3 Lebesgue-Integration im IR n

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1 33 3 Lebesgue-Integration im IR n 3.1 Vorbemerkung Zuerst eine heuristische Betrachtung: Wir betrachten eine nichtnegative stetige Funktion f(x, y, die über einem kompakten, also beschränkten und abgeschlossenen Bereich B IR 2 definiert ist. B habe einen wohldefinierten Flächeninhalt. Dann beschreibt die Menge M = {(x, y, z IR 3 ; (x, y B, 0 z f(x, y} z f(x, y y den Teil eines Zylinders über B, dessen Boden von B und dessen Deckel vom Graph von f gebildet wird. Um das Volumen V von M zu berechnen, nehmen wir zuerst an, daß B ein achsenparalleles Rechteck ist, also x z B B = {(x, y; a 1 x b 1, a 2 y b 2 }. Wir zerlegen [a 2, b 2 ] in m Intervalle [y k 1, y k ] der Länge f(x, y y = b 2 a 2 x y 0 y (mit y 0 := a 2, y m := b 2 m m y und legen durch jedes y k eine zur (x, z-ebene parallele Ebene. Dadurch wird M in Scheiben zerschnitten. Ist f stetig und sind die Scheiben hinreichend dünn, dann ist das Volumen V k der k-ten Scheibe wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals F (y := b1 a 1 f(x, y dx näherungsweise gleich dem Produkt des Flächeninhaltes F k := F (y k der Schnittfläche bei y k und der Scheibendicke y, d.h. ( b1 V k F k y = f(x, y k dx y. Summation über alle Scheiben ergibt als Näherung des Gesamtvolumens m m ( b1 V = V k f(x, y k dx y. Für m erhält man V = b2 ( b1 a 2 a 1 a 1 a 1 f(x, y dx dy. Da es gleichgültig ist, ob man M in y- oder in x-richtung in Scheiben schneidet, ergibt sich analog V = b1 b2 a 1 a 2 f(x, y dy dx = b2 b1 a 2 a 1 f(x, y dx dy. y

2 3. Lebesgue-Integration im IR n 34 (Die Klammern um die Integrale kann man weglassen, da die Ausdrücke auch ohne Klammern eindeutig sind. Bemerkung Durch die Stellung der Integrationsvariablen dy bzw. dx im Integral wird beschrieben, welcher Integrationsbereich [a 1, b 1 ] bzw. [a 2, b 2 ] zu den Integrationsvariablen gehört. Man kann das aber auch deutlich machen, indem man die entsprechende Variable unter das Integralzeichen schreibt. Beispiel Für das Volumen unter dem Graph der Funktion f(x, y := 2 xy über dem Rechteck B = {(x, y; 0 x 1, 0 y 2} erhält man bzw. analog V = 2 y=0 1 x=0 (2 xy dx dy = 1 x= y=0 [ ] 1 2x x2 y dy = 2 x=0 (2 xy dy dx = Integration von Treppenfunktionen 2 0 ( 2 y dy = 3 2 Im letzten Kapitel haben wir gesehen, daß die Riemann-integrierbaren Funktionen praktisch die Regelfunktionen sind, also die Funktionen, die sich als Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge darstellen lassen. Man kann nun das Regel-Integral auf Funktionen mehrerer Variabler ausdehnen. Ein zusätzlich auftretendes Problem bei Funktionen mehrerer Variabler ist allerdings das Integrationsgebiet, das viel komplizierter aussehen kann als bei einer Variablen. Ersetzt man aber die gleichmäßige Konvergenz durch eine schwächere Konvergenzbedingung, dann erhält man eine Klasse von integrierbaren Funktionen, die die Klasse der Riemann-integrierbaren Funktionen umfaßt (mit demselben Integralwert, aber auch Funktionen, die nicht Riemann-integrierbar sind und z.b. in der Stochastik wichtig sind. Wir betrachten zuerst Treppenfunktionen im IR n. Definition (a Eine Funktion ϕ : IR n IR heißt Treppenfunktion auf IR n, wenn es endlich viele paarweise disjunkte (offene oder abgeschlossene Quader Q 1, Q 2,..., Q s gibt mit (i ϕ ist auf jedem Q k konstant, 1 k s, s (ii ϕ(x = 0 für alle x IR n \ Q k. (b Für eine Teilmenge A IR n heißt E A : IR n IR mit 1 für x A, E A (x := 0 sonst charakteristische Funktion von A. (c Sind Q 1, Q 2,..., Q s endlich viele disjunkte Quader mit Volumen v(q k, c k IR, 1 k s, dann heißt s ϕ(x dx := ϕ(x dx := c k v(q k IR n Integral der Treppenfunktion ϕ = s c k E Qk.

