Abstrahlung von Quellen, Green sche Funktionen

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Nicolas Schneider
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1 Übung 7 Abgabe: bzw Elektroagnetische Felder & Wellen Frühjahrsseester 218 Photonics Laboratory, ETH Zürich Abstrahlung von Quellen, Green sche Funktionen 1 Nahfeld und Fernfeld des strahlenden elektrischen Dipols (45 Pkt.) Zeitabhängige und insbesondere zeitharonische Ströe generieren elektroagnetische Strahlung it einer charakteristischen Wellenlänge i Mediu λ ed = 2πc ed /ω, die durch die Lichtgeschwindigkeit i Mediu und die Frequenz gegeben ist. Eine eleentare Strahlungsquelle ist der elektrische Dipol, eine punktförige zeitharonische Strodichte j(r) = iωpδ(r r ) it (koplexe) Dipoloent p. Das gesate Strahlungsfeld dieser eleentaren Strahlungsquelle birgt eine erstaunliche Koplexität, die in ihrer Gesatheit in der Green schen Funktion enthalten ist. In dieser Aufgabe achen wir uns it der Green schen Funktion vertraut und betrachten sodann das Strahlungsfeld des oszillierenden Dipols einerseits in seiner unittelbaren Ugebung (Nahfeld) sowie andererseits in grosser Entfernung (Fernfeld). (a) (5 Pkt.) Verwenden Sie die Green sche Funktion it R = r r in kartesischen Koordinaten [( G (r, r exp [ikr] ) = 1 + ikr 1 ) 3 3ikR k 2 R 2 ] RR I + 4πR k 2 R 2 k 2 R 2 R 2, (1) u die elektrischen Felder (E x, E y, E z ) eines zeitharonischen Dipols it Dipoloent p = pn z, gelegen a Ursprung r =, zu forulieren. (b) (1 Pkt.) Zeigen Sie, dass die elektrischen Felder dieses strahlenden Dipols in sphärischen Koordinaten lauten E r = p cos θ e ikr [ 2 4πεε r k2 k 2 r 2 2i ], (2) kr E θ = p sin θ 4πεε e ikr r k2 [ 1 k 2 r 2 i kr 1 ], (3) E φ =. (4) Hinweis: Die kartesischen Einheitsvektoren lassen sich folgenderassen durch die sphärischen ausdrücken n x = sin θ cos φ n r + cos θ cos φ n θ sin φ n φ (5) n y = sin θ sin φ n r + cos θ sin φ n θ + cos φ n φ (6) n z = cos θ n r sin θ n θ. (7) Schreiben Sie weiterhin x, y, z als Funktion von r, θ, φ und erleichtern Sie sich Ihre Rechnung durch Einführen geeigneter Abkürzungen für Brüche und Vorfaktoren. 1

2 (c) (optional) Verwenden Sie eine Maxwell Gleichung, u aus den elektrischen Feldern des elektrischen Dipols in Gl. (2) (4) das agnetische Feld herzuleiten H r = H θ =, (8) H φ = 1 p sin θ e ikr [ Z 4πεε r k2 i ] kr 1. (9) (d) (4 Pkt.) Wir betrachten nun die Felder des Dipols in grosser Entfernung von der Quelle. Forulieren Sie die elektrischen und agnetischen Fernfelder E FF und H FF des elektrischen Dipols für rk 1. Begründen Sie, waru für die Fernfelder lediglich Tere in linearer Ordnung in r 1 bedeutsa sind. (e) (6 Pkt.) Leiten Sie aus den Maxwell Gleichungen folgende Relation für die elektrischen und agnetischen Felder einer ebenen Welle in eine hoogenen Mediu it Brechungsindex n her H(r) = 1 Z [n k E(r)], (1) wobei n k der Einheitsvektor in Richtung des Wellenvektors ist. (f) (6 Pkt.) Überzeugen Sie sich, dass die Fernfelder des strahlenden Dipols aus Teilaufgabe (d) lokal die For ebener Wellen haben, also die Transversalitätsbedingung in Gl. (1) erfüllen. Arguentieren Sie anschaulich, waru die abgestrahlten Felder weit von der Quelle ebenen Wellen gleichen. Was bedeutet weit von der Quelle quantitativ, d.h., welches ist die charakteristische Länge, gegen die sätliche Abstände i Elektroagnetisus zu essen sind? (g) (7 Pkt.) Schliesslich veranschaulichen wir uns noch die Abstrahlcharakteristik des elektrischen Dipols. Berechnen Sie den Betrag des zeitgeittelten Poynting Vektors S aus den Fernfeldern. In welche Richtung zeigt der Poynting Vektor? Erstellen Sie einen zweidiensionalen Polarplot der Energieflussdichte in Abhängigkeit des Polarwinkels θ. In welche Richtung relativ zur Dipolachse ist die Abstrahlung axial? Zeichnen Sie die Dipolachse ein, beschriften Sie die Winkel und norieren Sie S auf den Maxialwert S ax. Unter welche Winkel wird keine Leistung abgestrahlt und unter welche Winkel wird die axiale Leistung abgestrahlt? (h) (4 Pkt.) Wir wenden uns nun den Feldern des strahlenden Dipols in seiner unittelbaren Ugebung zu. Forulieren Sie die elektrischen und agnetischen Felder des strahlenden Dipols E NF und H NF in der Näherung r und beschränken Sie sich dazu auf Tere der höchsten auftretenden Ordnung r 3. (i) (optional) In der Aufgabe 3 der Übung 2 haben Sie bereits das Potential des statischen elektrischen Dipols it Dipoloent p stat entlang der n z Richtung hergeleitet Φ(r) = p stat 4πεε cos θ r 2. (11) Bestien Sie aus de Potential in Gl. (11) das elektrische Feld E stat (r) des statischen elektrischen Dipols und zeigen Sie, dass für das elektrische Nahfeld des strahlenden Dipols 2

