Komplexe Wechselstromrechnung

Transkript

1 0. Oktober 06 Inhaltsverzeichnis Einleitung Komplexe Zahlen 3 Beschreibung von Wechselstromkreisen mittels komplexer Zahlen 4 4 Anwendung der komplexen Wechselstromrechnung 7 5 Literatur 0 Einleitung Eine zentrale Aufgabe der Mathematik ist es, Lösungen für Gleichungen zu finden. Anhand x + () sehen wir, dass die Lösbarkeit von Gleichungen von der zugrunde liegenden Zahlenmenge abhängt. In den natürlichen Zahlen N {,, 3,...} hat () keine Lösung. Führen wir die negativen Zahlen {,, 3,...} ein, so wird die Gleichung durch gelöst. Diese bilden zusammen mit den natürlichen Zahlen und der Null die ganzen Zahlen Z. Analog führt x zu den rationalen Zahlen Q, der Menge aller gemeinen Brüche, und zu den reellen Zahlen. Jedoch bereitet x x () selbst in den reellen Zahlen Probleme. Um () lösbar zu machen, ist die Einführung einer weiteren Menge von Zahlen nötig: Den komplexen Zahlen C.

2 Komplexe Zahlen Wir können () lösen, indem wir schlicht eine Lösung i definieren. Es gilt also i. Damit haben wir unser Problem zwar auf eine sehr simple Weise gelöst, allerdings ist noch nicht klar, ob auch x + x + 0 (3) eine Lösung besitzt. In der Hoffnung, mit (3) und allen weiteren Polynomen klarzukommen, definieren wir die Menge der komplexen Zahlen. Definition. Die Menge der komplexen Zahlen ist C : {r + is r, s }. Sei a + ib, c + id C. Wir nennen a den eal- und b den Imaginärteil von a + ib und schreiben e(a + ib) : a sowie Im(a + ib) : b. Addition und Multiplikation sind wie folgt auszuführen: (a + ib) + (c + id) :(a + c) + i(b + d), (4) (a + ib) (c + id) :(ac bd) + i(ad + bc). (5) Interpretieren wir a+i0 als a, so sind die reellen Zahlen in den komplexen enthalten. Jemanden mit wenig Erfahrung in formaler Mathematik mag es verwundern, dass wir definiert haben, wie wir komplexe Zahlen addieren und multiplizieren. Die egeln (4) und (5) erscheinen unter Verwendung von i intuitiv nachvollziehbar. Schließlich erhielten wir (4) durch schlichte Klammersetzung und (5) durch bloßes ausmultiplizieren. Allerdings ist a+ib a priori ein neues Objekt. Ohne weitere Informationen könnte es sich um ein Schriftzeichen handeln, welches für ein bestimmtes Wort steht. Erst dank (4) und (5) werden die Elemente von C zu Objekten, auf denen wir echenoperationen ausführen können, also zu Zahlen. Selbstverständlich sind die egeln für die Ausführung der Addition und der Multiplikation zweier komplexer Zahlen genau so gewählt, dass wir mit ihnen wie üblich rechen können und lediglich i beachten müssen. Das werden wir im Folgenden tun. An dieser Stelle ist noch nicht klar, ob zu einer komplexen Zahl a+ib die multiplikative Inverse a + ib existiert. Zunächst notieren wir folgende Beobachtung: Folgende Umformung bietet sich an: (a + ib)(a ib) a aib + iba i b a + b. a + ib a ib (a + ib)(a ib) a ib a + b a a + b + i b a + b. Wir haben die multiplikative Inverse einer komplexen Zahl bestimmt. Da a ib dabei eine zentrale olle zukam, geben wir ihr einen eigenen Namen. Definition. Sei z a + ib C. Die zu z komplex konjugierte Zahl ist Ferner ist der Betrag von z ist gegeben durch z : z : a ib. z : zz a + b. Mit existieren ist hier gemeint, dass es sie gibt und sie Element der komplexen Zahlen ist.