3 3. Lebesgue-Integration im IR n 35 Bemerkungen (1 Da in der Definition der Treppenfunktion auch niederdimensionale Quader zugelassen sind, kann man jede Treppenfunktion als Linearkombination der charakteristischen Funktionen von Quadern darstellen. Umgekehrt ist jede Linearkombination solcher Funktionen eine Treppenfunktion. (2 Die Treppenfunktionen bilden einen Vektorraum T, d.h. mit ϕ, ψ T, α, β IR ist αϕ + βψ T. Außerdem gilt ϕ T, max(ϕ, ψ, min(ϕ, ψ T. (3 Das Volumen v(q eines n-dimensionalen Quaders Q sei (elementargeometrisch das Produkt seiner Kantenlängen, und ein niederdimensionaler Quader (Teilmenge einer Hyperebene habe Volumen 0. Das Integral einer Treppenfunktion ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn der Wert nicht von der speziellen Darstellung der Funktion abhängt. Es gilt Satz Seien ϕ, ψ Treppenfunktionen, α, β IR. Dann gilt: (a Das Integral von ϕ hängt nicht von der speziellen Darstellung von ϕ als Linearkombination von charakteristischen Funktionen von Quadern ab. (b Das Integral ist linear, d.h. es gilt (αϕ + βψ dx = α ϕ dx + β ψ dx. (c Es gilt die Dreiecksungleichung (d ϕ(x ψ(x für alle x IR = ϕ ϕ dx dx. ϕ dx ψ dx. Korollar (S.v.Fubini f. Treppenfunktionen ( ϕ(x, y d(x, y = X Y 3.3 Die L 1 -Halbnorm Y X ϕ(x, y dx dy. Wir betrachten im folgenden auch Funktionen und Reihen, die den Wert annehmen können. Dabei werden zusätzlich folgende Rechenregeln festgelegt: x < für x IR, ± x = x ± = für x IR { }, x = x = für x IR { }, x 0, 0 = 0 = 0. Um das Volumen der Menge M IR n+1 zwischen dem Definitionsbereich und dem Graph einer nichtnegativen Funktion f nach oben abzuschätzen, überdecken wir M durch Quader und berechnen deren Gesamtinhalt. Da wir Funktionen betrachten, die auf ganz IR n definiert sind und sogar unbeschränkt sein dürfen, müssen wir abzählbare Überdeckungen zulassen.

4 3. Lebesgue-Integration im IR n 36 Definition Sei f : IR n IR { } eine Funktion (a Sind Q k offene Quader im IR n, c k nichtnegative reelle Zahlen, k IN, und gilt f(x Φ(x := dann heißt Φ(x Hüllreihe von f und Inhalt der Hüllreihe. c k E Qk (x für alle x IR n, I(Φ := c k v(q k (b f 1 := inf{i(φ; Φ ist Hüllreihe von f} heißt L 1 -Halbnorm von f. Bemerkungen (1 Sei Q k der offene achsenparallele Würfel mit Mittelpunkt 0 und Kantenlänge k. Dann hat jede Funktion f : IR n IR { } die Hüllreihe k E Qk (x. Die Menge der Zahlen, über die das Infimum gebildet wird, ist also nicht leer, d.h. das Infimum existiert und ist nach Definition nicht negativ. Es kann aber sein. (2 Die L 1 -Halbnorm ist nicht positiv definit, also keine Norm. Es gelten folgende Eigenschaften: Satz Für f, g : IR n IR { }, c IR { } gilt: (a c f 1 = c f 1. (b f + g 1 f 1 + g 1. (c Aus f g folgt f 1 g 1. (d Für nichtnegative Funktionen f k : IR n IR { }, k IN, gilt Für Treppenfunktionen gilt 1 f k f k 1. Satz (a Für die charakteristische Funktion eines abgeschlossenen Quaders Q gilt E Q (x 1 = v(q = E Q dx. (b Für eine Treppenfunktion ϕ auf IR n gilt ϕ 1 = ϕ(x dx.

5 3. Lebesgue-Integration im IR n Definition des Lebesgue-Integrals Definition Gibt es zu einer Funktion f : IR n IR { } eine Folge von Treppenfunktionen (ϕ k mit lim f ϕ k 1 = 0, dann heißt f Lebesgue-integrierbar über IR n. k f(x dx := lim ϕ k (x dx IR n k IR n heißt Lebesgue-Integral von f über IR n. Bemerkungen (1 Die Folge der Integrale der Treppenfunktionen ist eine Cauchy-Folge und damit konvergent, d.h. der Grenzwert existiert. Als Cauchy-Folge ist diese Folge beschränkt, d.h. das Lebesgue-Integral einer Funktion ist eine reelle Zahl. (2 Der Grenzwert ist unabhängig von der speziellen Auswahl der bezüglich der L 1 -Halbnorm gegen f konvergenten Folge von Treppenfunktionen, das Lebesgue-Integral von f also wohldefiniert. (3 Jede Treppenfunktion ist Lebesgue-integrierbar, und das Lebesgue-Integral ist gleich dem Wert des Integrals aus Definition (4 Aus der Konvergenz bezüglich der L 1 -Halbnorm kann man noch nicht z.b. auf punktweise Konvergenz schließen. Es gelten folgende Rechenregeln: Satz Seien f, g : IR n IR { } Lebesgue-integrierbar über IR n, α, β IR. Dann gilt: (a f ist Lebesgue-integrierbar über IR n und f(x dx f(x dx = f 1. IR n IR n (b Das Lebesgue-Integral ist linear, d.h. αf + βg ist über IR n Lebesgue-integrierbar, und es gilt (αf + βg(x dx = α f(x dx + β g(x dx. IR n IR n IR n (c f g = IR n f(x dx n IR g(x dx. (d Ist g beschränkt, dann ist f g Lebesgue-integrierbar über IR n. (1 Die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen bilden einen Vektor- Bemerkungen raum. (2 Sind f, g : IR n IR { } Lebesgue-integrierbar, dann auch die Funktionen max(f, g und min(f, g. (3 Speziell sind die Funktionen f + := max(f, 0 und f := max( f, 0 Lebesgue-integrierbar. Sie heißen positiver bzw. negativer Anteil von f, und es gilt f +, f 0, f = f + f, f = f + + f.

