Hörsaalübung 1 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2018/2019 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 1 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Einführung in das Gebiet der Differentialgleichungen Einfache Gleichungen, Substitution Die ins Netz gestellten Kopien der Unterlagen sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Analysis III (ANA) / Differentialgleichungen I (DGL) Vorlesungen: wöchentlich Übungen: im wöchentlichem Wechsel DGL/ANA Hausaufgaben im Netz, Beantwortung der Fragen zu den Hausaufgaben und Bearbeitung der Präsenzaufgaben in Kleingruppen Anmeldung erforderlich! Hörsaalübungen: im wöchentl. Wechsel ANA/DGL : Brücke zwischen Vorlesung und Übung/Klausur Organisation / Hörsaalübung : Hanna Peywand Kiani Klausur: modular DGL / ANA, Aufgaben wie Übungen Matlab: Sehr nützlich in Mathe III und später für Sie! Etwas problematisch: Hörsaalübungen vor Vorlesungen BITTE NUR zu der Übungsgruppe gehen, in der Sie angemeldet sind 2

3 Infos/ Lehrmaterial unter Vorlesungen > Analysis III bzw. DGL I wählen. Dort erscheint - Kontakt - Gruppen - Zeitplan - Lehrmaterial Unter Lehrmaterial findet man Vorlesung/Übung(slösungen)/Hörsaalübung Sprechstunden! 3

4 Explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung Bisher : algebraische Gleichungen Lösungen : Zahlen/Vektoren (Tupel) Zum Beispiel: x 2 4x+3 = 0, A v = b. Jetzt : Differentialgleichungen Lösungen: Funktionen Etwa: gesucht Funktion x : D R, D R mit ẋ(t) = f (t, x(t)) Beispiel: DGL. ẋ(t) = 1 t x(t) + t t 1 Jede Funktion x(t) = ct+t 2, c R erfüllt die DGL: = i.d.r. unendlich viele Lösungen! 4

5 Physikalisch klar: Geschwindigkeit bekannt Ort? Welche Info fehlt? = Anfangs- oder Randwerte nötig (AWe/RWe) x(t) = ct+t 2, c R heißt Allgemeine Lösung der DGL ẋ(t) = 1 t x(t) + t t 1, x(1) = x 0 heißt Anfangswertaufgabe Beispiel: x(1) = x 0 = 3 DGL n oft nur numerisch lösber spezielle Typen auch analytisch lösbar 5

6 Motivation Wachstumsprozess x(t) = Masse einer Population (Bakterien, Hasen, Löwenzahn,...) zum Zeitpunkt t, Geldmenge zum Zeitpunkt t Annahme: Zuwachs/Verzinsung proportional zur Anfangsmenge und proportional zur vergangenen Zeit: Modell: x(t+ t) x(t) = α x(t) t 6

7 Was muss man noch wissen, um den Kontostand zum Zeitpunkt t > 0 angeben zu können? 7

8 Noch ein Beispiel: Schwingung ohne Reibung x(t) = Auslenkung aus der Ruhelage zum Zeitpunkt t Annahme: Beschleunigung wirkt entgegen der Auslenkung und ist vom Betrag her proportional zur Auslenkung ẋ(t) = Geschwindigkeit ẍ(t) = Beschleunigung = Welche Funktionen erfüllen das? 8

9 Allgemeine(re) Lösung: x(t) = Welche Info braucht man um eine eindeutige Lösung zu bekommen? 9

10 Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Lineares Polynom: p(x) = a x + b Lineare Dgl: ẋ(t) = a x(t) + b Homogene Differentialgleichung : ẋ h (t) = a x h (t) Oben gesehen: Allgemeine Lösung Inhomogene Differentialgleichung : ẋ(t) = a x(t) + b, b 0. Bestimme eine partikuläre Lösung Hier einfach: 10

11 Behauptung: x(t) := x h (t)+x p (t) löstdieinhomogenedifferentialgleichung 11

12 Konkretes Beispiel: x(t) := Zahl der Feldhasen in einem bestimmten Gebiet zum Zeitpunkt t. Modell: - Natürliche Zunahme der Zahl der Hasen pro Zeiteinheit ist proportional zur Zahl der Hasen - Erfahrungsgemäß werden 5 Hasen pro Zeiteinheit von Räubern (Greifvögel, Füchsen etc.) getötet. Gesucht Zahl der Hasen zum Zeitpunkt t = 3. Welche Info fehlt? Für eine kleine Zeitspanne t modelliert man: x(t+ t) x(t) = α x(t) t 5 t, x(0) = 10 12

