötige Korrekturen Korrelationen bei der Linearen Regression Ausgleichsgerade mit Gewichtung (Beispiel) Ausgleichsgerade ohne Gewichtung (Beispiel) Signifikanz linearer Korrelationskoeffizienten Datenkonsistenz zwischen Datensätzen Widersprüchliche Datensätze (Beispiel) Abhängige (korrelierte) Datensätze Anschauungsmodell Scheibenschießen 149

5 10 8 Der rechnerische Umgang mit Unsicherheiten Rechenoperationen mit beiden Unsicherheitsarten Unsicherheit von Summen Unsicherheit von Differenzen Unsicherheit von Produkten Unsicherheit von Quotienten Unsicherheit von Potenzen (Wurzeln) Unsicherheit bei exotischeren Funktionen Gesamtunsicherheit Kombination von beiden Unsicherheitsarten Gesamtunsicherheit eines einzelnen Schätzwertes Gesamtunsicherheit von Datensätzen Systematische Unsicherheiten von Messparametern Innere Unsicherheiten im diagnostischen Einsatz Die Verlässlichkeit des Space Shuttles Analogie zum Bayesschen Prinzip Der CHI-Quadrat Test Güte eines Fits Darstellung bzw. Abschätzung von Unsicherheiten Graphische Darstellung, auch von Unsicherheiten Grundlegendes Diagramme Unsicherheitsbalken (Fehlerbalken) Unsicherheitsfläche (Fehlerfläche) Linearisierung Korrekte Darstellung von Unsicherheiten Bestimmung der Größe von inneren Unsicherheiten Ideale Methode bei der Bestimmung der Unsicherheit Praktikable Methoden die Unsicherheit zu bestimmen Abschätzung der Größe von inneren Unsicherheiten Abschätzung nach oben Abschätzung nach unten Rückwirkung der Unsicherheit auf das Experiment Messoptimierung Gründe für und gegen eine Messoptimierung Gängige Planungskriterien für ein Experiment Optimierung von Untergrundmesstmgen Optimierung einer einfachen Untergrundmessung Optimierung einer aufwendigen Untergrundmessung Optimierung in Hinblick auf die Totzeit 193

6 Optimierung in Bezug auf die erwartete Kurvenform Optimierung bei waagrechten Abhängigkeiten Optimierung bei linearen Abhängigkeiten Optimierung des Winkels bei einer Winkelverteilung Optimierung der Gesamtunsicherheit Die quasiabsolute Messmethode 199 Lösungen der Übungsaufgaben 207 Stichwortverzeichnis 214