6 3. Lebesgue-Integration im IR n 38 Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des IR n Lebesgue-integrierbar sind: Definition Sei M IR n eine Teilmenge und f : M IR { } eine Funktion. f(x für x M (a f M : IR n IR { } mit f M (x := heißt triviale Fortsetzung von f auf 0 sonst IR n. (b Wir setzen f 1,M := f M 1. (c f heißt über M Lebesgue-integrierbar, wenn die triviale Fortsetzung f M über IR n Lebesgue-integrierbar ist. f(x dx := f M (x dx M IR n heißt das Lebesgue-Integral von f über M. Bemerkung Satz gilt entsprechend. Insbesondere bilden die über M Lebesgue-integrierbaren Funktionen einen reellen Vektorraum. Bezeichnung: L 1 (M. Der folgende Satz zeigt den Zusammenhang zwischen Regelintegral und Lebesgue-Integral für Funktionen einer reellen Variablen: Satz Eine Regelfunktion f über einem kompakten Intervall [a, b] ist über [a, b] Lebesgue-integrierbar, und die Werte von Regel- und Lebesgue-Integral sind gleich, d.h. [a,b] f(x dx = b a f(x dx. Mit dem nächsten Satz erhält man eine große Klasse von Lebesgue-integrierbaren Funktionen mit mehreren Variablen: Satz Sei f : M IR { } eine Funktion und es gebe eine Folge (ϕ k von Treppenfunktionen mit: (i Die Folge (ϕ k ist monoton, (ii sie konvergiert punktweise gegen f, (iii die Folge der Integrale ϕ k dx ist beschränkt. IR n Dann ist f Lebesgue-integrierbar, und es gilt IR n f(x dx = lim k IR n ϕ k (x dx.

7 3. Lebesgue-Integration im IR n 39 Wir untersuchen nun das Verhältnis von Regelintegralen über beliebigen reellen Intervallen und Lebesgue- Integralen: Satz Sei I IR ein reelles Intervall, f : I IR eine Regelfunktion. (a Ist f 0, dann gibt es eine monoton wachsende Folge (ϕ k von Treppenfunktionen auf I, die punktweise gegen f konvergiert. (b Ist I = (a, b ein offenes (beschränktes oder unbeschränktes Intervall, dann ist f genau dann über I Lebesgue-integrierbar, wenn das uneigentliche Regelintegral von f über I absolut konvergiert. In diesem Fall stimmen die Werte beider Integrale überein, d.h. I f(x dx = b a f(x dx. Bemerkung Die Konvergenz des uneigentlichen Regelintegrals reicht für die Lebesgue-Integrierbarkeit nicht aus wie das Beispiel der Funktion sin x x zeigt. Wir betrachten nun auf offenen oder kompakten Mengen definierte stetige Funktionen. Dazu beweisen wir zuerst folgenden Hilfsatz: Satz Sei M IR n, f : M IR stetig auf M. (a Ist M offen, dann gibt es eine Folge (ϕ k von Treppenfunktionen, die monoton wächst und (punktweise gegen f M konvergiert. (b Ist M kompakt, dann gibt es eine Folge (ϕ k von nichtnegativen Treppenfunktionen, die monoton fällt und (punktweise gegen f M konvergiert. Damit folgt Satz (a Ist U IR n offen und beschränkt, f auf U definiert, stetig und beschränkt, dann ist f über U Lebesgue-integrierbar. (b Ist M IR n kompakt, f auf M definiert und stetig, dann ist f über M Lebesgue-integrierbar. 3.5 Meßbarkeit von Mengen, Nullmengen Rechtecken und allgemein n-dimensionalen Quadern ordnet man ein Volumen zu. Mit Hilfe des Lebesgue- Integrals verallgemeinern wir den Inhaltsbegriff: Definition Eine Menge M IR n heißt Lebesgue-meßbar oder kurz meßbar, wenn ihre charakteristische Funktion Lebesgue-integrierbar ist. v(m := v n (M := E A (x dx heißt n-dimensionales Volumen oder Lebesgue-Maß von M. Außerdem setzen wir v( := 0. M

8 3. Lebesgue-Integration im IR n 40 Aus Satz und den Rechenregeln für das Lebesgue-Integral folgt Satz (a Jede beschränkte offene Teilmenge und jede kompakte Teilmenge des IR n ist meßbar. (b Sind A und B meßbare Mengen, dann sind A B und A B auch meßbar mit v(a B = v(a + v(b v(a B. (c Sind A und B meßbare Mengen mit A B, dann gilt v(a v(b. Zur geometrischen Darstellung des Lebesgue-Maßes verwendet man oft Ausschöpfungen einer (offenen oder kompakten Menge durch Vereinigungen endlich vieler Quader. Ist M offen, und (Q k die (abzählbare Menge der achsenparallelen Würfel Q k M mit rationalem Mittelpunkt und rationaler Kantenlänge. Dann bilden die Vereinigungen A k := Q 1... Q k eine Ausschöpfung von M. Es gilt A k A k+1 und A k = Q k = M. Ist M kompakt, W ein offener Würfel mit M W, dann ist W \ M offen, hat also eine Ausschöpfung (B k wie oben. Mit A k := cl (W \ B k erhält man eine Ausschöpfung von M mit A k A k+1 und A k = M. k+1 Es gilt: Satz ( (a Sei M offen und (A k eine Ausschöpfung von M. M ist genau dann meßbar, wenn v(ak beschränkt ist. Es gilt dann v(m = lim v(a k = sup v(a k. k k IN (b Sei M kompakt und (A k eine Ausschöpfung von M. Dann gilt v(m = lim k v(a k = inf k IN v(a k. Für das Volumen gilt die Translationsinvarianz: Satz (a Sei f auf IR n Lebesgue-integrierbar, a IR n beliebig. Dann ist auch g : IR n IR mit g(x := f(x a Lebesgue-integrierbar mit g(x dx = f(x dx. IR n IR n (b Ist M meßbar, dann auch M + a und es gilt v(m = v(m + a. Im folgenden sollen für einige Beispiele die Integrale bestimmt werden. Das wesentliche Hilfsmittel, das diese Aufgabe auf iterierte Integrale einer Variablen und damit auf mehrfache Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung zurückführt, ist der Satz von Fubini, der hier im Vorgriff in einem Spezialfall zitiert und angewendet werden soll.