13 ẋ(t) = ẋ h (t) = αx h (t) = x p (t) soll ẋ(t) = αx(t) 5 erfüllen. Ansatz: x p (t) := x p (t) = 5 α 13

14 Allgemeine Lösung: Anfangsbedingung x(0) = 10 liefert bei Proportionalitätsfaktor α = ln(2) 14

15 m-file mit Namen ode45_2018 ************************ tspan= [0 3]; y0=10; hold on [t,y] = ode45 (@funk1c, tspan, y0); plot (t,y, -- ) xlabel ( t ) ylabel ( solution y ) % Vergleich mit der exakten Lösung tt=0:0.1:3; yex= ((10 - (5/log(2)))* 2.^tt )+(5/log(2)) plot(tt,yex, r: ) ******************************************* m-file mit Namen funk1c ************************ function dydt=funk1c(t,y) dydt=log (2)*Y- 5; ***************************************** 15

16 Aufruf in Matlab: >> ode45_ solution y t 16

17 Logistisches Wachstumsmodell/ Beispiel für Substitution: x(t) = wieder Anzahl Feldhasen im System, zum Zeitpunkt t, Jetzt aber endliche Ressourcen: Das System gibt nur Futter für x max Hasen her Annahmen: Zuwachs Hasenanzahl pro Zeiteinheit - proportional zur aktuellen Zahl der Hasen - proportional zur Differenz zwischen x(t) und x max Model: 17

18 Substitution z(t) := x 1 (t) 18

19 Beispiel: ẋ(t) = 0.003x(t)(x max x(t)), x(0) = 100, x max = solution y t 19

20 % Einfaches m-file zur Loesung nicht steifer DGL N % tspan = [Anfangswert, Endwert] der unabhängigen Variablen ( t o % y0= Anfangsfunktionswert der gesuchten Loesungsfunktion y (t) bz tspan= [0 2]; y0=10; hold on [t,y] = ode45 (@funk1d, tspan, y0); plot (t,y, -- ) xlabel ( t ) ylabel ( solution y ) % Vergleich mit der exakten Lösung tt=0:0.04:2; yex= 1000*(1+99*exp(-30.*tt)).^(-1); plot(tt,yex, r: ) 20

21 function dydt=funk1d(t,y) dydt=-0.03*(y -1000)*Y; 21

22 Näherungslösung mit MATLAB ode45 Gegeben: ẏ(t) = f (t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 Gesucht: Näherung für y(t) auf dem Zeitintervall [t 0, t final ] bzw. Näherungen für y(t k ) für vorgegebene Werte t k aus dem Zeitintervall [t 0, t final ] Notwendige Vorgaben: t Bereich, y 0, rechte Seite der DGL f t Bereich: >> tspan=[t_0 tfinal]; %z.b. tspan=[0 5] oder >> tspan=t_0:schrittweite:tfinal; %z.b. tspan=0:0.01:5; y 0, >> y0=wert; %z.b. y0=2 spaeter auch y0=vektor 22

23 rechte Seite der DGL f als function in einem gleichnamigen m-file Zum Beispiel für f(t,y) = t y,y(0) = 2, Näherung gesucht für t [0,5] : m-file mit Namen funk1 ************************ function dydt=funk1(t,y) dydt=t*y Weiteres m-file mit Namen aufg3: ******************************** tspan=[0 5]; y0=2; [t,y]=ode45(@funk1,tspan,y0); plot(t,y) Aufruf in Matlab: >> aufg3 23

24 Ausgabe: Plot einer Näherung für die Lösung Zu jeder Komponente des Vektors tspan (t 1,,t n ) wird eine Näherung y k y(t k ) ausgerechnet und gespeichert. Später bei Systemen gehört zu jedem Zeitpunkt eine Zeile von Komponenten der Lösung. ACHTUNG: t,y sind Vektoren. Will man weiter rechnen, z.b. um mit der exakten Lösung y(t) = 2e t2 /2 zu vergleichen, rechnet man z.b. yex=2*exp(t.*t./2); oder yex=2*exp((t.^2)/2); err=yex-y; plot(t,err) %Plot der absoluten Fehler 24

25 solution y error t t 25