3 gilt E NF (r, t) = Re[E stat (r)e iωt ]. (12) In unittelbarer Nähe des strahlenden Dipols ist sein Feld also von der For des Feldes eines statischen Dipols, ultipliziert it eine zeitharonischen Faktor. Was bedeutet nahe quantitativ? (j) (3 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Nahfelder des oszillierenden elektrischen Dipols keinerlei Energie abstrahlen, inde Sie den daraus resultierenden Poyntingvektor betrachten. 3

4 2 Magnetischer Dipol (55 Pkt.) Die Kounikation über elektroagnetische Wellen erfordert nicht nur Detektoren sondern auch Strahlungsquellen. Während wir uns in der ersten Aufgabe it de elektrischen Dipol befasst haben, wenden wir uns in dieser Aufgabe einer zweiten eleentaren Strahlungsquelle zu, de agnetischen Dipol. Wir betrachten dazu eine kreisförige Leiterschleife u den Ursprung it Radius a in der xy-ebene in eine hoogenen Mediu it Brechungsindex n = εµ, wie in Abb. 2 dargestellt. In der Leiterschleife fliesse ein zeitharonischer Stro I bei der Frequenz ω. Der Querschnitt des Leiters sei infinitesial dünn, so dass sich die koplexe Strodichte in zylindrischen Koordinaten schreiben lässt als j(r) = I δ(r a)δ(z) n φ. (13) I Folgenden leiten wir das Strahlungsfeld der Leiterschleife her i Liit, dass der Radius der Leiterschleife viel kleiner sei als der Abstand des Beobachters vo Ursprung. z r = (x,y,z) a θ φ x Abbildung 1: Skizze der infinitesial dünnen Leiterschleife it Radius a in der xy-ebene it Beobachtungspunkt r in sphärischen Koordinaten. (a) (2 Pkt.) Wie lautet die reelle zeitabhängige Strodichte j(r, t)? (b) (optional) Zeigen Sie, dass die koplexe Strodichte in Gl. (13) in Kugelkoordinaten lautet j(r) = I r δ(r a)δ(θ π 2 ) n φ. (14) Hinweis: Das Integral der Strodichte über den Leiterquerschnitt uss gerade den Stro ergeben. Wir widen uns nun der Berechnung des räulichen Vektorpotentials j (r ) e ik r r A(r) = µ µ 4π r r dv, (15) V aus de wir schliesslich das agnetische Feld B(r) und daraus das elektrische Feld E(r) berechnen können. Das Integrationsvoluen V schliesse die Leiterschleife koplett ein. 4

5 (c) (12 Pkt.) Berechnen Sie zunächst den Ausdruck r r in den sphärischen Koordinaten r, θ, φ und r, θ, φ. Berücksichtigen Sie dabei, welche Werte r annehen kann. Hinweis: Schreiben Sie die Ortsvektoren in der For r = An x + Bn y + Cn z. (d) (optional) Entwickeln Sie den Integranden des Vektorpotentials in Gl. (15) i Grenzfall a r. Zeigen Sie dazu, dass in erster Ordnung bezüglich a/r gilt e ik r r 4π r r eikr [ 1 + a 4πr r sin θ cos ( φ φ ) ] (1 ikr). (16) Hinweis: Die Identität cos α cos β + sin α sin β = cos(α β) kann hilfreich sein. (e) (12 Pkt.) Verwenden Sie Ihre Resultate aus den Teilaufgaben (b) und (d) u zu zeigen, dass das Vektorpotential lautet A(r) = µ µa 2 I 4r 2 e ikr (1 ikr) sin θ n φ. (17) Hinweis: Der Einheitsvektor in aziuthaler Richtung lautet als Superposition kartesischer Einheitsvektoren n φ = sin φ n x +cos φ n y. Achten Sie genau darauf, über welche Koordinaten integriert wird. Die Integrale 2π dα sin α cos α =, sowie 2π dα sin 2 α = 2π dα cos 2 α = π ögen hilfreich sein. (f) (9 Pkt.) Berechnen Sie aus de Vektorpotential A(r) das agnetische Feld H(r) des strahlenden agnetischen Dipols. (g) (9 Pkt.) Bestien Sie nun ithilfe einer Maxwell-Gleichung das elektrische Feld E(r) des agnetischen Dipols aus seine agnetischen Feld H(r). (h) (11 Pkt.) U die Relation zwischen den Feldern des elektrischen und des agnetischen Dipols zu bestien, führen wir das agnetische Dipoloent = AI ein, wobei A die von der Leiterschleife eingeschlossene Fläche sei. Zeigen Sie, dass sich die agnetischen Feldkoponenten des agnetischen Dipols Hi (it i = r, θ) aus den elektrischen Feldern des elektrischen Dipols Ei e ergeben laut H i = E e i p 1 c ed Z, (18) während sich das elektrische Feld des agnetischen Dipols Eφ des elektrischen Dipols Hφ e berechnen lässt nach aus de agnetischen Feld E φ = He φ p Z c ed, (19) wobei wir it c ed die Lichtgeschwindigkeit i Mediu und it Z seine Wellenipedanz bezeichnet haben. Hinweis: Die Felder des elektrischen Dipols sind Ihnen aus Aufgabe 1 bekannt. 5

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