9 3. Lebesgue-Integration im IR n 41 Satz Sei M = X Y IR n kompakt oder offen und beschränkt und f : M IR auf M beschränkt und stetig. Zu jedem y Y sei die Schnittmenge M y definiert durch und M y := {x X; (x, y M} f(x, y dx falls M y F (y := M y. 0 sonst Dann ist F (y über Y integrierbar, und es gilt f(x, y d(x, y = F (y dy = M Y Y ( f(x, y dx dy. M y Beispiele (1 Sei M das Rechteck [a, b] [c, d] IR 2. Für alle y Y = [c, d] gilt M y = [a, b]. Für stetiges f : M IR folgt d ( b f(x, y d(x, y = f(x, y dx dy. M (2 Sei M IR 2 der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Für y Y = [ r, r] ist M y = [ r 2 y 2, r 2 y 2 ]. Für stetiges f : M IR folgt M Z.B. für f 1 ergibt sich f(x, y d(x, y = M r r f(x, y d(x, y = 2 c a ( r 2 y 2 f(x, y dx dy. r 2 y 2 r r r 2 y 2 dy = πr 2. (3 Mit der charakteristische Funktion von M ergibt sich das Volumen von M IR p IR q (mit p + q = n durch v n (M = v p (M y dy. IR q (a Sei M IR 3 die Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Für y Y = [ r, r] ist M y die Kreisscheibe mit Radius r 2 y 2, also der Fläche π(r 2 y 2. Damit ergibt sich das Volumen der Kugel aus r v(m = E M (x, y d(x, y = π (r 2 y 2 dy = 4 IR n r 3 πr3. (b Ist X IR n 1 kompakt oder offen und beschränkt (also meßbar und h > 0, dann heißt die Menge M := B [0, h] gerader Zylinder mit Basis B. M hat das Volumen h v(m = E M (x, y d(x, y = v n 1 (B dy = h v n 1 (B. Ein gerader Kreiszylinder z.b. hat das Volumen πr 2 h. 0

10 3. Lebesgue-Integration im IR n 42 (c Ist X IR n 1 kompakt oder offen und beschränkt und h > 0, dann heißt die Menge M := {(x, y IR n ; y [0, h], x ( 1 y h B} Kegel mit Basis B und Höhe h. Für y [0, h] hat die Schnittmenge M y = ( 1 y h B das (n 1-dimensionalen Volumen M hat daher das Volumen v(m = E M (x, y d(x, y = M Z.B. das Standardsimplex hat das Volumen v n (M = 1 n!. v n 1 (M y = ( 1 y h n 1 vn 1 (B. h M = {x IR n ; ξ i 0, 1 i n, 0 ( y n 1 1 vn 1 (B dy = h h n v n 1(B. n ξ i = 1} i=1 Bemerkung Aus der Formel in Beispiel (3 ergibt sich das Prinzip von Cavalieri: Zwei kompakte Mengen M 1 und M 2 haben dasselbe Volumen, wenn die Schnittmengen M 1y und M 2y für jedes y IR q dasselbe p-dimensionale Volumen haben (mit n = p + q. Von besonderer Bedeutung für das Verständnis des Lebesgue-Integrals (im Vergleich zum Riemann- Integral sind (meßbaren Mengen im IR n mit Maß 0. Sie heißen auch kurz Nullmengen. Es gilt Satz (a M ist Nullmenge genau dann, wenn E M 1 = 0. (b Jede Teilmenge einer Nullmenge ist (meßbar und selbst Nullmenge. (c Die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen ist eine Nullmenge. Beispiele (1 Ist M IR n 1 abgeschlossen oder offen, f : M IR stetig in M. Dann ist der Graph von f eine Nullmenge im IR n. (2 Jede Hyperebene im IR n ist eine Nullmenge. (3 Seien U, V offene Teilmengen des IR n. Eine bijektive Abbildung d : U V heißt Diffeomorphismus, wenn d und d 1 auf U bzw. V stetig differenzierbar sind. Eine nichtleere Menge M IR n heißt k-dimensionale (differenzierbare Untermannigfaltigkeit im IR n, wenn es zu jedem a M eine Umgebung U IR n und einen Diffeomorphismus d : U V auf eine offene Menge V IR n gibt mit d(m U = IR k V. Jede kompakte Teilmenge einer Untermannigfaltigkeit ist Nullmenge.

11 3. Lebesgue-Integration im IR n 43 Gilt eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge M außer für die Elemente einer Teilmenge vom Maß Null, dann sagt man, die Eigenschaft gilt in M fast überall. Die Rolle der Nullmengen als zulässige Ausnahmemengen für die Lebesgue-Integration zeigt Satz Seien f, g : IR n IR { } Funktionen. (a Gilt f 1 <, dann sind die Funktionswerte von f fast überall reell, d.h. N := {x IR n ; f(x = } ist eine Nullmenge. Speziell gilt dies für jede Lebesgue-integrierbare Funktion. (b Gilt fast überall f(x = g(x und ist f Lebesgue-integrierbar, dann ist auch g Lebesgue-integrierbar, und es gilt f(x dx = g(x dx. (c Ist f über A, B IR n Lebesgue-integrierbar und A B eine Nullmenge, dann ist f über A B Lebesgue-integrierbar mit f(x dx = f(x dx + f(x dx. A B A B (d Zu f gibt es eine auf IR n Lebesgue-integrierbare Funktion f 1 : IR n IR, die fast überall mit f übereinstimmt und deren Integralwert gleich dem von f ist. (e Die Funktionswerte sind fast überall Null genau dann, wenn f 1 = Vollständigkeit, gliedweise Integration Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen sind nach Definition Grenzfunktionen von Folgen von Treppenfunktionen bezüglich der L 1 -Halbnorm. Wir wollen zeigen, daß eine bezüglich dieser Halbnorm konvergente Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen wieder Lebesgue-integrierbar ist, also die Menge L 1 (IR n dieser Funktionen abgeschlossen gegen eine derartige Grenzwertbildung ist. Wir beschreiben den Konvergenzvorgang genauer: Definition Sei (f k eine Folge von auf IR n definierten Funktionen. (a Die Folge heißt L 1 -konvergent gegen die Funktion f : IR n IR { }, den L 1 -Grenzwert, wenn lim k f f k 1 = 0. (b (f k heißt L 1 -Cauchyfolge, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein N IN gibt mit f k f m 1 < ɛ für k, m N.

