Carsten, Schubert Laplace-Operatoren auf Quantengraphen

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1 Fakultät für Mathematik Professur für Analysis Diplomarbeit Laplace-Operatoren auf Quantengraphen Carsten Schubert Chemnitz, den 13. November 006 Betreuer: Prof. Peter Stollmann PD Daniel Lenz

2 Carsten, Schubert Laplace-Operatoren auf Quantengraphen

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Aufteilung Gemischte Grundlagen Beschränkte und unbeschränkte lineare Operatoren l -Summe von Hilberträumen Sesquilinearformen und quadratische Formen L p -, Sobolevräume und ihre Eigenschaften Definition von Quantengraphen 13.1 Metrische Graphen als Topologischer Raum Eine Metrik auf Metrische Graphen Weitere Eigenschaften Metrischer Graphen Funktionen auf Quantengraphen Laplace-Operatoren und ihre Formen auf Quantengraphen Knoten-Randbedingungen für den Laplace-Operator Kirchhoff Knoten-Randbedingungen Sesquilinearform und selbstadjungierter Laplace-Operator Laplace-Operatoren auf unendlichen Quantengraphen Selbstadjungierte Laplace-Operatoren auf unendlichen Quantengraphen Beispiele für Knoten-Randbedingungen Spektrum und verallgemeinerte Eigenfunktionen Auswertung 68 Selbstständigkeitserklärung 69 Literaturverzeichnis 70 i

4 ii Inhaltsverzeichnis

5 Einleitung In vielen Gebieten der Forschung werden für die fortwährenden Entwicklung neuer Techniken und Verfahren auch neue Modelle benötigt. Es stellte sich heraus, dass neben den normalen diskreten Graphen auch eine Art kontinuierlicher Graphen von Interesse ist. Dies sind Graphen, bei denen nicht nur die Knoten, sondern auch alle Punkte auf den Kanten wichtig sind, und welche metrische Graphen genannt werden. Dabei wird meistens - je nach Anwendung - nur ein spezieller Graph behandelt, und es werden vereinfachte, angepasste Notationen verwendet, die auf anderen Klassen von Graphen nicht benutzbar sind. Deshalb wird in der vorliegenden Arbeit eine Schreibweise entwickelt, die allgemein ist und keine einschränkenden Anforderungen an die Graphen stellt. Unter anderem sollen unendliche Graphen, unendlich lange Kanten, mehrfache Kanten und Schlaufen erlaubt sein. Um Funktionen und Funktionenräume auf diesen Graphen studieren zu können, sind gewisse Einschränkungen an den Graphen nötig. Werden dann Differentialoperatoren auf ihnen betrachtet, werden sie als Quantengraphen bezeichnet. Hier wird dies am Falle des negativen Laplace-Operators vorgestellt. Es wird beschrieben, welche Anforderungen an Randbedingungen in den Knoten gestellt werden müssen, damit diese die Selbstadjungiertheit des Operators gewähren. Mit Hilfe dieser Randbedingungen werden dann erste spektrale Eigenschaften aufgezeigt. Aufteilung Das erste Kapitel beinhaltet notwendige Grundlagen, die noch nichts mit Quantengraphen zu tun haben, aber für den Rest der Arbeit notwendig sind. Dies sind Eigenschaften unbeschränkter linearer Operatoren, die l -Summe von Hilberträumen als Grundlage für die Funktionenräume über Quantengraphen, Sesquiliniearformen, quadratische Formen mit assoziiertem Operator und die L p - und Sobolevräume mit einigen Eigenschaften. Im zweiten Kapitel werden metrische Graphen unter dem Ziel eingeführt, dabei so allgemein wie möglich zu bleiben. Bei deren anschließender Untersuchung auf topologische Eigenschaften stellen sich bestimmte Einschränkungen als sinnvoll heraus, welche dann die Quantengraphen definieren. Hier werden auch Funktionenräume über metrische Graphen und Quantengraphen von L p - bzw. Sobolevräumen über reellen Intervallen abgeleitet. Damit sind alle notwendigen Voraussetzungen für Differentialoperatoren geschaffen. Das 1

6 Einleitung dritte Kapitel beschäftigt sich mit Knoten-Randbedingungen für den negativen Laplace- Operator. Über quadratische Formen wird dann für endliche Quantengraphen bewiesen, dass die Randbedingungen die Selbstadjungiertheit des Operators gewähren. Unendliche Quantengraphen werden im vierten Kapitel behandelt. Mit Annahmen, die sich aus der Beweisführung des endlichen Falls ergeben, wird das selbe Resultat mit den selben Randbedingungen auch in diesem Fall gewonnen. Die bekannten Dirichlet-, Neumann- und Kirchhoff-Randbedingungen werden in der hier verwendeten Form angegeben. Zuletzt werden erste spektrale Eigenschaften behandelt.

7 1 Gemischte Grundlagen Bevor mit der Definition von Quantengraphen begonnen werden kann, werden einige Grundlagen erwähnt oder bewiesen. Als erstes geht es um Differentialoperatoren und deren Spektrum. Es wird gezeigt, dass diese unbeschränkt sind und ein Kriterium angegeben um Punkte im Spektrum zu finden. 1.1 Beschränkte und unbeschränkte lineare Operatoren Eine wichtige Unterscheidung von Operatoren ist die in beschränkte und unbeschränkte Operatoren. Definition Sei T ein linearer Operator, der aus dem normierten Raum (E, E ) in den normierten Raum (F, F ) abbildet mit Definitionsbereich D(T ) T. Dann heißt T beschränkt, falls ein c > 0 existiert, mit T x F beschränkt ist, dann heißt T unbeschränkt. c x E x D(T ). Wenn T nicht Funktionen auf einen Quantengraphen bilden die Intervalle (0, l) der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen ab. Auf diese Funktionen werden oft Differentialoperatoren angewendet und diese sind meist unbeschränkt, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel Sei der Funktionenraum L (0, l) aller quadratintegrierbaren Funktionen auf (0, l) in die komplexen Zahlen gegeben und bezeichne den Differentialoperator der ersten Ableitung und den negativen Laplace-Operator, beide über dem Definitionsbereich C (0, l) - den unendlich oft differenzierbaren Funktionen über (0, l). Angewendet werden diese auf die Funktionen f n (x) = e inx für x (0, l) und n N. Klar ist, dass f n in L (0, l) enthalten ist, da f n L (0,l) = f n dx = 1dx = l (0,l) (0,l) endlich ist. Als Exponentialfunktionen liegen diese auch in C (0, l). Im Gegensatz zu den Normen von f n hängen die Normen von f n und f n von n ab. Denn f n L (0,l) ist gleich ine inx dx = n dx = n l (0,l) (0,l) und f n L (0,l) = f n (x) dx = n e inx dx = n 4 l. (0,l) (0,l) 3

