Aufgabensammlung. Kurzbeschreibung. Aufgabe. x ) ax 4 + b und a,b IR beschrieben werden, die Form der Oberseite durch eine quadratische Funktion g.

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1 Geeinsae Abituraufgabenpools der Länder Aufgabensalung Aufgabe für das Fach Matheatik Die Aufgabe zeigt exeplarisch die Anforderungen einer Aufgabe in einer eigenständigen Abiturprüfung zur Fachrichtung Technik an beruflichen Gynasien. Kurzbeschreibung Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsittel erhöht B Analysis CAS Aufgabe BE Eine Anlage, die ein Kraftwerk it Kohle versorgt, besteht aus eine Förderband und eine Bunker. Der Bunker ist aus eine zylinderförigen und eine kegelförigen Teil zusaengesetzt (vgl. Abbildung ). Die Dichte der Kohle beträgt, t. Abb. a Zeigen Sie, dass der Bunker etwa t Kohle fasst. Abbildung zeigt den Querschnitt der Kohle auf de beladenen Förderband. Die For der Unterseite der Kohle kann i eingezeichneten Koordinatensyste durch eine Funktion f it f (= x ) ax + b und a,b IR beschrieben werden, die For der Oberseite durch eine quadratische Funktion g. Abb.

2 Aufgabe b Eritteln Sie die Funktionstere von f und g. (6 x ), g( x ) = (zur Kontrolle: f ( x ) = ( x + ) ) c Zeigen Sie, dass die Querschnittsfläche der Kohle auf de Förderband einen Inhalt von 0 d hat. Unter de Massenstro der Kohle an einer bestiten Stelle versteht an die Masse der Kohle, die an dieser Stelle in einer bestiten Zeit vorbeitransportiert wird. d Berechnen Sie den Massenstro der Kohle auf de Förderband in Tonnen pro Sekunde, wenn das Band it einer Geschwindigkeit von 6 s läuft. U den Bunker it Kohle zu befüllen, lässt an das stets beladene Förderband anlaufen. Während des Anlaufens kann die zeitliche Entwicklung des Massenstros der Koh An ( t ) =j e kt, An it le auf de Förderband odellhaft ithilfe einer Funktion j,k IR beschrieben werden. Dabei ist t die seit Beginn des Anlaufens vergangene Zeit An ( t ) der Massenstro in Tonnen pro Sekunde. Abbildung zeigt in Sekunden und An, der sich der Geraden it der Gleichung y =,6 asyptotisch den Graphen von nähert. ( ) Abb. e Eritteln Sie ithilfe von Abbildung Näherungswerte von j und k. f Beschreiben Sie die Bedeutung der beiden Konstanten j und k i Sachzusaenhang. Mit de Ende des sechs Sekunden dauernden Anlaufens erreicht das Band seine axiale Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit bleibt bis zu Zeitpunkt t, zu de der Antrieb abgeschaltet wird, erhalten. Anschließend läuft das Förderband bis zu Stillstand sechs Sekunden lang aus. Während des gesaten Vorgangs des Befüllens wird die zeitliche Entwicklung des Massenstros der Kohle auf de Förderband durch it eine Funktion An ( t ) =,6 e 6 t +,6; 0 t < 6 = ( t ) k= ( t ),6; 6 t < t 6 ( t t ) ; t t t + 6 ( t )=,6 e. beschrieben. Abbildung zeigt den Graphen von

3 Aufgabe Abb. g Zeigen Sie rechnerisch, dass während des Anlaufens etwa 7, t Kohle in den Bunker fallen. aus de Graphen der Funktion h Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion An hervorgeht. i Zeigen Sie rechnerisch ohne Verwendung einer Stafunktion, dass während des laufens etwa, t Kohle in den Bunker fallen. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. j Weisen Sie rechnerisch nach, dass vo Beginn des Anlaufens bis zu Abschalten des Antriebs etwa s vergehen dürfen, dait der zunächst leere Bunker auch dann nicht überfüllt wird, wenn ih während des Befüllens keine Kohle entnoen wird. Der Antrieb des Förderbands soll nun zu Zeitpunkt t nicht abgeschaltet, sondern bis zu Stillstand allählich verringert werden. Während des so geänderten laufens kann die zeitliche Entwicklung des Massenstros der Kohle auf de Förderband i * it Modell durch eine quadratische Funktion * ( t ) = p ( t t ) +,6, p IR \ {0} und t t t +,6 p beschrieben werden. k Bestien Sie den Wert von p so, dass während des laufens nach der Änderung Kohle der gleichen Masse wie bei sofortige Abschalten des Antriebs in den Bunker fällt. Berechnen Sie die Zeitersparnis, die it der Änderung verbunden ist. Das Förderband wird durch einen langen Stahlträger getragen. Die auf den Stahlträger wirkende Streckenlast wird durch die Funktion q it q ( x ) = 8000 angegeben. Dabei ist x der Abstand von eine Ende des Trägers in Metern und q ( x ) die Streckenlast in Newton pro Meter. I Hinblick darauf, ob der Stahlträger der Belastung standhält, ist das Biegeoent relevant, das 0 kn nicht überschreiten darf. Das Biegeoent lässt sich durch eine Funktion M beschreiben, dessen Zusaenhang it der Streckenlast durch die Gleichung M ( x ) = q ( x ) dargestellt wird. Dabei ist M die zweite Ableitung von M und M ( x ) das Biegeoent in Newtonetern. Es soll angenoen werden, dass das Biegeoent an jede der beiden Enden des Stahlträgers null ist. l Bestien Sie den Funktionster von M. (zur Kontrolle: M( x ) = 000 x x ) Untersuchen Sie, ob der Stahlträger der Belastung standhält. 0