12 3. Lebesgue-Integration im IR n 44 Bemerkungen (1 Der L 1 -Grenzwert einer L 1 -konvergenten Folge ist nicht eindeutig bestimmt. Zwar gilt für zwei L 1 -Grenzwerte f, f derselben Folge f f 1 = 0, aber das bedeutet nur, daß beide Funktionen fast überall gleich sind. (2 Der Konvergenzprozeß ist linear, d.h. für beliebige L 1 -konvergente Folgen (f k und (g k mit L 1 - Grenzwerten f und g und beliebige α, β IR ist die Folge (αf k +βg k L 1 -konvergent mit Grenzwert αf + βg. (3 Wie bei Zahlenfolgen gilt: Jede L 1 -konvergente Folge ist auch L 1 -Cauchyfolge. Die Umkehrung der letzten Bemerkung für Lebesgue-integrierbare Funktionen liefert Satz (Riesz-Fischer Jede L 1 -Cauchyfolge (f k L 1 (IR n ist L 1 -konvergent mit einem L 1 - Grenzwert f L 1 (IR n. Weiter gilt: (a f(x dx = lim f k (x dx. k (b Eine geeignete Teilfolge von (f k konvergiert fast überall punktweise gegen f. Bemerkungen (1 Zu jeder natürlichen Zahl k existieren eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen p und q mit k = 2 p + q und q < 2 p. Es sei I k := [q 2 p, (q p ], f k := E Ik. Dann gilt f k 1 = f k (x dx = 2 p 0 für k. (f k ist also eine L 1 -Nullfolge, konvergiert aber für kein x [0, 1]. In Satz 3.6.3(b darf man also nicht Teilfolge durch Folge ersetzen. (2 Jede Lebesgue-integrierbare Funktion ist nach Definition L 1 -Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen. Man findet sogar eine Folge (ϕ k von Treppenfunktionen mit L 1 -Grenzwert f und ϕ k+1 ϕ k 1 <, die fast überall punktweise gegen f konvergiert. (3 Wie gezeigt, ist 1 keine Norm, da sie nicht definit ist. Sei nun N := {f L 1 (IR n ; f 1 = 0}. N ist Untervektorraum von L 1 (IR n, d.h. der Quotientenraum L 1 (IR n := L 1 (IR n /N ist ein Vektorraum, und für jede Äquivalenzklasse f + N von f wird durch f + N 1 := f 1 eine Norm auf L 1 (IR n definiert. L 1 (IR n ist also nach Satz ein vollständiger normierter Vektorraum, d.h. ein Banachraum.

13 3. Lebesgue-Integration im IR n 45 Als Verallgemeinerung von Satz ergibt sich die nächste Aussage über die gliedweise Integration monoton wachsender Folgen: Satz (Beppo Levi Sei (f k eine monoton wachsende Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen auf IR n. Die punktweise gebildete Grenzfunktion f ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn die Folge der Integrale f k (x dx beschränkt ist. In diesem Fall gilt f(x dx = lim k f k (x dx. Zur Messung von Flächen und Volumina, also allgemein dem Maß einer Menge M, benutzten schon in der Antike Eudoxos und Archimedes Ausschöpfungen, d.h. eine bezüglich der Inklusion monoton wachsende Folge von Teilmengen M k von M mit M k = M. Es gilt Satz Sei f eine auf M IR n definierte Funktion, (M k eine Ausschöpfung von M, und f über jedem M k Lebesgue-integrierbar. Dann gilt: f ist über M Lebesgue-integrierbar genau dann, wenn die Folge der Integrale f(x dx beschränkt ist. In diesem Fall ist M f(x dx = lim f(x dx. k M k An ein Volumen-Maß v stellt man folgende vernünftige Forderungen: (i v( = 0. (ii v ist translationsinvariant, d.h. für jede meßbare Menge M und jede Translation t gilt v(t(m = v(m. (iii Der Einheitswürfel ist meßbar und hat das Maß 1. (iv v ist einfach-additiv, d.h. für meßbare Mengen M 1, M 2, deren Durchschnitt eine Nullmenge ist, ist die Vereinigung meßbar und es gilt v(m 1 M 2 = v(m 1 + v(m 2. Die Einfach-Additivität läßt sich natürlich auf endliche Vereinigungen entsprechender Mengen verallgemeinern. Für das Lebesgue-Maß gilt das sogar für abzählbare Vereinigungen, es ist σ-additiv. Satz (a Sei (M k eine bezüglich der Inklusion monoton wachsende Folge von Lebesgue-meßbaren Mengen im IR n. Ihre Vereinigung ist genau dann Lebesgue-meßbar, wenn die Folge (v(m k beschränkt ist. Es gilt dann ( v M k = sup v(m k. k IN (b Sei (M k eine Folge Lebesgue-meßbarer Mengen im IR n, so daß für i j der Durchschnitt M i M j Nullmenge ist. Ihre Vereinigung ist genau dann Lebesgue-meßbar, wenn v(m k <. Dann gilt ( v M k = v(m k.