8 4 1 Gemischte Grundlagen Damit gibt es für jedes c > 0 ein n 1 bzw. n N, so dass f n1 > c f n1 bzw. f n > c f n. Für n 1 muss n 1 > c gelten und für n reicht die Beziehung n > c aus. Also sind und auf C (0, l) unbeschränkte Operatoren. Definition Sei E ein normierten Raum E über dem Körper K und T : E E, D(T ) E ein linearer Operator. Die Menge ρ(t ):= {λ K (T λi) ist invertierbar und (T λi) 1 ist beschränkt} heißt die Resolventenmenge und deren Komplement σ(t ):= K \ ρ(t ) das Spektrum von T. Die Spektraltheorie untersucht das Spektrum von Operatoren. Es geht darum, das Spektrum zu charakterisieren. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein bestimmter Punkt im Spektrum liegt, wie sieht es in dessen Umgebung aus? Ein wichtiges Kriterium, um die Beschränktheit und Existenz des inversen Operators zu überprüfen wird im folgenden angegeben. Wenn dieses für einen Operator (T λi) nicht erfüllt wird, liegt der zugehörige Punkt λ im Spektrum von T. Dazu werden zwei allgemeine Sätze über beschränkte Operatoren angegeben. Hilfssatz Sind E und F normierte Räume und T : E F, D(T ) = E ein linearer Operator, so sind folgende Aussagen äquivalent: (i) T ist beschränkt, (ii) T ist gleichmäßig stetig, (iii) T ist stetig in 0. Beweis. Aus der Beschränktheit und der Linearität von T folgt für x y E: T x T y c x y, also die gleichmäßige Stetigkeit von T, da x y E für alle x, y E. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit folgt die Stetigkeit und damit auch diese in 0. Aus der Definition der Stetigkeit im Punkt Null, folgt für ɛ = 1, die Existenz eines δ > 0 mit T (x 0) = T x 1 für alle x mit x 0 δ. Für ein beliebiges x E \ {0} ergibt sich: ( ) T x = δ x T δ x x = x ( ) δ δ T x x 1 δ x, da T y 1 für y = δ x x = δ x x = δ. Somit ist T beschränkt. Satz Seien E, F normierte Räume und T : E F, D(T ) = E ein linearer, surjektiver Operator. Der inverse Operator T 1 existiert und ist stetig, genau dann wenn ein b > 0 existiert, so dass T x F b x E x E.

9 1. l -Summe von Hilberträumen 5 Beweis. Sei T x b x für alle x E, dann ergibt sich aus x 0: T x 0, woraus folgt, dass T injektiv ist. Damit ist T bijektiv und es existiert der inverse Operator T 1. Wegen T 1 T x = x b 1 T x ist T 1 beschränkt. Aus der Beschränktheit folgt nach Hilfssatz die gleichmäßige Stetigkeit und daraus die Stetigkeit von T 1. Angenommen T 1 existiert und ist stetig, dann folgt aus der Stetigkeit im Punkt T x nach Hilfssatz die Beschränktheit von T 1 durch ein c > 0 und somit gilt x = T 1 T x c T x für alle x aus E. Die Konstante c 1 > 0 liefert die Beschränktheit nach unten von T. 1. l -Summe von Hilberträumen Die Räume, auf denen Spektraltheorie betrieben wird, sind Banach- und Hilberträume. Um auf Graphen arbeiten zu können müssen mehrere Räume aneinander gesetzt werden können. Eine Art, dies zu realisieren, wird im Folgenden beschrieben. Hilfssatz Seien (H i,, i ) Hilberträume für eine abzählbare Indexmenge I. Dann ist die l -Summe dieser Hilberträume H = { H i = f f = (f i ) i I, f i H i und } f i i < H i i I i I i I ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt (f i ), (g i ) = i I f i, g i i für (f i ), (g i ) H. Beweis. Der zu betrachtende Raum ist offensichtlich ein Vektorraum. Die Eigenschaften des Skalarproduktes folgen aus der Gültigkeit dieser in den einzelnen Komponenten. Dass das Skalarprodukt nicht unendlich ist, folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in den Komponenten und der Beschränkung auf eine endliche Summe der Normquadrate. Darüber hinaus ist H vollständig. Um dies zu zeigen wird die Schreibweise der Funktionen geändert. Sei (f n ) n N eine Cauchy-Folge in H. Dann schreibt sich jede einzelne Funktion (f n (i) ) i I, wobei für alle n N f n (i) eine Funktion aus H i ist. Dann gibt es für jedes ɛ > 0 ein N ɛ, so dass f n f m = i I f (i) n f (i) m i ɛ (1.1) für alle n, m > N ɛ. Wenn nur über endlich viele Indices summiert wird, gilt dies natürlich auch. Klar ist auch, dass (f n (i0) ) n N Cauchy-Folge in H i0 ist. Diese konvergieren alle, da die Räume alle vollständig sind, also gibt es (f (i) ) i I i I H i, so dass für n gegen unendlich (f n (i) ) n N gegen f (i) konvergiert, für alle i I. Damit folgt aus Ungleichung (1.1), wenn nur über endlich viele Indices summiert wird und für m gegen unendlich k i=1 f (i) n f (i) i ɛ

10 6 1 Gemischte Grundlagen k N. Für k gegen unendlich ergibt dies i=1 für alle n > N ɛ. Dies zeigt, dass (f n (i) konvergiert die Cauchy-Folge in H. f (i) n f (i) i ɛ f (i) ) i I und damit auch (f (i) ) i I in H liegt. Also Die l -Summe von Hilberträumen ist also wieder ein Hilbertraum. Die hier zu Grunde liegenden Räume werden immer mit dieser Methode gewonnen. 1.3 Sesquilinearformen und quadratische Formen Um Eigenschaften eines Operators zu bestimmen und nachzuweisen, ist es manchmal einfacher, Sesquilinearformen und quadratische Formen zu betrachten, die mit dem Operator in Verbindung stehen. Die dazu benötigte allgemeine Theorie wird im Folgenden beschrieben und ist zum Beispiel in [BS87] oder [RS80] nachzulesen. Zuerst werden Eigenschaften von Sesquilinearformen und quadratischen Formen definiert, die erfüllt sein müssen, damit es eine geeignete Beziehung zwischen Form und Operator gibt. Definition Sei (H,, ) ein Hilbertraum. Eine hermitesche Sesquilinearform s, die auf einer in H dichten Teilmenge D(s) definiert ist, heißt nach unten beschränkt, wenn es ein M R gibt, so dass s[f, f] M f, f für alle f D(s) gilt. Als größte untere Schranke ergibt sich m := inf s[f, f]. f D(s) f,f =1 Wenn m positiv ist, dann heißt s positiv definit. Die Abbildung s : D(s) C, die f auf s[f, f] abbildet wird quadratische Form genannt. Die Bezeichnungen nach unten beschränkt und positiv definit gelten für diese analog. Bemerkung Wenn eine quadratische Form s über einem komplexen Hilbertraum gegeben ist, dann gibt es eine eindeutige erzeugende Sesquilinearform s[f, g]. Gewonnen wird sie über die Formel s[f, g] = 1 (s[f + g, f + g] s[f g, f g] + is[f + ig, f + ig] is[f ig, f ig]). 4 (1.) Der Beweis ergibt sich durch Nachrechnen. Wenn s positiv definit ist, dann ist s[f, g] ein Skalarprodukt und s[f, f] eine Norm auf D(s). Definition Sei s[f, f] eine positiv definite, quadratische Form, die auf D(s) definiert ist. Diese heißt abgeschlossen, wenn (D(s), s) vollständig ist.