3 Als nächstes widmen wir uns verschieden Darstellungsformen komplexer Zahlen. Dazu benötigen wir den folgenden Satz 3. Sei x. Dann gilt die Eulersche Formel e ix cos(x) + i sin(x). Beweis. Siehe Kapitel.4 in []. Es kann sogar x C gewählt werden, siehe []. ichard Feynman bezeichnete diese Formel ehrfurchtsvoll als unseren Juwel [3]. Für x π erhalten wir die bemerkenswerte Gleichung e iπ + 0. Sie vereint die fünf zentralen Zahlen der Mathematik 0,, e, π und i. Mithilfe der eulerschen Formel können wir die Zahl a + ib in die Form re iϕ bringen. re iϕ r cos(ϕ) + ir sin(ϕ)! a + ib a + b r ( cos (ϕ) + sin (ϕ) ) r a a + b cos(ϕ), b sin(ϕ) (6) a + b Die Gleichungen (6) lassen sich für a > 0 durch ϕ arctan ( ) b a (7) lösen. Allgemein setzen wir ϕ arg(a, b), wobei arg die Argumentfunktion ist. Sie wird in [] näher diskutiert. Wir werden uns jedoch bei der Berechnung von ϕ auf (7) beschränken, da in unseren Beispielen a 0 gegeben sein wird. Stellen wir die komplexe Zahl a + ib als den Vektor (a, b) dar (siehe Abbildung ), so wird eine geometrische Interpretation von r und ϕ möglich. (r, ϕ) entspricht dem Vektor Im a + ib b ϕ r a e Abbildung : Darstellung der komplexen Zahl a + ib re iϕ als Vektor (a, b). (a, b) in Polarkoordinaten. Deshalb nennen wir re iϕ die Polardarstellung der komplexen Zahl a + ib. Zum Abschluss dieses Kapitels weißen wir noch auf den Fundamentalsatz der Algebra hin. Für a 0 gilt ϕ ± π, wobei das Vorzeichen gleich dem von b ist (siehe Abbildung ). 3

4 Satz 4. Jedes nicht konstante komplexe Polynom besitzt in C wenigstens eine Nullstelle. Beweis. Ein elementarer Beweis wird in [4] geführt. Eleganter geht es mit dem Satz von Liouville aus der Funktionentheorie []. Dieser Satz gewährleistet nicht nur die Lösbarkeit der in den ersten beiden Kapiteln genannten, sondern aller nicht konstanter Polynome in den komplexen Zahlen. Eine formalere Einführung der komplexen Zahlen über zweidimensionale Vektoren wird in [, 5] dargeboten. Auf die algebraische Bedeutung von C wird in [6] näher eingegangen. 3 Beschreibung von Wechselstromkreisen mittels komplexer Zahlen Nicht nur zum Lösen mathematischer Gleichungen sind komplexe Zahlen geeignet. In der Physik gibt es viele Teilbereiche, in denen sie eine geeignete Darstellung der Naturgesetze erlauben. Beispielsweise ist die einen quantenmechanischen Zustand beschreibende Wellenfunktion komplexwertig (siehe z.b. [7]). Wir beschäftigen uns mit der Beschreibung physikalische Größen in Wechselstromkreisen mit Hilfe von komplexen Zahlen. Ein Kondensator befinde sich wie in C L I U (a) Kondensator I U (b) Spule I U (c) Widerstand Abbildung : Verschiedene Bauelemente im Wechselstromkreis. Abbildung a im Wechselstromkreis. Die Spannung sei durch U U 0 cos(ωt) gegeben. Wir suchen den Strom I. Dazu verwenden wir die für den Kondensator gültige Gleichung Q CU. Q CU U 0 cos(ωt) I dq dt ωcu 0 sin(ωt) (8) Alternativ ist folgender Ansatz möglich: Da U e(u 0 e iωt ), können wir statt mit U mit der komplexen Spannung Û U 0e iωt rechnen. Wir fordern, dass für Û und die komplexen Größen Î und ˆQ die gleichen Gesetze wie für U, I und Q gelten. Somit erhalten wir Î d ˆQ dt iωcu 0e iωt. Der ealteil von Î ist gleich der physikalische Lösung (8). Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass die Zeitabhängigkeit von Î und Û durch den Faktor eiωt gegeben ist. Folglich ist deren Quotient zeitunabhängig. Wir definieren ihn als den komplexen Widerstand Z : Û Î U 0e iωt iωcu 0 e iωt iωc. 4