4 Erwartungshorizont Erwartungshorizont Der Erwartungshorizont stellt für jede Teilaufgabe dar, in welche Ufang und in welcher For eine Lösung erwartet wird; nicht alle Lösungen sind dazu vollständig ausgeführt. Nicht dargestellte korrekte Lösungen sind als gleichwertig zu akzeptieren. a ( ) π + π, t t b f ( 0) b = =, 6 ( ) f = 0 a = g( x) = cx + d, c,d IR ; g0 ( ) d = =, ( ) = = g 0 c BE c 0, 0, ( ( ) ( )) g x f x dx = 0, Die Querschnittsfläche der Kohle auf de Förderband hat einen Inhalt von d. h. von 0 d. 0,, t t s s 0, 6, =,6 d e Da sich der Graph von nähert, ist j =,6. An ( ) liefert k 0,8. An der Geraden it der Gleichung y =,6 asyptotisch f g Der Wert von j gibt an, welche Wert in Tonnen pro Sekunde sich der Massenstro it der Zeit nähert. Der Wert von k bestit, wie schnell die Geschwindigkeit des Förderbands zunit; je größer der Wert von k, desto schneller. 6 An ( t) dt 7,, 0 Es fallen also etwa 7, t Kohle in den Bunker. h Der Graph von geht unter Beachtung der Reihenfolge aus de Graphen von hervor durch: An. Verschiebung u,6 in negative y-richtung. Spiegelung an der t-achse. Verschiebung u t in positive t-richtung i Der Inhalt der Fläche, die der Graph von it der t-achse sowie den Geraden t = t und t = t + 6 einschließt, ist gleich de Wert der Differenz aus de Inhalt eines Rechtecks it den Kantenlängen 6 und,6 sowie de Inhalt der Fläche, die der Graph von it der t-achse und der Geraden t = 6 einschließt. An t Dait: ( ) An ( ) t 0 t dt = 6,6 t dt, Während des laufens fallen also etwa, t Kohle in den Bunker.

5 Standardbezug j k 6 t + 6 ( ) ( ) ( ) t dt + t 6,6 + t dt liefert t. An 0 t t,6 p + * t dt, ergibt sich p, t ( ),6,. 6, d. h. die Zeitersparnis beträgt etwa s. l Wegen M ( x) = q( x) = 8000 hat M( x ) die For ( ) r,s IR. Mit M( 0) = M( ) = 0 ergeben sich r = 8000 und s= 0. M x = 000x + rx + s it Das axiale Biegeoent tritt aufgrund der Syetrie in der Mitte des Stahlträgers auf. M( 6) = 000 Das axiale Biegeoent beträgt kn, der Stahlträger hält also der Belastung stand. 0 Standardbezug BE Leitideen allgeeine atheatische Kopetenzen Teilaufg. Anforderungsbereich L L L L L K K K K K K6 I II III a X X I X b X X II II II X c X X X I I I X d X X I I I X e X X II II II X f X II III II X g X X II II II X h X X II II II X i X X III III II X j X X X II II X k X X X III II II X l X X III III II X X X II II II X Für jede Kopetenz, die bei der Bearbeitung der Teilaufgabe eine wesentliche Rolle spielt, ist der Anforderungsbereich (I, II oder III) eingetragen, in de die Kopetenz benötigt wird.

6 Bewertungshinweise Bewertungshinweise Die Bewertung der erbrachten Prüfungsleistungen hat sich für jede Teilaufgabe nach der a rechten Rand der Aufgabenstellung angegebenen Anzahl axial erreichbarer Bewertungseinheiten (BE) zu richten. Für die Bewertung der Gesatleistung eines Prüflings ist passend zur Konzeption der Aufgaben der Aufgabensalung und des Abituraufgabenpools ein Bewertungsschlüssel vorgesehen, der angibt, wie die in den Prüfungsteilen A und B insgesat erreichten Bewertungseinheiten in Notenpunkte ugesetzt werden. Der Bewertungsschlüssel ist Teil des Dokuents Beschreibung der Struktur, das auf den Internetseiten des IQB zu Download bereitsteht. 6