11 1.3 Sesquilinearformen und quadratische Formen 7 Definition Sei H ein selbstadjungierter Operator mit D(H) H und s eine abgeschlossene, positiv definite Form mit D(s) H. Dann heißt H zu s assoziiert, wenn D(s) D(H) und Hf, g = s[f, g], für alle f D(H), g D(h). H ist dann positiv definit und als untere Schranke ergibt sich die untere Schranke von s. Der folgende Satz zeigt wann diese Verbindung auftritt und ob sie eindeutig ist. Hilfssatz Zu jeder abgeschlossenen, positiv definiten Form s existiert genau ein selbstadjungierter, positiv definiter Operator H, der zu s assoziiert ist. Und umgekehrt existiert zu jedem selbstadjungierten, positiv definiten Operator H, genau eine positiv definite, abgeschlossene Form s, die zu H assoziiert ist. Der Beweis dazu ist nachzulesen in [BS87], im Abschnitt 10.1 Theorem 1 und Theorem. Diese Definitionen und Beziehungen lassen sich auch auf nach unten beschränkte (nicht positiv definite) Sesquilinearformen ausdehnen. Hilfssatz Sei s eine hermitesche Sesquilinearform auf D(s). Wenn s nach unten beschränkt ist, mit größter unterer Schranke m, dann ist für alle α > m s α [f, g] := s[f, g] + α f, g ein Skalarprodukt und die Wurzel daraus, s α [f, f], eine Norm auf D(s). Beweis. Zuerst wird gezeigt, dass s α ein Skalarprodukt auf D(s) ist. s α ist hermitesch, da s und das vorhandene Skalarprodukt, hermitesch sind und α reel ist. Die Sesquilinearität ist klar. s α [f, f] R folgt auch aus der Sesquilinearität und s α [f, f] 0 aus α > m. s α [0, 0] = s[0, 0]+α 0, 0 = s[0, 0] = 0, da aus s[f, f] = s[f +0, f] = s[f, f]+s[0, f] für alle f D(s) folgt, dass s[0, f] = s[f, 0] = 0. Sei s α [f, f] = 0, dann folgt aus der Beschränktheit nach unten und der Definition von α: 0 = s[f, f] + α f, f m f, f + α f, f = (m + α) f, f 0. Da m + α > 0 ist, muss dann f identisch zu null sein. Damit sind alle Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt. α = s α [, ] ist Norm auf D(s). Dies ist klar, da es die von s α erzeugte Norm ist. Für die Dreiecksungleichung wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in der Form s α [f, g] (s α [f, f]s α [g, g]) 1 benötigt, welche aber für ein Skalarprodukt gilt. Definition Sei s mit D(s) H eine nach unten beschränkte quadratische Form. Sie heißt abgeschlossen, wenn s α für ein α > m abgeschlossen ist.

12 8 1 Gemischte Grundlagen Bemerkung Die Normen s α sind alle äquivalent. Damit ist s genau dann abgeschlossen, wenn (D(s), s α ) für ein (und damit für alle) α > m vollständig ist. Beweis. Seien Normen s α und s β gegeben und β > α. Offensichtlich ist s α kleiner oder gleich s β. Es gilt ( ) β + m α + m und weiteres Umformen liefert = s[f, f] + s α [f, f] = β + m α + m β + m (α + m) α + m β + m s[f, f] + α f, f α + m s[f, f] + β + m α f, f. α + m Wird die Beschränktheit von s nach unten durch m f, f ausgenutzt, ergibt sich: s[f, f] + β α β + m m f, f + α f, f. α + m α + m Dies ist aber gleich s β [f, f], da β α α+m m + β+m α+mα gerade β ergibt. Die Ungleichungskette ( ) β + m s α [f, f] s β [f, f] s α [f, f] α + m zeigt die Äquivalenz der Normen. Definition Sei H ein selbstadjungierter Operator mit D(H) H und s eine abgeschlossene, nach unten beschränkte Form mit D(s) H. Dann heißt H zu s assoziiert, wenn D(s) D(H) und Hf, g = s[f, g], für alle f D(H), g D(h) gilt. H ist dann nach unten beschränkt mit der selben Konstanten wie s. Wieder gibt es eine Beziehung zwischen assoziiertem Operator und Form. Satz Zu jeder abgeschlossenen, nach unten beschränkten Form s existiert genau ein selbstadjungierter, nach unten beschränkter Operator H, der zu s assoziiert ist. Und umgekehrt, existiert zu jedem selbstadjungierten, nach unten beschränkten Operator H, genau eine nach unten beschränkte, abgeschlossene Form s, die zu H assoziiert ist. Beweis. Zu der Form s α existiert genau ein selbstadjungierter, positiv definiter Operator H α. Der Operator H = H α αi ist dann zu s assoziiert und eindeutig, da H α eindeutig ist. Zum Operator H α = H + αi existiert genau eine assoziierte selbstadjungierte, positiv definite Form s α. Die Form s[f, g] = s α [f, g] α f, g ist dann zu H assoziiert und eindeutig, da s α eindeutig ist. Sei eine nach unten beschränkte, abgeschlossene Form s gegeben, dann ist der Definitionsbereich des assoziierten selbstadjungierten Operators D(H) im Definitionsbereich der Form D(s) enthalten. Genauer besteht D(H) aus allen Funktionen aus D(s), die folgende Bedingung erfüllen: D(H) = {f D(s) g H φ D(h) ist g, φ = s[f, φ]}.

13 1.4 L p -, Sobolevräume und ihre Eigenschaften 9 Nachzulesen ist dies in [RS80], im konstruktiven Beweis VIII.15. Ist umgekehrt ein selbstadjungierter, nach unten beschränkter Operator gegeben, dann entspricht der Definitionsbereich der assoziierten Form gerade dem Definitionsbereich des Operators H 1/. 1.4 L p -, Sobolevräume und ihre Eigenschaften Die L p -Räume sind Funktionenräume und Grundlage für die Spektraltheorie kontinuierlicher Probleme. Allerdings beinhalten sie keine Differenzierbarkeit. Um dies zu gewährleisten, werden Sobolevräume eingeführt, die Teilmengen der L p -Räume sind und eine gewisse Differenzierbarkeit der Funktionen beinhalten. Im Folgenden werden diese Räume definiert und wichtige Eigenschaften aufgelistet. Definition Sei Ω ein Gebiet (nicht leer, offen) in R n. C0 (Ω) ist die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger auf Ω. L 1 loc (Ω) ist der Raum der Funktionen, die auf Ω definiert sind und in L 1 (U) liegen, für jedes offene U, so dass U kompakt und U Ω. Bemerkung C 0 (Ω) ist dicht in Lp (Ω), wenn 1 p < - siehe zum Beispiel Korollar.30 in [AF03]. Definition Sei u L 1 loc (Ω). Wenn es eine Funktion v α L 1 loc (Ω) gibt, so dass u(x)d α φ(x)dx = ( 1) α v α φ(x)dx für jede Testfunktion φ (φ C0 (Ω)), dann heißt Ω Ω v α die schwache Ableitung von u. Sie wird bezeichnet mit D α u = v α. Wenn die übliche Ableitung von u existiert, dann ist diese gleich der schwachen Ableitung. Es muss aber nicht immer die übliche Ableitung existieren, wenn die schwache Ableitung existiert. Definition Der Raum der Funktionen über Ω R n, deren schwache Ableitungen bis zur Ordnung m existieren und in L p liegen, wird mit W m,p (Ω) := {u L p (Ω) D α u L p (Ω) für 0 α m} bezeichnet und Sobolevraum genannt. Um Vollständigkeit dieses Raumes zu gewährleisten wird eine neue Norm definiert. Definition Es wird die Abbildung m,p : W m,p (Ω) R + definiert, wobei m eine natürliche Zahl ist und 1 p. u m,p = 0 α m D α u p

