Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm

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1 PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Vorlesung nach Leisi, Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn Skript: Übungsblätter und Lösungen: Januar 2003 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Selbstinduktivität Die Einheit der Induktivität ist φ B = L I (1) Lange, dicht gewickelte Spule 1H = 1Henry = 1 W b A = 1T m2 A B = µ 0 N l I (2) Dabei ist N = n l die Anzahl Windungen auf der Länge l. Hat die Spule den Querschnitt A, so ist der Fluss φ B = N B A = µ 0 N 2 l I A = µ 0n 2 AlI (3) Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Damit ist die Induktivität der Spule L = φ B I = µ N 2 0 l A = µ 0n 2 Al (4) Die magnetische Permeabilität µ 0 kann also auch als µ 0 = 10 7Henry m (5) Die Änderung der Stromstärke bedingt eine Änderung des magnetischen Flusses. dφ B dt = d(li) dt U = dφ m dt = L di dt = L di dt (6) (7) Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Transformator Zwei gekoppelte Stromkreise Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Der magnetische Fluss am Punkt P 2 hängt sowohl vom Strom I 2 wie auch vom Strom I 1 ab: φ B (P 2 ) = L 2 I 2 + M 12 I 1 (8) Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P 1 von beiden Strömen ab φ B (P 1 ) = L 1 I 1 + M 21 I 2 (9) Neben der Selbstinduktivität L i müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten M ij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Transformator II Symbolische Darstellung eines Transformators Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Behauptung: M 12 = M 21 B 1 = µ 0 n 1 I 1 (10) Ausserhalb der Spule 1 ist das Magnetfeld B 1 = 0 (Annahme einer langen Spule). Deshalb ist der Fluss durch den Strom I 1 für die Spule 2 gegeben durch φ B2 = N 2 B 1 (πr 2 1) = n 2 lb 1 (πr 2 1) = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1)I 1 (11) Die Gegeninduktivität M 12 ist also Im entgegengesetzten Falle beginnen wir mit M 12 = φ B 2 I 1 = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1) (12) B 2 = µ 0 n 2 I 2 (13) Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Der für die Spule 1 relevante Fluss ist durch die von der Spule 1 umschlossene Fläche, also N 1 (πr 2 1) gegeben. φ B1 = N 1 B 2 (πr 2 1) = n 1 lµ 0 n 2 I 2 (πr 2 1) = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1)I 2 (14) Damit wird die Gegeninduktivität M 21 = φ B 1 I 2 = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1) = M 12 (15) Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne Beweis). Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Transformator III Schematischer Aufbau eines Transformators Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 dφ B U L,1 = N 1 (16) dt Diese Spannung muss durch die Wechselspannungsquelle U erzeugt werden U = U L,1 = N 1 dφ B dt (17) Durch die Anordnung des Eisens wird erreicht, dass der gesamte durch die erste Spule erzeugte magnetische Fluss durch die zweite Spule fliesst. Dort haben wir die induzierte Spannung U 2 = N 2 dφ B dt (18) U 2 = N 2 N 1 U 1 (19) N 2 /N 1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Wird der Ausgang des Transformators mit dem Ohmschen Widerstand R belastet, fliesst der Strom I 2, der zu U 2 in Phase ist. Dieser Strom erzeugt einen magnetischen Fluss φ B N 2I 2, der den ursprünglichen Fluss φ B durch die Spule 2 schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I 1 auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass φ B N 1I 1 gilt. I 2 = N 1 N 2 I 1 (20) Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit [ U 2 I 2 = N ] [ 2 U 1 N ] 1 I 1 = U 1 I 1 (21) N 1 N 2 sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also verlustfrei Leistung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Kirchhoffsche Gesetze Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel. Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 In einer komplizierten elektrischen Schaltung betrachtet man eine einzelne Masche. Nach der definition der EMK muss eine Probeladung langsam um die Masche herumgeführt werden. Dies führt auf die Maschenregel k Quellen U k = j Verbraucher U j (22) wobei die Vorzeichen entsprechend dem Umlaufsinn einzusetzen sind. In unserem Beispiel bedeutet dies: U 1 U 2 = U R + U L Die Knotenregel ist ein Ausdruck für die Ladungserhaltung. An jedem Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Knoten gilt I k = 0 (23) k eines Knotens Mit diesen beiden Regeln sowie der Kenntnis der Charakteristika der Bauelemente kann jede statische oder quasistatische elektronische Schaltung berechnet werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Impedanzen In diesem Abschnitt betrachten wir die Wirkung von cosinusförmigen Wechselspannungen U U(t) = U 0 cos (ωt ϕ) (24) Die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass ϕ = 0 ist. Weiter setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so gering sind, dass wir wie im stationären Falle rechnen können. Wir dies den quasistationären Fall. Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen Da bei Wechselspannungen a priori keine Stromrichtung vorgegeben ist, definiert man, zum Beispiel wie in der Abbildung oben, die Stromrichtung zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier für t = 0. Zu jedem Zeitpunkt muss Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 die Spannung im Stromkreis insgesamt null sein. Also ist U U R = 0 (25) und mit dem Ohmschen Gesetz U 0 cos(ωt) I R = 0 (26) oder I(t) = U 0 R cos(ωt) = I 0 cos(ωt) (27) Der Strom und die Spannung erreichen immer dann einen Extremwert, wenn ωt ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Der durch einen Widerstand fliessende Strom ist in Phase mit der Spannung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Die momentane Leistung am Widerstand ist P (t) = U(t) I(t) = U 0 cos(ωt) U0 R cos(ωt) = U 2 0 R cos2 (ωt) = I 2 0R cos 2 (ωt) Der Mittelwert der Leistung ist ( cos 2 ωt t = 1/2) (28) P (t) t = 1 U0 2 2 R = 1 2 I2 R (29) Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche Verlustleistung erzeugt. Also ist für sinusförmige Spannungen U eff = 1 2 U 0 (30) Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 beziehungsweise I eff = 1 2 I 0 (31) Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch rms-wert von Root Mean Square ) U eff = U rms = 1 T t+t t U 2 (τ)dτ (32) wobei T eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer entspricht und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Zeitdauer der Schwankungen sein muss. Für Ströme gilt die analoge Formel I eff = I rms = 1 t+t I T 2 (τ)dτ (33) t Spule mit Wechselspannung Die induzierte Spannung ist der Flussänderung entgegengesetzt. Sie wirkt so, dass die Zunahme des Stromes bei zunehmender Anregungsspannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 gebremst wird. Deshalb ist U U L = 0 = U L di dt (34) Setzen wir U = U 0 cos(ωt) ein, erhalten wir di dt = U 0 L cos(ωt) (35) und damit I(t) = U 0 L t 0 cos(ωτ)dτ = U 0 Lω sin(ωt) = U 0 Lω cos(ωt π 2 ) (36) Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Der Strom hat also den Scheitelwert I = U 0 ωl = U 0 X L (37) wobei X L = ωl die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule ist. Die Einheit der Impedanz ist gleich wie die Einheit des Widerstandes, das Ohm. Der Strom folgt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von π/2. Für die Effektivwerte gilt I eff = U eff /X L, da für sinusförmige Spannungen und Ströme der gleiche Faktor zur Umrechnung von Scheitelwerten zu Effektivwerten verwendet werden muss. Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist P (t) = U(t) I(t) = U 0 cos(ωt) U0 ωl cos(ωt π 2 ) = U 2 0 ωl cos(ωt) sin(ωt) (38) Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Die dissipierte Leistung kann sowohl positiv wie auch negativ sein. Die mittlere dissipierte Leistung ist P t = U 2 0 ωl cos(ωt) sin(ωt) t = 0 (39) Im Mittel wird also keine Leistung an einer Spule dissipiert. Kondensator mit Wechselspannung Beim Kondensator ist U C = q/c. Diese Spannung muss gleich der Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 treibenden Spannung sein. U U C = 0 = U q C (40) Wir setzen U ein und erhalten q = C U 0 cos(ωt) (41) Der Strom ist dann für den Strom I = dq dt = d dt C U 0 cos(ωt) = Cω U 0 sin(ωt) = Cω U 0 cos(ωt+ π 2 ) (42) Wir nennen X C = 1 ωc (43) Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 die Impedanz des Kondensators. Der Scheitelwert des Stromes ist I 0 = ωcu 0 (44) Analog wie bei der Spule gilt die Gleichung I eff = U eff /X C mit der gleichen Begründung auch für Kondensatoren. Die momentan dissipierte Leistung ist P (t) = ωcu 2 0 cos(ωt) sin(ωt) (45) Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist die mittlere dissipierte Leistung P (t) t = ωcu 2 0 cos(ωt) sin(ωt) t = 0 (46) Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Schwingkreis Der Kondensator soll zur Zeit t = 0 auf die Spannung U C,0 aufgeladen sein. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter geschlossen. Die Differentialgleichung dieser Schaltung lautet: L di dt + Q C = 0 (47) Wir differenzieren einmal und bekommen d 2 I dt LC I = 0 (48) Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung. Durch Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzfrequenz ω 0 = 1 LC (49) ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Schwingkreis mit Widerstand Der gedämpfte Schwingkreis enthält neben dem Kondensator und der Spule auch einen Widerstand. Die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises ist L di dt + R I + Q C = 0 (50) Wir differenzieren einmal und bekommen d 2 I dt 2 + R di L dt + 1 LC I = 0 (51) Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