14 3. Lebesgue-Integration im IR n 46 Bemerkungen (1 Durch die Forderungen (i-(iii und die σ-additivität ist das Lebesgue-Maß auf IR n eindeutig festgelegt. (2 Mit Hilfe der σ-additivität kann man Beispiele von nicht-lebesgue-integrierbaren Funktionen konstruieren. Ein weiterer wichtiger Satz über die gliedweise Integration ist Satz (Lebesgue Sei (f k eine Folge über IR n Lebesgue-integrierbarer Funktionen, die fast überall punktweise gegen eine Funktion f konvergiert, und es gebe eine Lebesgue-integrierbare Funktion h mit f k h für alle k IN (Majorante. Dann ist f Lebesgue-integierbar, und es gilt f(x dx = lim k f k(x dx. 3.7 Der Satz von Fubini, Koordinatentransformationen Nachdem wir uns Gedanken dazu gemacht haben, welche Funktionen Lebesgue-integrierbar sind, wollen wir uns in diesem Abschnitt damit beschäftigen, wie man die entsprechenden Integrale ausrechnen kann. Ursprung unserer heuristischen Betrachtungen waren auf einem Quader definierte stetige Funktionen und ein bezüglich der Variablen iteriertes Regelintegral. Dabei war die Reihenfolge der Variablen, nach denen integriert wurde, beliebig. Der nächste Satz überträgt diese Eigenschaft auf beliebige Lebesgue-integrierbare Funktionen. Dazu setzen wir in diesem Abschnitt p, q IN mit p + q = n, X := IR p und Y := IR q, d.h. X Y = IR n. Satz (Fubini Sei f eine auf X Y integrierbare Funktion und für jedes y Y sei f (y die auf X definierte Funktion mit f (y (x = f(x, y. Dann gilt: (a Es gibt eine Nullmenge N Y, so daß für alle y Y \ N f (y über X Lebesgue-integrierbar ist. f(x, y dx für y Y \ N (b Die Funktion F (y := X 0 für y N ist über Y Lebesgue-integrierbar und es gilt f(x, y d(x, y = X Y Y ( X f(x, y dx dy. Zum Beweis benötigt man z.b. Satz Sei M X Y eine Nullmenge. Dann gibt es eine Nullmenge N Y, so daß für alle y Y \ N die Schnittmenge M y := {x X; (x, y M} eine Nullmenge in X ist. Bemerkung In der Aussage von Satz ist i.a. M y nur für fast alle y Y eine Nullmenge. Zum Beispiel ist M := IR IQ IR IR in IR IR eine Nullmenge, aber für y IQ ist M y = IR keine Nullmenge in IR.

15 3. Lebesgue-Integration im IR n 47 Folgerung (a Ist f : IR n IR positiv und integrierbar, dann ist M := {(x, y; x IR n, 0 y f(x} IR n+1 (die Punktmenge unterhalb f meßbar und hat das Volumen v n+1 (M = f(x dx. IR n (b Ist f über X Y Lebesgue-integrierbar, dann gilt die Vertauschungsregel ( ( f(x, y dy dx = f(x, y dx dy. X Y Beispiele (1 Die Pyramide M mit den Ecken (0, 0, 0, (a, 0, 0, (0, b, 0, (0, 0, c hat die Grundfläche B = {(x, y; 0 x a, 0 y b b a x} Y X und die Deckfläche f(x, y :== c c a x c y, (x, y B, b also das Volumen v(m = bzw. B f(x, y d(x, y = v(m = b y=0 a a a b y x=0 x=0 b b a x y=0 (c c a x c b y (c c a x c b y dx dy = abc 6. dy dx = abc 6 (2 Ist B der Teil des Kreise um den Ursprung mit Radius r im 1. Quadranten (Viertelkreis, f(x, y := x 3 y 2, (x, y B. Dann ist bzw. v(m = B f(x, y d(x, y = v(m = r y=0 r x=0 r 2 x 2 y=0 r 2 y 2 x 3 y 2 dx dy = 1 4 x=0 x 3 y 2 dy dx = 1 3 r y=0 r x=0 x 3 (r 2 x 2 3/2 dx = r7 (r 2 y 2 2 y 2 dy = r7. (3 Sei B die Kugel im IR n mit Mittelpunkt 0 und Radius r, f : IR 3 IR mit f 1. Der Schnitt der Kugel mit der Ebene in Höhe z, r z r, ist eine Kreisscheibe B 2,z. Für das Volumen der Kugel ergibt sich ( r κ 3 := v(b = f(x, y, z d(x, y, z = d(x, y dz = 4 B r B 2,z 3 πr3. (4 Ist in einem Gebiet G IR 3 die Massenverteilung durch die Dichtefunktion ρ(x, y, z gegeben, dann erhält man die Gesamtmasse m(g und die Koordinaten (x S, y S, z S des Schwerpunkts durch m(g := y S = 1 m(g G G ρ(x, y, z d(x, y, z, x S := 1 m(g y ρ(x, y, z d(x, y, z, z S = 1 m(g G G x ρ(x, y, z d(x, y, z, z ρ(x, y, z d(x, y, z.