14 10 1 Gemischte Grundlagen u m, = max 0 α m Dα u Für p < ist dies die Summe aller L p -Normen aller schwachen Ableitungen bis zur Ordnung m. m,p ist eine Norm auf den Sobolevraum W m,p. Analog wird für 0 j m und 1 p < das Funktional j,p definiert als: u j,p = D α u p, α =j die Summe über alle schwachen Ableitungen der Ordnung α = j. Diese Abbildung ist offensichtlich eine Seminorm für j > 0. (Eine konstante, von null verschiedene Funktion, wird auf null abgebildet.) Ein weiterer Funktionenraum, der wesentlich zur Vorstellung von W m,p (Ω) beiträgt, ist die Vervollständigung des Raumes der m-fach differenzierbaren Funktionen: H m,p (Ω) = Vervollständigung von {u C m (Ω) u m,p < } unter m,p. Folgende Aussagen über Sobolevräume sind wichtig und werden später verwendet: Satz (W m,p (Ω), m,p ) ist ein Banachraum.. W m, (Ω) ist separabler Hilbertraum mit dem Skalarprodukt u, v m, = D α u(x)d α v(x)dx. 0 α m Ω Im Folgenden wird W m, (Ω) mit H m (Ω) bezeichnet. 3. W m,p (Ω) = H m,p (Ω) für 1 p <. Die Aussagen sind in [AF03] zu finden als Theoreme 3.3, 3.6 und 3.17, wobei letzteres auch unter dem Satz von Meyer & Serrin bekannt ist und zeigt, dass die glatten Funktionen über dem Gebiet Ω dicht in W m,p (Ω) liegen. Bisher hingen die Eigenschaften der Funktionsräume nicht vom Gebiet Ω ab. Um weitere wichtige Eigenschaften zu gewähren, wird eine Anforderung an das Gebiet gestellt - welche aber im Fall der Quantengraphen automatisch erfüllt sein wird. Definition Sei v ein von null verschiedener Vektor aus R n, ρ > 0 und 0 < κ π. Dann heißt die Menge C = { x R n x = 0 oder 0 < x ρ, (x, v) κ } endlicher Kegel mit Öffnungswinkel κ, Höhe ρ, in Richtung v und Ursprung null.

15 1.4 L p -, Sobolevräume und ihre Eigenschaften 11 Definition Eine Menge Ω erfüllt die Kegeleigenschaft, wenn es einen endlichen Kegel C gibt, so dass für alle x Ω eine beliebige Bewegung dieses Kegels zum Ursprung x besteht, so dass C x eine Teilmenge von Ω ist. Mit Hilfe dieser Eigenschaft lassen sich weitere wichtige Eigenschaften der Sobolevräume zeigen. Spezielles Augenmerk wird dabei auf die Räume W 1, = H 1 und W, = H über reellen Intervallen gelegt. Ein Teil des Sobolev Einbettungssatzes besagt: Satz Sei Ω ein Gebiet im R n, j 0 und m 1 ganze Zahlen und 1 p <. Wenn Ω die Kegeleigenschaft besitzt und mp > n oder m = n und p = 1 gilt, dann gibt es eine Einbettung von W j+m,p (Ω) in C j B (Ω). Der Beweis ist als Teil des Einbettungssatzes in [AF03] als Theorem 4.1 nachzulesen. Bemerkung Für den Hilbertraum (H (0, l),,, ) gilt: Das Gebiet (0, l) erfüllt die Kegeleigenschaft. Funktionen aus H (0, l) sind einmal stetig differenzierbar. Beweis. Es wird der Kegel C mit dem Öffnungswinkel κ = π, der Höhe ρ = l 3 Richtung v = 1 R konstruiert. Für jedes x (0, l) liegt der Kegel x + C, für x (0, l C x = ] x C, für x ( l, l) und der offensichtlich in (0, l). Da das Gebiet (0, l) die Kegeleigenschaft besitzt, gilt nach Satz für m = j = n = 1 und p = : pm = > 1 und damit sind die Funktionen aus W 1+1, (0, l) = H (0, l) auch Elemente von CB 1 (0, l), also einmal stetig differenzierbar und beschränkt. Hilfssatz Sei 1 p <. Ω R n erfülle die Kegeleigenschaft. Dann gibt es eine Konstante C K, die vom Öffnungswinkel und der Höhe des Kegels, und von n und p abhängt, so dass für alle positiven ɛ < ρ gilt, wenn φ aus W,p (Ω) ist, dann ist ( φ 1,p C K ɛ φ,p + ɛ 1 ) φ p. Diese Ungleichungen sind als Sobolev-Ungleichungen bekannt und Teil des Beweises der Äquivalenz der m,p -Normen, zu den Normen, wenn nur über α = 0 und α = m summiert wird. Der Beweis findet sich in [AF03] als Lemma 5.5.

16 1 1 Gemischte Grundlagen Satz Sei (a, b) ein beliebiges offenes Intervall in R und f eine Funktion aus dem Sobolevraum H m (a, b). Wenn a größer als ist, dann kann f (j) auf a stetig fortgesetzt werden für alle j {0, 1,..., m 1}. Wenn a =, dann existiert der Grenzwert lim x f (j) (x) = 0. Analog gilt das gleiche für b. Bemerkung Laut Satz existieren alle Ableitungen f (j) im üblichen Sinne und sie sind stetig. Der vollständige Beweis ist in [Wei80] als Theorem 6.7 zu finden. Mit diesen Grundlagen können jetzt Quantengraphen eingeführt werden.

17 Definition von Quantengraphen Die Basis von Quantengraphen bilden metrische Graphen, welche Graphen sind, deren Kanten eine Länge zugeordnet wird. Auf diesen werden Hilfsgrößen definiert und Eigenschaften untersucht. Das ist wichtig, weil später bestimmte Annahmen an die Graphen gestellt werden, für die hier gezeigt wird, dass dann auch alle nötigen Eigenschaften erfüllt sind. Es wird eine Halbmetrik auf den zusammenhängenden metrischen Graphen eingeführt, sowie Eigenschaften, die gewähren, dass diese eine Metrik ist. Dabei zeigt sich auch, wann die, durch die Metrik induzierte Topologie gleich der durch die stetigen Funktionen erzeugten Initialtopologie ist. Danach wird die Vollständigkeit und Kompaktheit von metrischen Graphen untersucht. Zuletzt werden Funktionen und Funktionenräume - L p -Räume und Sobolevräume - auf metrischen Graphen eingeführt. Dies bildet die Grundlage für die Betrachtung von Differentialoperatoren, welche in den folgenden Kapiteln benutzt werden. Die Definition von Quantengraphen, als sinnvolle Einschränkung von metrischen Graphen, folgt zum Schluss des Kapitels..1 Metrische Graphen als Topologischer Raum Definition.1.1. Ein metrischer Graph Γ = (E, V, l, i, j) besteht aus Mengen E, V und Abbildungen l, i und j. Die Mengen E = {e n } der Kanten und V = {v m } der Knoten sind endlich oder abzählbar unendlich. l : E (0, ] ist eine Abbildung, die jeder Kante eine positive Länge zuordnet. Damit gibt es zu jeder Kante e ein offenes Intervall I e := (0, l(e)). Durch die Abbildungen i : E V und j : E \ {e l(e) = } V wird jeder Kante e ein Anfangspunkt - i(e) - und jeder Kante mit endlicher Länge ein Endpunkt - j(e) - zugeordnet. Dabei wird die Kante e mit i(e) = v und j(e) = w als Verbindung, bzw. als Kante im üblichen Sinne eines Graphen, zwischen den Knoten v und w angesehen. Es spielt für eine Kante keine Rolle welcher der Knoten Anfangs- oder Endpunkt ist. Unendlich lange Kanten, die erlaubt sind, haben keinen Endpunkt (für diese ist j(e) nicht definiert). Somit ist gewährleistet, dass diese als Strahlen oder lose Enden aus dem Graphen herausragen, es gibt also keine weitere Kante die das Ende der unendlich langen Kante als Anfangs- oder Endpunkt hat. Schlaufen, also Kanten e für die i(e) = j(e) ist, können auch auftreten, sowie mehrfache Kanten, d.h. Kanten deren Anfangs- und Endpunkte gleich sind. Also zum Beispiel e 1 und e mit i(e 1 ) = i(e ) und j(e 1 ) = j(e ) oder mit i(e 1 ) = j(e ) und j(e 1 ) = i(e ). 13