5 Analog können wir mit dem in Abbildung b dargestellten Stromkreis verfahren. Für die Spule gilt U L di dt, Î Ûdt L L Daraus erhalten wir ihren komplexen Widerstand Z Û Î iωl. U 0 e iωt dt U 0e iωt iωl. Für eine Widerstand im Wechselstromkreis (siehe Abbildung c) gilt wie im Gleichstromkreis Z Û Î U I. Wir können die Kirchhoffschen Gesetze benutzen, um den Gesamtwiderstand einer Verschal- Z I Z n I n U U n U Z U n Z n I I n I U (a) eihenschaltung I U (b) Parallelschaltung Abbildung 3: Verschaltung mehrerer Bauelemente im Wechselstromkreis. tung von Bauelementen (siehe Abbildung 3) zu bestimmen. Für eine eihenschaltung wie in Abbildung 3a gilt Î Î... În, (9) Û Û Ûn ÎZ ÎnZ n (9) Î(Z Z n ), Z Z Z n. Im Parallelstromkreis, der in Abbildung 3b dargestellt ist, erhalten wir Û Û... Ûn, (0) Î Î În Û Z Ûn (0) Û Z n ( Z Z n Z Z Z n. ), 5

6 Die komplexen Gesamtwiderstände können analog zu ohmschen Widerständen im Gleichstromkreis berechnet werden. Zwar haben wir dem komplexen Widerstand interessante Eigenschaften nachgewiesen, aber was teilt er uns physikalisch mit? Wir betrachten ein Bauelement mit komplexen Widerstand Z e(z) + iim(z) Z e iϕ. Dessen Darstellung als Vektor (siehe Abbildung 4) wird Zeigerdiagramm genannt. Durch das Bauelement fließe ein Strom Î I 0e iωt. Der dazugehörende Im Z Im(Z) Z ϕ e(z) e Abbildung 4: Geometrische Darstellung des komplexen Widerstandes Z, genannt Zeigerdiagramm. Spannungsabfall beträgt Û ÎZ I } 0 Z e i(ωt+ϕ). {{} U 0 Die Spannung ist gegenüber dem Strom um den Winkel ( ) Im(Z) ϕ arctan e(z) phasenverschoben 3. Messgeräte für Strom und Spannung liefern in der egel statt dem zeitlichen Verlauf die Effektivwerte der Größen (Amplitude geteilt durch die Quadratwurzel von Zwei). Das Verhältnis der Effektivwerte U eff U 0 Z I eff I 0 würden wir daher naiv als den gemessenen Widerstand der Schaltung bezeichnen. Daher nennen wir Z Scheinwiderstand (oder Impedanz). Die dazugehörende Leistung P S U eff I eff Z Ieff heißt Scheinleistung. Tatsächlich wird innerhalb einer Periode der Dauer T die mittlere Leistung P T T 0 I 0 Z T I 0 e(û)im(î)dt T 0 Z cos(ϕ) Ieff e(z) cos(ωt) cos(ωt + ϕ)dt umgesetzt. Diese wird als Wirkleistung bezeichnet. Entsprechend heißt e(z) Wirkwiderstand. Die verbleibenden Komponenten sind der Blindwiderstand Im(Z) und die Blindleistung P B Ieff Im(Z). Sie haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung. 3 Die Gleichung gilt nur für e(z) > 0. Die Bedingung e(z) 0 ist stets erfüllt, da der ealteil von Z durch ohmsche Widerstände hervorgerufen, welche nicht negativ sind. Für e(z) 0 gilt je nach Vorzeichen des Imaginärteils ϕ ± π. 6