16 3. Lebesgue-Integration im IR n 48 Für den Schwerpunkt S = (x S, y S, z S der quadratischen Pyramide B mit Spitze im Ursprung, die durch B = {(x, y, z; 0 x h, ax 2h y ax 2h, ax 2h z ax 2h } beschrieben wird, und ρ(x, y, z 1 gilt v := v(b = m(b und x S = 1 x d(x, y, z, y S = 1 y d(x, y, z, z S = 1 z d(x, y, z. v B v B v B Mit v = a2 h 3 erhält man x S = 3 4 h, y S = z S = 0. (5 Ist G IR 3 ein räumliches Gebiet mit Massendichte ρ(x, y, z und ist δ(x, y, z der Abstand eines Punktes (x, y, z IR 3 von einer festen Achse g, dann wird das Trägheitsmoment von G um die Achse g definiert durch T g := δ 2 (x, y, z ρ(x, y, z d(x, y, z. G Für den geraden, bzgl. der (x, y-ebene symmetrischen Kreiszylinder B der Höhe h mit z-achse als Achse und Grundkreisradius r gilt h 2 z h. Hat der Zylinder die konstante Massendichte 2 1, dann ist das Trägheitsmoment bezüglich der x-achse gegeben durch T x = B (y 2 + z 2 d(x, y, z = r x= r r 2 x 2 y= r 2 x 2 h/2 z= h/2 (y 2 + z 2 dz dy dx = πhr2 12 (3r2 + h 2. Die Anwendbarkeit des Satzes von Fubini setzt die Lebesgue-Integrierbarkeit der Funktion auf X Y voraus. Ein gutes Kriterium dafür gibt Satz (Tonelli Die Funktion f : X Y IR sei fast überall auf X Y stetig oder sie sei lokal-integrierbar (d.h. über jeder kompakten Teilmenge von X Y Lebesgue-integrierbar. Dann ist sie genau dann über X Y Lebesgue-integrierbar, wenn wenigstens eins der Lebesgue-Integrale X ( Y f(x, y dy dx existiert (d.h. z.b. die Funktion F (x = Y oder Y ( X f(x, y dx dy f(x, y dy existiert für fast alle x X und die triviale Fortsetzung von F auf X ist über X Lebesgue-integrierbar. In diesem Fall gilt der Satz von Fubini und die Vertauschungsregel. Muß man ein Anwendungsproblem lösen, dann hat man oft bei der mathematischen Modellierung Wahlmöglichkeiten. Zum Beispiel kann man einen Körper, dessen Volumen, Masse, Schwerpunkt oder Trägheitsmoment bestimmt werden soll, durch Koordinaten unterschiedlicher Koordinatensysteme beschreiben. Die Darstellung eines Körpers kann relativ kompliziert oder bei Koordinaten, die dem Problem sehr gut angepaßt sind, relativ einfach sein. Das Integral ist mit Hilfe von Quadern, also mit Hilfe kartesischer Koordinaten definiert. Übergang zu anderen Koordinaten bedeutet, daß auch das Volumelement dx transformiert werden muß. Der folgende Satz gibt dafür die entsprechende Transformationsformel an und ist daher ein wichtiges Hilfsmittel, um Integrale mit möglichst wenig Aufwand zu berechnen.

17 3. Lebesgue-Integration im IR n 49 Satz Seien U, V IR n offene Teilmengen, T : U V ein Diffeomorphismus, d.h. eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion mit nirgends verschwindender Funktionaldeterminante det ( T (x. Eine auf V definierte Funktion f ist genau integrierbar über V, wenn die auf U definierte Funktion (f T det ( T (x auf U integrierbar ist. Dann gilt f(y dy = f ( T (x det ( T (x dx. B A Bemerkung Betrachtet man für eine Riemann-integrierbare Funktion f zunächst Riemannsche Summen, dann erscheint die Transformationsformel plausibel: Sei U Vereinigung kleiner Quader Q k, d.h. V Vereinigung von krummlinigen Parallelotopen P k := T (Q k. Ist f in P k nahezu konstant, T dort nahezu affin, dann ist mit x k Q k, y k := T (x k P k f(y dy f(y k v(p k. V P k hat näherungsweise das Volumen v(p k = det T (x k v(q k, d.h. es gilt f(yk v(p k f ( T (x k Folgerung (a Sei T : IR n IR eine bijektive affine Transformation, d.h. T (x = A x + b mit einer reellen (n, n-matrix A und b IR n. Ist f über einer Menge M IR n Lebesgue-integrierbar, dann auch f T über T 1 (M und es gilt f(y dy = det A f(ax + b dx. M T 1 (K (b Mit f 1 ergibt sich: Mit M ist auch T (M meßbar und es gilt v ( T (M = det A v(m. Damit folgt für meßbare Mengen die Homogenität des Volumens v(λm = λ n v(m. Bemerkungen Neben den kartesischen Koordinaten sind für die Anwendungen die Polarkoordinaten im IR 2 und die Zylinder- und Kugelkoordinaten im IR 3 wichtig. Die Funktionaldeterminanten der entsprechenden Transformationen müssen natürlich nur einmal berechnet werden und stehen dann zur Verfügung. z (1 Jeder Punkt P der (x, y-ebene (außer dem Nullpunkt läßt sich z umkehrbar eindeutig durch den Abstand r 0 vom Nullpunkt und den Winkel φ 0, den der Verbindungsstrahl vom Nullpunkt zu P P mit der positiven x-achse einschließt und der von der x-achse aus y gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, beschreiben. Damit kann man jeden Punkt P des Raums mit den kartesischen Koordinaten ϕ y r (x, y, z (außer den Punkten der z-achse durch die drei Zylinderkoordinaten r, ϕ und z umkehrbar eindeutig beschreiben. P x x Für r = 0 wird kein ϕ-wert festgelegt.