18 14 Definition von Quantengraphen Das Wort metrisch steht hier dafür, dass auf den Kanten eine Längenmessung eingeführt wurde. Mit der natürlichen Metrik ist der Graph nicht immer ein metrischer Raum - wie später noch zu sehen sein wird. Auf metrischen Graphen sollen kontinuierliche Funktionen auf allen Kanten definiert werden, nicht wie im Falle eines kombinatorischen Graphen, bei dem Funktionen nur diskret auf den Knoten definiert sind. Als erstes soll der metrische Graph in einen Topologischen Raum transferiert werden. Dazu wird folgender Grundraum betrachtet: Bezeichnung.1.. Sei X definiert als die Menge ( ) X := {e} I e V. e E Auf X soll eine Topologie gewählt werden, so dass alle Funktionen von X nach C, die im üblichen Sinne stetig sind, auch in dieser Topologie stetig sind. Das beinhaltet alle Funktionen die auf den in X enthaltenen Intervallen I e (den Kanten) stetig sind und existente Grenzwerte an beiden Enden jedes solchen Intervalls haben. Außerdem sollen die Grenzwerte in allen Anfängen bzw. Enden aller Kanten, die in ein und dem selben Knoten beginnen bzw. enden, gleich sein. Damit ist gewährleistet, dass die Funktionen auch in den Knoten stetig sind. Bezeichnung.1.3. Sei C die Menge aller dieser Funktionen: C := {φ : X C φ(e, ) : (0, l(e)) C ist stetig und hat links und rechts Limiten mit: φ(i(e)) = lim φ(e, t), φ(j(e)) = lim φ(e, t) für alle e E}. t 0 t l(e) Alle diese Funktionen sollen in der Topologie stetig sein, also wird für jede Funktion φ C die auf X induzierte Topologie gebildet und die Supremumstopologie aller dieser - die Initialtopologie zu C - als Topologie auf X erzeugt. Sei τ die Topologie auf C und C = {f i i I}, dann ist G i := fi 1 (τ) = {fi 1 (G) G τ} die von f i auf X induzierte Topologie und die Supremumstopologie G := [ i I G ] i der Durchschnitt über alle Topologien auf X, die enthalten. Also ist (X, G) ein topologischer Raum. i I G i Definition.1.4. Ein Topologischer Raum (T, G) heißt Hausdorff Raum, wenn es für x y T disjunkte, offene Umgebungen V (x) von x und W (y) von y aus der Topologie G gibt. Seien z x z y X. Gibt es eine stetige Funktion f : X C, für die f(z x ) f(z y ), dann gibt es disjunkte, offene Umgebungen in C von f(z x ) und f(z y ). Zum Beispiel V x = {t C t f(z x ) < ɛ} und V y = {t C t f(z y ) < ɛ} für 0 < ɛ < f(zx) f(zy). Dann sind auch f 1 (V x ) und f 1 (V y ) disjunkte, offene Umgebungen von z x und z y in X. X ist also hausdorffsch, wenn sich für beliebige, verschiedene Punkte eine stetige Funktion f : X C findet, deren Funktionswert in diesen Punkten nicht übereinstimmt. Wenn nur

19 . Eine Metrik auf Metrische Graphen 15 einer der beiden Punkte nicht aus V X ist, dann findet sich leicht eine solche Funktion: O.B.d.A. sei z x = (e x, x) dieser Punkt. Sei f 1 definiert durch: 0 e E \ {e x } f 1 (e, t) = 1 x t e = e x und 0 < t x 1 l(e (l(e x) x x) t) e = e x und x < t l(e x ) f 1 (v) = 0 v V f 1 (t) 1 0 x l(e x ) t Abbildung.1: f 1 (t) auf Kante e x Klar ist: Die Funktion ist stetig auf jedem Intervall (0, l(e)), alle Grenzwerte in Anfangsund Endpunkten existieren und sind null. Damit ist die Funktion in jedem Knoten v V mit f(v) = 0 wohl definiert. Für den Fall z x, z y V X wird folgende Funktion definiert: 1 l(e) t e E j(e) = z x f (e, t) = 1 l(e) (l(e) t) e E i(e) = z x 0 sonst 1 v = z x f (v) = 0 v V \ {z x } Offensichtlich ist auch f stetig auf jeder Kante und die Grenzwerte existieren. Es ergibt sich also f 1, f C. Für beide Funktionen ist der Funktionswert in z x gleich eins und der Funktionswert in z y 1. Also gibt es für beliebige Punkte z x, z y X immer eine stetige Funktion f C, so dass f(z x ) f(z y ). Der topologische Raum (X, G) ist demnach immer hausdorffsch.. Eine Metrik auf Metrische Graphen Auf X kann auch eine Halbmetrik definiert werden, welche aber nicht immer eine Metrik ist. Wie sie definiert ist und wann sie eine Metrik ist, wird im Folgenden beschrieben. Zunächst werden erst einige Hilfsgrößen eingeführt.

20 16 Definition von Quantengraphen Definition..1. Auf einem metrischen Graphen Γ = (E, V, l, i, j) ist für jeden Knoten v V der Grad des Knotens, d v, definiert, als die Anzahl der Kanten die v als Anfangsoder Endpunkt haben: d v = {e E i(e) = v} + {e E j(e) = v}. Dabei werden Schlaufen doppelt gezählt, was gewährleistet, dass - über den ganzen Graphen betrachtet - jede Kante endlicher Länge doppelt und jede Kante unendlicher Länge, sowie jeder Anfangs- und Endpunkt einfach gezählt wird. Definition... Ein metrischer Graph heißt endlich, wenn die Menge seiner Knoten und die Menge seiner Kanten unendlich ist. Ist mindestens eine der beiden Mengen abzählbar unendlich, dann heißt er unendlich. Wenn der Grad eines jeden Knotens endlich ist, dann ist ein metrischer Graph genau dann endlich, wenn die Menge seiner Knoten endlich ist. Ansonsten kann die Menge der Knoten endlich sein, während die Menge der Kanten unendlich ist. Definition..3. Sei ein metrischer Graph Γ = (E, V, l, i, j) gegeben. Sei (e k, o k ) k I (I = {1,,..., n} oder I = ) eine Folge aus der Menge E { 1, 1}. Wenn für zwei aufeinander folgende Glieder der Folge, die zu o k bzw. o k+1 in der Tabelle angegebene Übereinstimmung der Anfangs- bzw. Endpunkte zutrifft, dann heißt diese Folge Kantenzug auf dem metrischen Graphen: o k = \ o k+1 = j(e k ) = i(e k+1 ) j(e k ) = j(e k+1 ) -1 i(e k ) = i(e k+1 ) i(e k ) = j(e k+1 ) Dabei gibt o k die Richtung an, in der die zugehörige Kante durchlaufen wird, +1 entspricht: von i(e k ) nach j(e k ) und -1: in umgekehrter Richtung. Schließt sich an e k mit e k+1 eine Kante in passender Richtung an, dann ergibt sich ein Kantenzug. Seien z x und z y Elemente aus X und (e k, o k ) k I ein Kantenzug. (z x, e 1 o 1,..., e n o n, z y ) heißt Polygonzug, wenn: für I = z x = z y i(e 1 ) = z x für o 1 = +1 z x V j(e 1 ) = z x für o 1 = 1 j(e n ) = z y für o n = +1 gilt. sonst für z y V i(e n ) = z y für o n = 1 z x = (e x, x) X \ V e x = e 1 z y = (e y, y) X \ V e y = e n