7 4 Anwendung der komplexen Wechselstromrechnung Wir wollen den hergeleiteten Formalismus auf einige Beispiele anwenden. Dazu betrachten wir die in Abbildung 5 aufgeführten Schaltungen. An die Schaltungen wird jeweils eine Eingangs- C L L C U E U A U E U A U E U A (a) Hochpassfilter (b) Tiefpassfilter (c) Schwingkreis Abbildung 5: Verschiedene Wechselstromschaltung. spannung U E angelegt. Am Widerstand wird die Ausgangsspannung U A abgegriffen. Unser Ziel ist es, dass Amplitudenverhältnis und die Phase zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung zu ermitteln. Wir beginnen mit dem Hochpassfilter (siehe Abbildung 5a). Der Gesamtwiderstand der Schaltung ist gegeben durch Z iωc +. Da die Ausgangsspannung am Widerstand abgegriffen wird, gilt Û A Î Z ÛE, ÛA Û E iωc + ωc + ω C (i + ωc). Daraus können wir die gesuchten Werte ermitteln: ÛE ÛA Û E Û A ωc + ω C, ( ) ϕ arctan Im ÛE ( ) ( ÛA ) arctan e ÛE ωc ÛA Die dazugehörigen Graphen sind in Abbildung 6 dargestellt. Für niedrige Frequenzen verschwindet die Ausgangsspannung, für hohe stimmen die Amplituden von Eingangs- und Ausgangsspannung nahezu überein. Folglich werden Signale mit niedriger Frequenz unterdrückt, während welche mit hoher Frequenz durchgelassen werden. Dadurch wird der Name Hochpassfilter plausibel. Die Behandlung des Tiefpassfilters (siehe Abbildung 5b) ist analog zu der des 7

8 π 0.8 UA UE ϕ π ωc (a) Amplitudenverhältnis ωc (b) Phasenverschiebung Abbildung 6: Graph des Amplitudenverhältnisses und der Phasenverschiebung der Eingangsund Ausgangsspannung des Hochpassfilters UA UE ϕ π ωl (a) Amplitudenverhältnis π ωl (b) Phasenverschiebung Abbildung 7: Graph des Amplitudenverhältnisses und der Phasenverschiebung der Eingangsund Ausgangsspannung des Tiefpassfilters π UA UE ϕ π π 4 LC ω (a) Amplitudenverhältnis π ω (b) Phasenverschiebung Abbildung 8: Graph des Amplitudenverhältnisses und der Phasenverschiebung der Eingangsund Ausgangsspannung des Schwingkreises 8

9 Hochpassfilters. Z iωl + ÛA Û E iωl + ω L ( iωl + ) + ÛA ÛE + ω L ( ) ωl ϕ arctan In Abbildung 7a wird deutlich, warum der Tiefpassfilter seinen Namen trägt. Für niedrige Frequenzen passiert das Eingangssignal nahezu unverändert. Bei sehr hohen Frequenzen verschwindet die Ausgangsspannung annähernd. Auch die charakteristischen Größen des Schwingkreises lassen sich analog zu denen des Hochpassfilters bestimmen. ÛA Û E Z iωc + iωl + iωc + iωl + + ( ωl ωc ÛA ÛE + ( ωl ) ωc ( ϕ arctan ωc ωl ) ( ) ( + i ωc ωl )) Wie erwartet liegt bei ω LC esonanz vor (siehe Abbildung 8a). Weitere Anwendungen der komplexen Wechselstromrechnung werden in [8] vorgestellt. 9

10 5 Literatur [] Fritsche, Klaus: Grundkurs Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg,. Auflage, 008. [] Fritsche, Klaus: Grundkurs Funktionentheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 009. [3] Feynman, ichard: Mainly Mechanics, adiation, and Heat, Band der eihe The Feynman Lectures on Physics. Basic Books, Philadelpia (USA), 0. [4] Fritsche, Klaus: Mathematik für Einsteiger. Springer Spektrum, 5. Auflage, 05. [5] Brokate, Martin: Analysis. Vorlesungsskript, an_ws4.pdf, 05. [6] Beutelspacher, Albrecht: Lineare Algebra. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 00. [7] Griffiths, David: Quantenmechanik. Pearson Deutschland, Hallbergmoss,. Auflage, 0. [8] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 6. Auflage, 03. 0