Moderne Theoretische Physik WS 2013/ Kraft auf Stromverteilung: (10 Punkte)

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik WS 013/014 Prof. Dr. A. Shniran Blatt 4: Lösung Dr. B. Narozhny Besprechung Kraft auf Stroverteilung: 10 Punkte) a) Lösung 1. Wir betrachten einen unendlich kleinen, rechteckigen Strokreis. Jede beliebige Stroverteilung kann als eine Zusaenstellung solcher Kreisen dargestellt werden. Beschreiben wir die Seiten AB und BC it der Hilfe von vektoren a und b. Die Kräfte, die auf die Seiten AB und CD wirken, sind F AB = I a B 1, FCD = a B, wo B 1 und B die entsprechende Mittelwerten des Magnetsfeldes sind. Weil B 1 B = b B 1, die Sue der Kräfte ist F 1 = I a B b = Iab e y B = M e y B, wobei das agnetische Moent ist. M = Iab = IS

2 Ebenso ist die Sue der Kräfte, die auf die Seiten DA und BC wirken, F = M e z B. y Die gesate Kraft ist F = F 1 + F = M { e z B y e y B Das ergibt für B = B x e x + B y e y + B z e z : { Bx F = M y e y + B x e z B y y e x B } z e x. Benutzen wir jetzt die Maxwell-Gleichung Dann B = 0 } B y y + B z = B x x. { Bx F = M y e y + B x e z + B } x x e x. Nehen wir an, dass es keine durchgehende Ströe gibt. Dann und deswegen B = 0 B x y = B y x, B x F = M x B x e x + B y e y + B z e z ) = M B x.. = B z x, Weil das agnetische Moent M die Richtung e x hat, finden wir das Ergebnis F = M ) B. b) Lösung. Beerken wir, dass das hoogene Magnetfeld keine Kraft anwendet F = d 3 r j B0) ) = d 3 r j B0) = 0, weil d 3 r j = 0. Dann betrachten wir die räuliche Änderung des inhoogenen Feldes B r) bis zur führenden Ordnung: B r) B0) + r i ib0) +...,

3 sodass F d 3 r j r i ib0). Zur Darstellung der Kreuzprodukte kann der total antisyetrische Levi-Civita- Tensor ɛ ijk verwendet werden. Es gilt: c i = a b) i = ɛ ijk a j b k. j=1 k=1 Weiterhin gilt a j b i a i b j = k ɛ kji a b, k weil ɛ ijk ɛ il = δ jl δ k δ j δ kl. Wir benutzen auch, dass für die Koponenten der quellfreien Strodichte j gilt d 3 r r i j j + j i r j ) = 0. Es folgt: F K d 3 rɛ kl j l r i i B 0) d 3 rɛ kl j l r i j i r l ) B 0) = il il d 3 rɛ kl ɛ pil r j i B 0) = p ilp d 3 r δ ki δ p δ kp δ i ) r j i B 0) = p ip { } d 3 r r j k B 0) r j B 0). k Der lezte Ter verschwindet, weil B = 0. I ersten Ter benutzen wir die Definition M = 1 d 3 r r j. Wir finden F k = M k B 0) und zwar F = M ) B.

4 . Leiterschleife i Magnetfeld: 10 Punkte) a) Finden Sie die Geschwindigkeit vt) der Leiterschleife während ihres Falls durch das Magnetfeld als Funktion von t. Hinweis: Der durch die elektrootorische Kraft E in eine Leiter it Widerstand R induzierte Stro I ist gegeben durch I = E/R. Die Bewegungsgleichung des vorliegenden Probles lautet d vt) = F g F l t) it der Gravitationskraft F g = g in Richtung e z und der Lorentzkraft F l welche auf die Leiterschleife der Masse wirkt. Da sich für t > 0 das untere Ende der Leiterschleife nicht ehr i Magnetfeld B = 0, B 0, 0) T befindet, gilt F l = I l B it der Paraetrisierung l = a, 0, 0) T. Für die Elektrootorische Kraft E die in der Leiterschleife, welche die Fläche S it der noralen n uschließt, den Stro I induziert, gilt E = d B n da. S Man beachte, das von der bewegten Leiterschleife aus gesehen B = B x, t) gilt. Daher uss die totale Ableitung d durch die konvektive Ableitung ersetzt werden: d = + v. t Setzt an B ein folgt wegen der Divergenzfreiheit und des Stokes schen Satzes E = B n da B t vt) d l S Da das Magnetfeld selbst jedoch für einen bestiten Aufenthaltsort x = xt) der Leiterschleife konstant ist, verschwindet das erste Integral. Für das zweite Integral erhält an B vt) d l = B 0 v z t)a. c Mit I = E/R R = Widerstand der Leiterschleife) und der Substitution folgt dann für die Bewegungsgleichung d vt) K = B 0a R + K vt) = e z g. Da B n, v e z und sich die Lorentzkräfte auf die Seiten der Leiterschleife parallel zu v aufheben, findet die Bewegung der Leiterschleife nur in e z Richtung statt. c

5 Daher reicht es, nur die z-koponente der Bewegungsgleichung zu betrachten. Die hoogene Gleichung hat dann die Lösung vz ho t) = k e Kt und eine Lösung der inhoogenen Gleichung ist v inho z t) = g K. Die Anfangsbedingung v0) = 0 liefert für die Konstante k = g K und soit v z t) = g K 1 e Kt ). b) Berechnen Sie die axiale Geschwindigkeit v ax der Leiterschleife während ihres Falls durch das Magnetfeld i Grenzfall a. Geben Sie den Zahlenwert für v ax für eine Leiterschleife aus Aluiniu Massendichte ρ =.70 g c 3, spezifischer Widerstand ρ = Ω ) in eine Magnetfeld von 1T an. Für eine gegeben Massendichte ρ gilt = 4Aaρ und für einen gegebenen spezifischen Widerstand ρ ist R = 4aρ/A. Einsetzten liefert v z t) = 16gρρ ) 1 exp B 0 t. B0 16ρρ Die axiale Geschwindigkeit wird erreicht für t, daher v ax = li t v z = 16gρρ B 0 und für die gegebenen Zahlenwerte it T=kg C 1 s 1 und Ω= kg C s 1 ) v ax = /s Ω kg/ 3 1T s