21 . Eine Metrik auf Metrische Graphen 17 Ein Polygonzug ist ein Kantenzug mit einem Start- und Endpunkt, die auf einer Kante liegen oder aus der Knotenmenge sein dürfen. In der Fallunterscheidung wird garantiert, dass die erste bzw. letzte Kante des Kantenzuges in die richtige Richtung durchlaufen wird - wenn der jeweilige Punkt aus der Knotenmenge ist -, oder die erste bzw. letzte Kante mit der Kante übereinstimmt, auf der der jeweilige Punkt liegt. Die Länge des Polygonzuges (z x, e 1 o 1,..., e n o n, z y ) ist wie folgt definiert: Für n 1 seien x z x = (e x, x) X \ V t x := o 1+1 l(e 1 ) z x V definiert, dann ist y z y = (e y, y) X \ V und t y := o n+1 l(e n ) z y V (z x, e 1 o 1,..., e n o n, z y ) 0 für z x = z y = t y t x für den Polygonzug (z x, e 1, z y ). o 1+1 l(e 1 ) o 1 t x + n 1 k= l(e k) on 1 l(e n ) + o n t y für n Definition..4. Sei Γ = (E, V, l, i, j) ein zusammenhängender metrischer Graph, das heißt, zwischen beliebigen Punkten aus X gibt es mindestens einen Polygonzug. Für x, y X ist die Abbildung ρ: X X [0, ) definiert als das Infimum der Längen aller Polygonzüge von x nach y, p(x, y): Dargestellt ist dies in Abbildung.. ρ(x, y) = inf { p(x, y) }. p(x,y) v 3 y = v 4 v 1 x v ω v 0 Abbildung.: kürzester Polygonzug von x nach y Dabei entspricht ρ auf jeder Kante der euklidischen Metrik, also der üblichen Längenmessung.

22 18 Definition von Quantengraphen Bemerkung..5. ρ ist eine Halbmetrik: (i) ρ(x, y) ist größer oder gleich null, da alle Längen positiv sind. ρ(x, x) = 0. (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) gilt, da die Polygonzüge nur umgedreht werden und ihre Länge gleich bleibt (ungerichtete Kanten). (iii) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z): Mit der Annahme ρ(x, y) + ρ(y, z) < ρ(x, z) gäbe es einen kürzeren Polygonzug von x nach z. Wird das Infimum angenommen und liegt y auf einem der kürzesten Polygonzüge von x nach z, dann gilt Gleichheit. Dies ist nicht automatisch eine Metrik, da es Punkte x y X geben kann, für die ρ(x, y) = 0 gilt. Wobei in diesem Fall x, y immer Knoten des Graphen, also aus der Menge V, sind. Anderenfalls sei x X \ V, x = (e x, t). Dann gilt offensichtlich min{ t y t, t, l(e) t} ρ(x, y) (wobei t y t nur im Fall y = (e x, t y ), also ein Punkt auf der gleichen Kante, mit einbezogen wird). Für folgendes Beispiel ist ρ keine Metrik: Beispiel B1. Sei V = {v 1, v }, E = {e k } k N, l(e k ) := 1 k und für jede Kante v 1 der Anfangsund v der Endpunkt: i(e k ) = v 1, j(e k ) = v. Siehe auch Abbildung.3. e 1 e e 3 e4 e 5 v 1 v Abbildung.3: Beispiel B1 In diesem Beispiel ist der Abstand von v 1 und v gleich null: ρ(v 1, v ) = inf { p(v 1, v ) } = inf {l(e k)} = 0. p(v 1,v ) k N Damit ρ eine Metrik ist, müssen also solche Fälle ausgeschlossen werden. Aber selbst wenn die Längen aller mehrfachen Kanten zwischen zwei Knoten nach unten beschränkt ist, also v, w V (v w) gilt: inf {l(e) i(e) = v, j(e) = w oder i(e) = w, j(e) = v} > 0 (E1) e E erfüllt ist, muss ρ noch keine Metrik sein: Wie oben schon gesehen sind Punkte aus X \ V nicht interessant, da für diese immer ρ(x, y) 0 gilt (auch wenn einer der beiden Punkte aus V ist).

23 . Eine Metrik auf Metrische Graphen 19 Ist ρ eine Metrik, dann ist Eigenschaft (E1) offensichtlich erfüllt. Gelte (E1). Jeder Weg von v nach w führt über vollständige Kanten. Wenn es unendlich viele adjazente Knoten zu v gibt, mit unendlich vielen Kanten von diesen zu w, dann kann das Infimum über alle Infima null werden. Dies geschieht in Beispiel B (für v = v 1 und w = v 0 ): Beispiel B. Sei V = {v 1, v 0 } {v n } n N, E = {e n } n N und die Funktionen l, i und j definiert durch: 1 l(e n ) = i(e n ) = + 1 n 1 v 1 v n n ungerade n gerade Eine Veranschaulichung ist in Abbildung.4 zu sehen. v 1 v v 3 e 1 e v e 3 4 e 4 e 5 e e 6 7 e 9 v 5 e10 e 8 j(e n ) = v n+1 v 0 n ungerade n gerade. v 1 v 0 Abbildung.4: Beispiel B Die Polygonzüge (v 1, (e k 1, +1), (e k, +1), v 0 ) für k N haben die Länge 1 k + 1 k. Damit ergibt sich der Abstand von v 1 und v 0 zu ρ(v 1, v 0 ) = inf k N k = 0. ρ ist somit keine Metrik. Es wird also eine stärkere Eigenschaft benötigt, die aber in (E1) enthalten ist. Eine solche Eigenschaft ist: v V ist inf {l(e) i(e) = v oder j(e) = v} > 0, (E) e E welche erfordert, dass das Infimum der Längen aller Kanten die einen Knoten v als Anfangsoder Endpunkt haben größer als null ist. Dabei darf das Infimum von Knoten zu Knoten unterschiedlich sein (es kann also durchaus das Infimum über die Längen aller Kanten gleich null sein). Ist diese Eigenschaft erfüllt, dann ist ρ immer eine Metrik. Da im Abstand zweier Knoten v und w immer das jeweilige Infimum in jedem Polygonzug von v aus enthalten ist und dessen Länge somit ungleich null ist. Allerdings ist dies auch schon eine zu starke Anforderung an einen Graphen, da es metrische Graphen gibt, auf denen ρ eine Metrik, (E) aber nicht erfüllt ist, wie in folgendem Beispiel: Beispiel B3. Gegeben sei ein metrischer Graph mit V = {v 0, v n n N}, E = {e n n N}, und l(e n ) = 1 n, i(e n) = v 0, j(e n ) = v n für alle n N.

