9 Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

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1 9 Dierentialrechnung ür Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Funktionen von zwei reellen Variablen und ihre Darstellung Unter Funktionen von zwei unabhängigen Variablen versteht man eine Vorschrit, die jedem geordneten Zahlenpaar (;) aus einer Menge D genau ein Element z aus der Menge W zuordnet. z (,) Funktionsgleichung oder g (,z) EXPLIZITE oder h (,z) DARSTELLUNG:, - unabhängige Veränderliche, D - Deinitionsbereich z - abhängige Variable, W - Wertebereich, g, h - Funktionszeichen F (,,z) 0 Relationsgleichung IMPLIZITE DARSTELLUNG (ϕ,ψ) (ϕ,ψ) z z (ϕ,ψ) drei Funktionsgleichungen PARAMETERFORM (ϕ,ψ) - zwei Parameter als unabhängige Veränderliche

2 Beispiele: 1) z z(, ) Deinitionsbereich D:, R Wertebereich W: z R Implizite Form: z 5 0 ) z z(, ) + D:, R W: z 0 (nur positive Funktionswerte) Implizite Form: z 0 ) z z(, ) 5 D: 5 0, da Wurzel + 5 W: z 5 ( + ) 0 z 5, da + 0 z 5 Minimum Ma. + 5 z 0 Ma. Min. Implizite Form: z 5 0

3 Beispiel: Funktionsgleichung 1. Eplizite Form + + z r z r r zwei Kugelhalblächen. Implizite Form. Parameterorm F(,, z): + + z r 0 r cosϕ cosψ r sinϕ cosψ z r sinψ 0 ϕ < π -π ψ < +π Beweise, daß es sich hier um die gleiche Funktion handelt. + + z + + z r

4 Beispiel: Gegeben sei die Variablengleichung: F(,, z): sin( ) e + z 1 0 Welche Funktion z (,) ist damit bestimmt? sin( ) e z + 1 z 1 + [ ln( )]

5 Geometrische Darstellung Da wir jetzt drei Veränderliche haben, legen wir ein rechtshändiges räumliches kartesisches Koordinatensstem (KS) est. Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) r cosϕ cosψ r sinϕ cosψ z r sinψ

6 Beispiele: 1) Ebenen im Raum a + b + cz + d 0 ) Rotationslächen ( ) z +

7 9. Partielle Dierentiation (Ableitungen) Erinnerung ür die 1. Ableitung der Funktion einer Variablen: () ( ) lim ( 1 ) ( ) + lim ( ) ( ) Ableitung einer Funktion z (,) : Der Grenzwert lim ( + h, ) (, ) (, ) (, ) h h z 0 heißt partielle Ableitung bzw. partieller Dierentialquotient der Funktion z (,) nach. Hierbei ist wie eine Konstante zu behandeln. Der Grenzwert lim (, + k ) (, ) (, ) (, ) k k z 0 heißt partielle Ableitung bzw. partieller Dierentialquotient der Funktion z (,) nach. Hierbei ist wie eine Konstante zu behandeln.

8 Beispiel: 1. (, ) +. (, ) sin( ) 1 und an der Stelle P 1 (1,1): (1,1) (1,1). z (, ) ln( + ) e + in P 1 (0,1), P (1,-) z z z (0,1) z (0,1) z (1,-) z (1,-)

9 Beispiel: 4. z (, ) in P (1,) (,) (,) (1,) (1,) 5. u u(,, z) e z z Berechne u u 6. u u(,, z) sin( ) cos( z + ) Berechne die partiellen Ableitungen und ihre Werte an der Stelle π, 0, z π. u (,,z) u (,,z) u z (,,z) u (π,0, π) u (π,0, π) u z (π,0, π)

10 9.. Partielle Ableitungen höherer Ordnung Au partielle Ableitungen höherer Ordnung stößt man, wenn man eine Funktion von mehreren Variablen mehrmals nacheinander partiell dierenziert. z (,) z.b. ist eine gemischte partielle Ableitung. Ordnung (auszuühren von links nach rechts) (, ) (, ) (, ) (, )

11 Satz von Schwarz Die gemischten partiellen Ableitungen k-ter Ordnung sind unabhängig von der Reihenolge der Ableitungen.