29 Analog zur Mechanik ist die R C der Dämpfungsterm. Das in der Mechanik berechnete Verhalten eines schwingungsfähigen Systems gilt auch für den elektrischen Schwingkreis. Wenn der elektrische Schwingkreis von einer Wechselspannungsquelle getrieben wird, ergeben sich die gleichen Phänomene wie bei einem getriebenen Pendel, also auch eine Resonanz. Anwendungen Schwingkreise zur Signalfilterung in Radioempfängern Verhalten von langen Leitungen Verhalten elektrischer Maschinen Universität Ulm, Experimentelle Physik 28

30 Elektromotoren Prinzipbild eines Elektromotors Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit N Windungen und einer Fläche A ist φ B = NBA cos Θ (52) Universität Ulm, Experimentelle Physik 29

31 wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe φ B (t) = NBA cos(ωt + δ) (53) Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung U = dφ B(t) dt = NBA d dt cos(ωt + δ) = NBAω sin(ωt + δ) (54) Die induzierte effektive Spannung ist U eff,i = NBAω 2 (55) Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor. Universität Ulm, Experimentelle Physik 30

32 Durch den Strom I wird ein Drehmoment M = NAB I sin Θ (56) erzeugt 1. Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist M eff = NAB I (57) 2 Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, R ist, kann man den mittleren Strom berechnen I eff = U U eff,i R = U R NBA R 2 ω (58) 1 Beachte die Phasenverschiebung zwischen Fluss und Drehmoment! Universität Ulm, Experimentelle Physik 31

33 Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab M eff (ω) = NAB 2 ( U R NBA ) R 2 ω = NABU R 2 N 2 A 2 B 2 2R ω (59) Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also M eff (0) = M max = NABU R 2 (60) und die maximale Drehzahl (da wo M eff = 0) ist ω max = 2U NAB (61) Diese Charakteristik hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die Universität Ulm, Experimentelle Physik 32

34 Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächer machen. Ist die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge l, Windungszahl N) hat das Magnetfeld B Z = µ 0 N l I (62) Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K. Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand R E der Erregerspule abhängig. Wenn U E der Spannungsabfall an der Erregerspule ist, ist B(U E ) = Kµ 0 N E l E U E R E == Kµ 0 N E l E I E (63) Universität Ulm, Experimentelle Physik 33

35 Der durch den Anker fliessende Strom ist dann durch I eff = U U E U eff,i R = U R U E R NB(U E)A R ω (64) 2 gegeben. Da I eff = I E ist, gilt I eff = U R R E R I eff µ 0 K N N E A l E R I eff ω (65) 2 oder U I eff = R + R E + µ 0 K N N E A l E 2 ω Damit wird das Drehmoment M eff (ω) = NAB 2 U R + R E + µ 0 K N N E A l E 2 ω (66) (67) Universität Ulm, Experimentelle Physik 34