24 0 Definition von Quantengraphen v 1 e 1 v 0 v 6 v 5 e e e 4 3 v v3 v 4 Abbildung.5: Beispiel B3 Für den Abstand aller Knoten aus X gilt: ρ(v 0, v n ) = 1 n und für n m: ρ(v n, v m ) = 1 n + 1 m. Somit ist ρ eine Metrik, aber Eigenschaft (E) ist für v 0 nicht erfüllt, da gilt. inf {l(e) i(e) = v 1 0 oder j(e) = v 0 } = inf e E n N n = 0 Es müssten also nur die Fälle ausgeschlossen werden, in denen Kanten, deren Längen gegen null gehen, an unendlich vielen Verbindungen zwischen zwei Knoten beteiligt sind (in B3 gibt es jeweils genau einen Weg zwei Knoten zu verbinden, ohne dass ein Knoten mehrfach besucht wird). Aber selbst das ist zu viel. Es könnten hinter den Kanten mit inf l(e) = 0 noch Kanten konstanter Länge kommen, womit das Infimum über die Längen der gesamten Polygonzüge immer größer als null bleibt. Bei einer Modifikation von Beispiel B mit l(e n ) = 1 n N gibt es unendlich viele verschiedene Verbindungen zwischen v 1 und v 0, wobei immer eine Kante der Länge eins enthalten ist. Damit ist ρ eine Metrik. Es ist also keine genaue Charakterisierung möglich, wann genau ρ eine Metrik auf X ist. Die einzige mögliche Einschränkung ist: ρ ist genau dann eine Metrik, wenn ρ(v, w) > 0 ist für alle Knoten v w. und: Andere, handlichere Eigenschaften, die (E) enthält, sind: inf {l(e)} > 0 e E v V ist d v <. (E3) (E4) Für beide Eigenschaften ist klar, dass, wenn sie erfüllt sind, auch (E) gilt. In Beispiel B3 sind sie demnach nicht erfüllt. Es gibt aber metrische Graphen, die die Eigenschaften (E) und (E4) erfüllen, allerdings nicht Eigenschaft (E3): Beispiel B4. Sei der folgende metrische Graph gegeben: E = {e k } k N, V = {v k } k N. l : E (0, ] sei definiert durch l(e k ) = 1 k k N. Da es keine unendliche langen Kanten gibt, sind die Funktionen i und j auf ganz E definiert. Sie sollen durch folgende Vorschriften gegeben sein: i(e 1 ) = v 1 i(e k ) = j(e k 1 ) = v k k Der resultierende Graph ist in Abbildung.6 zu finden.

25 . Eine Metrik auf Metrische Graphen 1 e 1 e e 3 e 4 e 5 v 1 v v 3 v 4 v 5 v 6 Abbildung.6: Beispiel B4 Offensichtlich sind (E) und (E4) erfüllt und damit ρ eine Metrik auf X. Allerdings gilt (E3) nicht, da inf e E = inf k N k = 0 ist. Es gib auch Beispiele von metrischen Graphen, die (E3) nicht erfüllen, für die jedoch (E) und (E4) gilt. Beispiel B3 mit l(e k ) = 1 wäre ein solches. Die folgende Tabelle und das Mengendiagramm in Abbildung.7 geben noch einmal einen Überblick darüber, für welche Graphen ρ eine Metrik ist und wann die einzelnen Eigenschaften (E1) bis (E4) erfüllt sind. Beispiel ρ Metrik (E1) erfüllt (E) erfüllt (E3) erfüllt (E4) erfüllt Beispiel B1 nein nein nein nein nein Beispiel B nein ja nein nein nein Beispiel B3 ja ja nein nein nein Beispiel B4 ja ja ja nein ja zusammenhängende metrische Graphen B1 B3 B B4 E1 ρ ist Metrik E E3 E4 Abbildung.7: Mengendiagramm metrischer Graphen Auf den meist benutzten Modellen - Gitter, wie Z d, oder Quantenbäumen - sind die Eigenschaften (E3) und (E4) immer erfüllt. Für jeden beliebigen zusammenhängenden metrischen Graphen ist eine Metrik konstruier-

26 Definition von Quantengraphen bar. Allerdings basiert diese dann nicht mehr auf den natürlichen Längen der Intervalle I e. Die Metrik wird so eingeführt, dass jeweils der Start- und Endpunkt einer Kante den Abstand 1 haben. Sei Γ 1 = (V, E, l 1, i, j) dieser beliebige zusammenhängende metrische Graph. Sei Γ = (V, E, l, i, j), wobei l (e) = 1 für alle Kanten e E gesetzt wird. Die Bijektion γ : X Γ1 X Γ (e x, γ(x) = x t x l 1(e x) ) für x = (e x, t x ) V für x V bietet eine Identifikationsmöglichkeit von Punkten aus X Γ1 mit Punkten aus X Γ und umgekehrt. Dann wird für x, y X Γ1 durch d(x, y) Γ1 = ρ(γ(x), γ(y)) Γ eine Metrik auf X Γ1 definiert (ρ ist Metrik auf X Γ, da für diesen (E4) gilt, und damit d auf X Γ1 )..3 Weitere Eigenschaften Metrischer Graphen In diesem Abschnitt werden weitere Eigenschaften metrischer Graphen untersucht. Wenn ρ eine Metrik auf X ist, dann induziert diese eine Topologie. Es wird untersucht, wann diese gleich der Initialtopologie G auf X ist. Danach geht es um Vollständigkeit des metrischen Raumes (X, ρ) und Kompaktheit der Räume (X, G) und (X, ρ). Zuerst wird das Hilfsmittel der Basen von Topologien eingeführt. Definition.3.1. Sei (X, G) ein topologischer Raum und L P(X). L heißt Basis der Topologie, wenn L eine Teilmenge von G ist und es für jede offene Menge der Topologie, G G, ein Familie {B α } mit B α L gibt, so dass G = α B α gilt. Gleichzeitig ist jede Basis auch eine Subbasis einer Topologie. = L P(X) ist eine Subbasis von G, wenn der Durchschnitt aller Topologien, die L enthalten, gerade G ist. Bemerkung.3.. Seien G i (i I) Topologien auf X. Dann ist { } L := G i I I endlich, G i G i i I eine Basis der Supremumstopologie aller G i. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann bildet für jedes x X das System U x = {B r (x) r 0}, B r (x) := {y X d(x, y) < r} eine Umgebungsbasis von x X. Die Vereinigung aller Umgebungssysteme x X U x bildet eine Basis zur von der Metrik induzierten Topologie. Hilfssatz.3.3. Seien G 1, G Topologien auf X mit den Basen L 1 und L. Dann gilt: G 1 G x B 1 mit B 1 L 1 B L x B B 1

27 .3 Weitere Eigenschaften Metrischer Graphen 3 Beweis. = Sei G 1 G und x B L 1. Aus L 1 G 1 G folgt B G. Also gibt es Mengen B α L, so dass α B α = B gilt. Somit gibt es eine Menge B α, für die x B α B wahr ist. = Sei B L 1. Dann gibt es für jedes x B eine Menge B x L, so dass x B x B gilt, womit die Vereinigung über alle diese Mengen B x : x B B x gerade B ergibt. Eine beliebige Vereinigungen offener Mengen aus (X, G ) ist wieder eine offene Menge: B G. Dies gilt für jede Menge aus der Basis, womit L 1 G gezeigt ist. Da G 1 die kleinste Topologie ist, die L 1 enthält, gilt auch G 1 G. Wenn ρ eine Metrik auf X ist, dann wird mit ϱ die von ρ auf X induzierte Topologie bezeichnet. Satz.3.4. Für jeden Knoten ist der Grad, d v, genau dann endlich, wenn ρ eine Metrik auf X ist und die Topologie ϱ mit der Initialtopologie G übereinstimmt. Beweis. Sei d v < für alle Knoten v V. Dann ist natürlich in jedem Fall ρ Metrik auf X. Offene Kreise mit Radius r sind definiert als B r (x) = {y X ρ(x, y) < r}. Sei G eine Menge aus der Basis von ϱ. Dann ist G ein offener Kreis in der Metrik ρ um einen inneren Punkt x: G = B r (x). Sei f : X C folgender Maßen definiert: f(y) = max{r ρ(x, y), 0} Dann ist klar, dass f C gilt. Und f 1 ({z C z r+ < r + 1}) = B r(x) ist eine offene Menge aus der Basis von G, also gibt es y B r (x) eine Menge G y := f 1 ({z C z r+ < r + 1}) aus der Basis von G, so dass y G y B r (x) gilt, woraus nach Hilfssatz.3.3 ϱ G folgt. Für eine beliebige Menge G aus der Basis der Initialtopologie, gibt es Funktionen f k C, k = 1,,... n und offene Mengen U k C, so dass G = n k=1 f 1 k (U k) gilt. Sei x G. Mit d(x, y) = x y als Metrik in C gibt es zu jedem U k eine offene Umgebung aus der Umgebungsbasis zu f k (x), so dass diese in U k enthalten ist: B rk (f k (x)) U k in C. Wenn x = (e x, t) kein Knoten ist, dann wird ɛ k gleich r k gesetzt. In der Definition von C wurde gefordert, dass alle enthaltenen Funktionen stetig auf jedem Intervall I e sind. Also sind die Funktionen f k auf I ex im üblichen Sinne stetig. Das heißt, für jedes ɛ k gibt es ein δ k > 0, so dass f k (x) f k (y) < ɛ k für alle y = (e x, t y ) I ex,