18 3. Lebesgue-Integration im IR n 50 Für die Transformation T auf Zylinderkoordinaten gilt T : [0; [0; 2π IR IR 3 mit T (r, ϕ, z := (r cos ϕ, r sin ϕ, z mit der Funktionaldeterminante r. Sie ist nur auf der z-achse gleich Null. Die Umkehrabbildung ist T 1 : IR 3 [0; [0; 2π IR mit arctan y für x > 0, y > 0 π x für x = 0, y > 0 T 1 (x, y, z := ( 2 x 2 + y 2, ϕ, z und ϕ = arctan y x + π für x < 0. 3π für x = 0, y < 0 2 arctan y + 2π für x > 0, y < 0 x (2 Für die Transformation auf Polarkoordinaten gilt analog T : [0; [0; 2π IR 2 mit T (r, ϕ := (r cos ϕ, r sin ϕ mit Funktionaldeterminante r. (3 Sei P ein beliebiger Punkt P des Raums (außer dem Nullpunkt und P die Projektion auf die (x, y-ebene. P läßt sich umkehrbar eindeutig durch den Abstand r vom Nullpunkt, den Winkel ϕ, den der Verbindungsstrahl vom Nullpunkt zu P mit der positiven x-achse einschließt und der von der x-achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, und den Winkel θ, den der Strahl vom Nullpunkt zu P mit seiner Projektion auf die (x, y- Ebene einschließt, beschreiben. Damit kann man jeden Punkt des Raums mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z (außer dem Nullpunkt durch die drei Kugelkoordinaten r, ϕ und θ beschreiben. Für die Transformation T auf Kugelkoordinaten gilt x x z z r P θ r sin θ y ϕ r cos θ P y T : [0; [0; 2π [ π 2 ; π 2 ] IR3 mit T (r, ϕ, θ := (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ mit der Funktionaldeterminante r 2 cos θ. Die Umkehrabbildung ist T 1 : IR 3 [0; [0; 2π [ π 2 ; π 2 ] mit T 1 (x, y, z := ( x 2 + y 2 + z 2, ϕ, arcsin z r und ϕ wie bei den Zylinderkoordinaten.. Beispiele (1 Wählt man für einen geraden Kreiszylinders mit Radius R und Höhe h die z-achse als Achse und die (x, y-ebene als Boden, dann hat er in Zylinderkoordinaten die Darstellung {(r, φ, z; 0 r R, 0 φ < 2π, 0 z h}. Sein Volumen ist v = R r=0 2π h φ=0 z=0 r dz dφ dr = R2 2 2π h = πr2 h.

19 3. Lebesgue-Integration im IR n 51 (2 Wählt man für eine Kugel mit Radius R den Kugelmittelpunkt als Ursprung, dann hat die Kugel in Kugelkoordinaten die Darstellung (r, φ, θ, 0 r, 0 φ < 2π, π 2 θ π. Ihr Volumen ist 2 v = R r=0 2π π/2 φ=0 θ= π/2 1 r 2 cos θ dθ dφ dr = 4 3 πr3. (3 Für die Halbkugel G = {(x, y, z; x 2 + y 2 + z 2 < R 2, z > 0} mit homogener Massenverteilung ρ 1 erhält man bezüglich der Zylinderkoordinatendarstellung die Schwerpunktkoordinaten x S = 0, y S = 0, z S = 3 8 R und das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse T z = G (x 2 + y 2 d(x, y, z = R z=0 2π ϕ=0 R 2 z 2 r=0 r 2 r dr dϕ dz = 4 15 πr5. (4 Für die Kugelschale G := {(x, y, z; R 2 1 < x 2 + y 2 + z 2 < R 2 2 } mit homogener Massenverteilung ρ 1 erhält man bezüglich der Kugelkoordinatendarstellung das Trägheitsmoment bezüglich der z Achse R2 2π π/2 T z = (x 2 + y 2 d(x, y, z = r 2 cos 2 θ r 2 cos θ dθ dϕ dr G = 2π 5 (R 2 5 R 1 5 π/2 π/2 r=r 1 ϕ=0 θ= π/2 cos 3 θ dθ = 8 15 π( R 2 5 R 1 5. Aus Symmetriegründen ergibt sich bei der Kugelschale dieses Trägheitsmoment um jede Achse durch den Nullpunkt. (5 Wir wollen das (für die Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtige konvergente, aber nicht mit Hilfe von Stammfunktionen berechenbare uneigentliche Integral I := 0 e x2 dx bestimmen. I 2 kann man formal als iteriertes Integral im IR 2 mit Integrationsgebiet G = {(x, y 0 < x <, 0 < y < } schreiben: ( 2 ( I 2 = e dx x2 = 0 0 ( ( e x2 dx e y2 dy = e x2 y 2 dy dx. 0 x=0 y=0 Übergang zu Polarkoordinaten mit G = {(r, ϕ 0 < r <, 0 < ϕ < π } und Funktionaldeterminanten r > 0 ergibt 2 ( π/2 I 2 = e r2 r d(r, ϕ = re r2 dϕ dr = π 4 G r=0 ϕ=0 und damit I = 1 2 π.

20 3. Lebesgue-Integration im IR n 52 (6 Die uneigentlichen Integrale 1 0 e t t x 1 dt und existieren für alle x > 0, und damit ist die Gamma-Funktion Γ(x := 0 1 e t t x 1 dt e t t x 1 dt für alle x > 0 definiert. Wegen der für sie geltenden Funktionalgleichung und Γ(1 = 1 gilt Γ(x + 1 = x Γ(x Γ(n + 1 = n!, die Gammafunktion ist also eine stetige Fortsetzung der Fakultätsfunktion n! von IN auf IR +. Aus Beispiel (5 folgt Γ( 1 2 = π. Als Verallgemeinerung von Beispiel (5 ergibt sich weiter (mit der euklidischen Norm ( n dx = e dt t2 = π n/2. (7 Die n-dimensionale Einheitskugel IR n e x 2 IR B n := {x IR n ; x 1} im euklidischen Raum IR n ist meßbar und hat das Volumen κ n = v(b n = π n/2 Γ(1 + n/2. Es gilt lim v(b n = 0. n