Potenzfunktionen Spezialfall 1: Exponent positiv und ganzzahlig

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1 Potenzfunktionen Spezialfall : Eponent positiv und ganzzahlig Funktionsvorschrift: f() = p, wobei p N feste Zahl f() = f() = f() = f() = - Wertebereich D = R falls p ungerade: W = R falls p gerade: W = [0, ) Nullstellen 0 = 0 {, falls p ungerade, f() =, f( ) =, falls p gerade falls p ungerade: Graph punktsmmetrisch zum Ursprung falls p gerade: Graph achsensmmetrisch zur -Achse falls p ungerade: streng monoton wachsend auf ganz R falls p gerade: streng monoton fallend für 0, streng monoton wachsend für 0 Verhalten im Unendlichen lim f() = +, {, falls p ungerade, lim +, falls p gerade kommt wo vor? p = : Abhängigkeiten zueinander proportionaler Größen, etwa Abh. der Kosten von der Warenmenge, Abh. des Kreisumfangs vom Radius p = : Weg-Zeit-Abh. bei gleichm. beschleunigter Bewegung, Abh. des Kreisflächeninhaltes vom Radius p = : Abh. des Kugelvolumens vom Radius

2 Potenzfunktionen Spezialfall : Eponent im Intervall (0,) Funktionsvorschrift: f() = p, wobei p (0,) feste Zahl 0 f() = f() = f() = D = [0, ) Wertebereich W = [0, ) Nullstellen 0 = 0 f() = streng monoton wachsend auf ganz [0, ) Verhalten im Unendlichen lim f() = + kommt wo vor? p = : Abh. der Schwingungsdauer eines Fadenpendels von dessen Länge, Zeit-Weg-Abh. bei gleichm. beschleunigter Bewegung p = : Abh. des Oberflächeninhalts einer Kugel vom Volumen

3 Potenzfunktionen Spezialfall : Eponent negativ und ganzzahlig Funktionsvorschrift: f() = p, wobei p Z, p < 0 feste Zahl f() = f() = f() = f() = - Wertebereich D = R\{0} falls p ungerade: W = R\{0} falls p gerade: W = (0, ) Nullstellen {, falls p ungerade, f() =, f( ) =, falls p gerade falls p ungerade: Graph punktsmmetrisch zum Ursprung falls p gerade: Graph achsensmmetrisch zur -Achse falls p ungerade: streng monoton fallend für < 0 und für > 0 falls p gerade: streng monoton wachsend für < 0, streng monoton fallend für > 0 Verhalten im Unendlichen lim f() = lim f() = 0 Polstellen P = 0 kommt wo vor? p = : Abhängigkeiten indirekt proportionaler Größen, etwa Abh. der benötigten Kraft von der Hebellänge, Abh. der Wellenlänge von der Frequenz p = : Abh. der Gravitationskraft vom Abstand zweier Körper

4 Betragsfunktion Funktionsvorschrift: f() = f() = D = R Wertebereich W = [0, ) Nullstellen 0 = 0 {, falls 0, f() =, falls < 0 achsensmmetrisch zur -Achse streng monoton fallend für 0, streng monoton wachsend für 0 Verhalten im Unendlichen lim f() = lim f() = +

5 Eponentialfunktionen Funktionsvorschrift: f() = a, a > 0 mit a feste Zahl f() = ( ) f() = ( e ) f() = e f() = D = R Wertebereich W = (0, ) Nullstellen f(0) =, f() = a, f( ) = a falls a > : streng monoton wachsend auf ganz R falls a < : streng { monoton fallend auf ganz R +, falls a >, Verhalten im Unendlichen lim f() = { 0, falls a < 0, falls a >, lim +, falls a < kommt wo vor? a > : Kapitalwachstum (mit Zinseszins), Vermehrung von Bakterien a < : radioaktiver Zerfall

6 Logarithmusfunktionen Funktionsvorschrift: f() = log a (), a > 0 mit a feste Zahl f() = log () f() = log e () = ln() f() = log () e f() = log () - D = (0, ) Wertebereich W = R Nullstellen 0 = f(a) =, f( ) = a falls a > : streng monoton wachsend auf ganz R falls a < : streng { monoton fallend auf ganz R +, falls a >, Verhalten im Unendlichen lim f() =, falls a < Polstellen P = 0 kommt wo vor? Abh. des ph-wertes von der Konzentration der Hdroniumionen, Abh. des Wertes der Richterskala vom maimalen Ausschlag des Seismographen

7 Sinus- und Kosinusfunktion Funktionsvorschrift: f() = sin() bzw. f() = cos() f() = sin() -π - π -π - π 0 π π π π - -π - π -π - π 0 π π π π - f() = cos() D = R Wertebereich W = [, ] Nullstellen Sinus: 0k = kπ, k Z Kosinus: 0k = π +kπ, k Z siehe Wertetabelle in der Formelsammlung Sinus: punktsmmetrisch zum Ursprung Kosinus: achsensmmetrisch zur -Achse Periodizität periodisch mit Periode π Sinus: streng monoton wachsend auf [ π, π ],[π, 5π],..., streng monoton fallend auf [ π, π],[5π, 7π],... Kosinus: streng monoton wachsend auf [ π, 0],[π, π],..., streng monoton fallend auf [0, π],[π, π],... Verhalten im Unendlichen unbestimmt divergent kommt wo vor? Abh. der Auslenkung eines Federschwingers oder Fadenpendels von der Zeit, Abh. der Stromstärke und Spannung von der Zeit bei Verwendung von Wechselstrom, Abhängigkeiten von Seitenlängen und Winkeln im Dreieck

8 Funktionsvorschrift: f() = tan() Tangensfunktion f() = tan() -π - π -π - π 0 π π π π Wertebereich Nullstellen Periodizität Verhalten im Unendlichen Polstellen kommt wo vor? D = R\{ π +kπ : k Z} W = R 0k = kπ, k Z siehe Wertetabelle in der Formelsammlung punktsmmetrisch zum Ursprung periodisch mit der Periode π streng monoton wachsend auf ( π, π ),(π, π),... unbestimmt divergent Pk = π +kπ, k Z Abh. der Geschwindigkeit von der Zeit beim Wurf, Abhängigkeiten von Seitenlängen und Winkeln im Dreieck