36 Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine unendlich grosse maximale Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist M eff (0) = M max = NAB 2 U R + R E (68) Universität Ulm, Experimentelle Physik 35

37 Betatron Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen B-Feld nach rot E = B/ t auch ein zeitabhängiges E-Feld existiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 36

38 Nach dem Induktionsgesetz rot E = B/ t hat das durch ein in die z-richtung zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine z- Komponente. Nehmen wir an, dass das E-Feld eine Radialkomponente hätte. Sie könnte zum Beispiel in die y-richtung zeigen. Rotieren wir die ganze Anordnung um π um die y-achse und kehren die Richtung des B-Feldes um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung. Mit der Richtungsumkehr von B hat aber auch E die Richtung geändert (Induktionsgesetz). Dies ist aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb kann es kein radiales E-Feld geben: das E-Feld ist tangential und beschleunigt die geladenen Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss m v2 R = e v B(t) (69) oder mv(t) = p(t) = e B R (70) Universität Ulm, Experimentelle Physik 37

39 Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet dp(t) dt = ee(t) (71) Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer Kreisbahn S(R) mit dem Radius R S(R) E(t) d s = E(t) 2πR = d dt A(R) B(t) d a = d B(t) dt πr 2 (72) wobei B das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. Durch Kombination der obigen Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir dp(t) dt = e R 2 d B dt (73) Universität Ulm, Experimentelle Physik 38

40 Die Integration mit den Anfangsbedingungen p(0) = 0 und B(0) = 0 liefert p(t) = e R 2 B(t) (74) Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe- Bedingung B(t) = 2 B(t) (75) Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 39

41 Skin-Effekt Berechnung des Skin-Effektes Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische Feld konstant über dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz ist das Magnetfeld proportional zum Abstand. Universität Ulm, Experimentelle Physik 40

42 Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen wir das Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt E d s = d dt B d a (76) S A(S) Für die eingezeichnete Schlaufe gilt h [E(r r) E(r)] = d B dt h R (77) wobei wieder B das über die Fläche r h gemittelte Magnetfeld ist. Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung Universität Ulm, Experimentelle Physik 41

43 von Gleichung (76) liefert die betragsmässige Bedingung E(r, t) r = B(r, t) t (78) Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skin-Effekt. Anwendung Bei Überlandleitungen wird um ein Stahlseil Kupfer (Luxusausführung) oder Aluminium (das Übliche) gewickelt. Dies erhöht den Widerstand kaum, da der Skin-Effekt die Stromleitung bei 50Hz auf etwa 1cm Tiefe beschränkt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 42

44 Energie im Magnetfeld Berechnung der Energie im Magnetfeld Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle U(t) = U 0 sin(ωt) verbundene reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand R und eine ideale Spule L. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet U(t) = L I(t) + R I(t) (79) Universität Ulm, Experimentelle Physik 43

45 Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form Für den Fall, dass R ωl ist, bekommt man I S (t) = I 0 cos(ωt δ) (80) I S (t) = U 0 ωl Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist cos ωt (81) P U (t) = U(t) I(t) = U 0 2 ωl sin ωt cos ωt = U2 0 ωl 1 2 sin(2ωt) (82) Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des B-Feldes ändern, da wir keine dissipativen Elemente haben (R = 0). Wenn man Universität Ulm, Experimentelle Physik 44

46 die Differentialgleichung für den Fall mit I(t) multipliziert, bekommt man P U = U(t) I(t) = L I I = d dt ( ) L 2 I2 (83) Nun ist aber P = de/dt. Damit ist die Energie des Magnetfeldes E L = L 2 I2 (84) Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule B = µ 0 ni (85) mit der Selbstinduktivität L = µ 0 n 2 Al (86) wobei A der Querschnitt der Spule und l ihre Länge ist. Eingesetzt in die Universität Ulm, Experimentelle Physik 45