12 Beispiel: 1. z(, ) ln( + ) z z z z. Bestimme sämtliche partiellen Ableitungen bis zur. Ordnung ür die Funktion z + z z z z z z z z z z z z z

13 . Wie lauten die partiellen Ableitungen 1. und. Ordnung der Funktion (,, z) e cos( 5 z)? 4. Bilde sämtliche partiellen Ableitungen. Ordnung der 5 Funktion (, ) cos sin e + 1

14 Beispiel: Bilde sämtliche partiellen Ableitungen bis zur. Ordnung von der Funktion (, ) ln

15 9.. Das totale (vollständige) Dierential Unter dem totalen oder vollständigen Dierential dz einer Funktion zweier Veränderlicher z (,) versteht man den Ausdruck dz z d + z d dz d + d Bei n unabhängigen Variablen 1,,..., n ( 1,,..., n ) lautet das totale Dierential: d d1 + d dn 1 n d 1 d... 1 d n n INTEGRABILITÄTSBEDINGUNG Damit ein Term der Form P(, ) d + Q(, ) d das vollständige Dierential dz einer Funktion z (,) darstellt, ist es notwendig und hinreichend, daß die Integrabilitätsbedingung P Q besteht. Beweis: P(, ) und Q(, ) P und Q P Q, was laut Schwarz vorliegt

16 Beispiel: Wie lautet das totale Dierential olgender Funktionen? 1. z ln cot( + ) dz z d + z d [ tan( ) cot( )]( ) dz d + d

17 . z sin( cos ) [ ] dz cos( cos ) cos d sin d. z sin( cos( ) ) ( ( )) ( ) dz cos cos sin( ) d + d

18 Beispiel: Prüe, ob die Ausdrücke ein totales Dierential darstellen. 1. ( + ) d ( ) d. ( 4 ) + ( 4 ) d d. (sin ) d + (cos + 1) d 4. ( + 1) + ( + 1) e d e d 5. d 4d

19 ( arcsin ) 1 1 ( arccos) 1 1 ( arctan ) ( arccot ) z arcsin

20 9...1 Partielle Ableitungen, wenn Funktionen in Parameterdarstellung vorliegen Sei z (,) mit (t) und (t) dann wird auch z eine Funktion von t. Und dann gilt: z z&( t) & & & & z + + mit & d dt & d dt &z dz dt Beispiel: z +, sin t, cos t z - & cost z - & sint ( ) ( ) ( ) z& cost + sint ( sint cost) cost ( cost sint) sint sint cost cos t sint cost + sin t ( cos t sin t) cos( t)

21 9..4 Implizite Dierentiation Vorgelegt sei eine Gleichung zwischen zwei Veränderlichen in der impliziten Form (,) 0 Wir gehen im Folgenden davon aus, daß damit eine Funktion deiniert ist. () Um ihre Ableitung zu bilden waren wir bis jetzt gezwungen zunächst die Funktion nach auzulösen und an der epliziten Form () die Ableitung ormal vorzunehmen. In vielen Fällen ist die Aulösung weder nach noch nach möglich, z.b. bei F(, ) sin cos F(, ) Um auch in solchen Fällen die Ableitung bilden zu können gehen wir von z (,) aus und bilden ihr totales Dierential oder dz d + d dz d + d

22 Setzen wir jetzt wieder z (,) 0, so olgt mit dz 0 d + d 0 / : d + d d 0, d d + 0 muß ungleich Null sein, andernalls eistiert nicht Um die zweite Ableitung zu erhalten bilden wir die Substitution: ϕ (, ) totales Dierential von, d ϕ d d + ϕ d / : d d ϕ ϕ d + d d ϕ ϕ + mit d d ϕ + ϕ ( ) ( ) ( ) + ( )

23 + + gemeinsamer Nenner bringt: muß ungleich Null sein. Man beachte, daß und als Funktionen von und erscheinen: (,) (,)

24 Beispiel: Man bestimme die ersten beiden Ableitungen der Funktion: F(, ) sin + 0 sin + sin cos + sin( ) ( cos + 1) Unter Anwendung der herkömmlichen Methode (gliedweise Dierentiation + Kettenregel): sin + cos + 0 sin + ( cos + 1) 0 sin cos + 1

25 ( 1) ( ) ( cos + 1) cos cos + sin cos sin cos sin ( ) ( ) sin ( sin ) cos + 1 sin cos cos + 1 ( cos + 1) ( cos + 1) cos sin sin cos ( cos + 1) sin ( cos + 1) sin cos + sin ( cos + 1) ( cos + 1) ( + ) sin + ( cos + 1) ( cos + 1) ( cos + 1) sin( ) cos 1 ( ) ( cos + 1) ( cos + 1) sin( ) cos sin ( ) ( cos + 1) sin( ) cos sin Zähler, da der Nenner gleich ist: Z: sin cos cos + sin( ) + sin Z: sin + sin cos + sin( )

26 Beispiel: Berechne der Funktion + 1 / 16 bzw F (,) Gestalt ist zuerst gesucht: F (,) 4 9

27 Beispiel: Bestimme der Funktion F(, ) ln cos ln ( cos) sowohl in der impliziten als auch nach Herstellung der epliziten Form. Implizite Form: mit e cos 1 cos e sin 1 cos Eplizite Form: e cos

28 Beispiel: 1) Bestimme ür ) Bestimme ür F(, ) ( + )

29 Beispiel: Welchen Wert hat ( 11, ) ür die implizite Funktion ln ln ln ln ln ln ln ( 11, ) 0