47 Gleichung für die Energie E L bekommt man E L = 1 2 µ 0n 2 Al ( ) 2 B = B2 Al (87) µ 0 n 2µ 0 Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes w B = B2 2µ 0 (88) Universität Ulm, Experimentelle Physik 46

48 Kugeln im inhomogenen Magnetfeld Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 47

49 Materie im Magnetfeld diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt. paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen. ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 48

50 Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Universität Ulm, Experimentelle Physik 49

51 Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu B. Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von B. Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von B abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft. Sie ist proportional zum Produkt B d l. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch d l umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von B. Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist F z = m z B z(z, 0) z (89) wobei m z das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 50

52 Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor Universität Ulm, Experimentelle Physik 51

53 Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im Linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 52

54 Larmorwinkelgeschwindigkeit Ω = e 2m e B (90) In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 53

55 Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel Universität Ulm, Experimentelle Physik 54

56 Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 55

57 Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null. m A = j m j = 0 (91) Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres B-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln. Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment m A, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Universität Ulm, Experimentelle Physik 56

58 Ladungsdichte ρ el = Ze (4/3)πR 3 (92) wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 57

59 Ein einzelner Kreisstrom Universität Ulm, Experimentelle Physik 58

60 Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit Ω = e 2m B (93) Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom δi = ρ el r dr dϕ v(r, ϕ) (94) mit v(r, ϕ) = Ω r sin ϕ (95) Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m A entgegengesetzt zu Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist δm A (r, ϕ) = Fläche Strom = πr 2 sin 2 ϕ δi (96) Universität Ulm, Experimentelle Physik 59

61 oder δm A (r, ϕ) = πr 2 sin 2 ϕ ρ el r dr dϕ v(r, ϕ) (97) = πr 2 sin 2 ϕ ρ el r dr dϕ Ω r sin ϕ = πr 4 sin 3 ϕ ρ el Ω dr dϕ Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über r und ϕ Er ist m A = R π δm A (r, ϕ)drdϕ (98) 0 0 = π ρ el Ω R 0 r 4 dr π 0 sin 3 ϕ dϕ Universität Ulm, Experimentelle Physik 60

62 = π ρ el Ω 4π 3 R 0 r 4 dr 4 3 = π ρ el Ω R = π Z e R5 Ω R = π Z e eb R5 R3 2m e π 3 = Z e2 B R 2 10m e Universität Ulm, Experimentelle Physik 61

63 Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment m A = Z e2 R 2 10m e B (99) Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 62

64 Magnetisierung Atomare Kreisströme Universität Ulm, Experimentelle Physik 63

65 Elektronenspin Ne- Elektronenspin ben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Dre- Universität Ulm, Experimentelle Physik 64

66 himpuls s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment m s. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert s z = 1 h 1 = (100) 22π 2 h hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch h = Js (101) oder h Js ist. Nach der Quantenmechanik gilt m s = e s (102) m Universität Ulm, Experimentelle Physik 65

67 Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre m s = (1/2) e m s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist m s,z = e 1 m 2 h 1µ B = A m 2 (103) auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Universität Ulm, Experimentelle Physik 66

68 Paramagnetismus Curie-Gesetz Universität Ulm, Experimentelle Physik 67

69 Ferromagnetismus Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis. Universität Ulm, Experimentelle Physik 68

70 Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis A db(t) dt Q(t) C = R I 2(t) (104) Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung. A R db(t) dt = Q(t) RC + dq(t) dt (105) Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I 1 (t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dq(t)/dt ωq(t) ist. Wenn 1/RC ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt Q(t) = const B(t) (106) Universität Ulm, Experimentelle Physik 69

71 und damit für die Spannung am Kondensator U C (t) = Q(t)/C B(t) (107) Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 70

72 Hysteresekurve eines Ferromagneten Universität Ulm, Experimentelle Physik 71

73 Ferromagnetische Domänen Universität Ulm, Experimentelle Physik 72

74 Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 73

75 Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. Universität Ulm, Experimentelle Physik 74

76 Löschen des remanenten Magnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 75