28 4 Definition von Quantengraphen die t t y < δ k erfüllen. Auf dem Intervall I ex gilt allerdings t t y = ρ(x, (e x, t y )). Das Minimum aller dieser Radien und der Abstände von t zum Rand der Kante e x sei bezeichnet mit δ := min{t, l(e x ) t, δ k k = 1,,..., n} und die Menge B X definiert als die Umgebung um x mit dem Radius δ in der Metrik ρ. Dann gilt: für alle y B: f k (x) f k (y) < r k, was f k (B) B rk (f k (x)) U k entspricht. Das Anwenden von f 1 k ergibt dann B f 1 k f k(b) f 1 k (U k), womit eine Menge aus der Basis der Topologie ϱ gefunden wurde, die x enthält und in G enthalten ist. Wenn x V, dann seien e 1, e,..., e m die Kanten mit i(e) = x oder j(e) = x. Dabei gilt m d x, da es Schlaufen an diesem Knoten geben kann. ɛ k > 0 sei wieder gleich r k. Da die auf den Intervallen I es stetigen Funktionen ihren Grenzwert in i(e s ) bzw. j(e s ) annehmen, gilt auch hier: für alle ɛ k > 0 gibt es ein δ k,s mit l(e s ) > δ k,s > 0, so dass für alle y = (e s, t y ) I es mit ρ(x, y) < δ k,s auf der Kante e s gilt f k (x) f k (y) < ɛ k. Wird wieder das Minimum aller δ k,s gebildet, dann ist dieses größer null, da sowohl m als auch n endlich ist. Für die Umgebung B = B δ (x) X gelten dann die gleichen Beziehungen wie im ersten Fall, also B f 1 (U k ). Damit ist für jedes x G eine Umgebung von x aus der Umgebungsbasis zur Metrik ρ gefunden, die in G enthalten ist. Es gilt also G ϱ. Für d v < wurde also gezeigt, dass ρ eine Metrik auf X ist und die dadurch induzierte Topologie mit der Initialtopologie übereinstimmt. Sei d v = für mindestens einen Knoten v 0 V. Dann seien alle Kanten die an diesem Knoten beginnen oder enden in der Menge E v0 = {e E i(e) = v 0 oder j(e) = v 0 } zusammengefasst und durchnummeriert E v0 = {e n n N}. Als Hilfsvariablen werden m n := max{n, l(e n) } eingeführt. Die Funktion f : X C ist definiert durch 0 für e E v0 max{ m n t + 1, 0} e = e n E v0, i(e n ) = v 0, j(e n ) v 0 ( ) } f(e, t) = max {m n t l(en) + 1, 0 e = e n E v0, j(e n ) = v 0, i(e n ) v 0 m n t < t l(en) ( ) e = e m n t l(en) n E v0 und j(e n ) = i(e n ) = v sonst 1 v = v 0 f(v) =. 0 sonst

29 .3 Weitere Eigenschaften Metrischer Graphen 5 Sie ist also auf jeder Kante e n spätestens im Abstand 1 n von v 0 aus null und bleibt es auch, um so weiter sich davon entfernt wird. Das Urbild G := f 1 ({z C z 1 < 1}) ist eine offene Menge in G, allerdings gibt es keine Menge aus der Basis von ϱ, die in G enthalten ist. Es könnte nur eine Menge aus der Umgebungsbasis zu v 0 sein, aber egal wie klein der Radius gewählt würde, es gäbe immer eine Kante e n, für die 1 n kleiner als der Radius wäre. Aus Hilfssatz.3.3 folgt jetzt, dass G ϱ. Aus d v = folgt also, dass (ρ ist Metrik und ϱ = G) nicht gilt. Dies impliziert, dass aus (ρ ist Metrik und ϱ = G) folgt: d v. Um zu zeigen, dass ϱ G gilt, wurde die Annahme d v < nicht benutzt, diese Beziehung gilt also auch, wenn es einen Knoten mit dem Grad unendlich gibt. Denn dafür ist lediglich nötig, dass die Metrik stetig in der Topologie ist. Der Beweis enthält eine noch stärkere Aussage: d v ist für alle Knoten v V genau dann endlich, wenn (X, G) metrisierbar ist. Für den Fall d v < wurde eine Metrik angegeben. Gibt es einen Knoten v 0 V mit d v0 =, dann kann bei der Existenz einer Metrik d auf X eine Funktion so gewählt werden, dass sie spätestens im Abstand d(x, v 0 ) = 1 n auf der Kante e n identisch zu null ist. Dies wurde im Beweis für die Metrik d = ρ getan und zeigt, dass es keine offene Umgebung mit Radius r um v 0 in der Metrik d gibt, die im Beweis konstruierten Urbild enthalten ist. Bemerkung.3.5. Wenn ρ eine Metrik des metrischen Graphen ist, dann ist dieser nicht automatisch vollständig. Dazu wird Beispiel B4 betrachtet: Auf dem metrischen Graphen ist eine Cauchy-Folge in X durch x n = v n gegeben. O.B.d.A. sei n < m, dann ist ρ(x n, x m ) = m 1 k=n 1 k = ( ) 1 n 1 ( ) 1 m 1. Offensichtlich findet sich für jedes ɛ > 0 ein k N, so dass ɛ > 1. Damit gilt dann für alle k 1 n, m k: ρ(x n, x m ) = ( 1 n 1 ( ) 1 ) m 1 1 < ɛ. k 1 Allerdings gibt es kein x X, so dass x n in ρ gegen x konvergiert. (Sei x (e k I ek ) {v k }, dann ist ρ(x, x n ) > 1 für alle n k +.) k+1 Hilfssatz.3.6. Wenn Eigenschaft (E3) erfüllt ist, dann ist (X, ρ) vollständig. Beweis. Sei (x n ) n N eine Cauchy-Folge in (X, ρ). Da es eine untere Schranke der Kantenlängen c > 0 gibt, folgt: Für ɛ < c existiert ein N ɛ, so dass ρ(x n, x m ) ɛ für alle n, m > N ɛ. Alle Folgenglieder x n mit n > N ɛ liegen dann nur noch auf bestimmten Kanten. Dabei können unterschiedliche Fälle auftreten:

30 6 Definition von Quantengraphen 1. Ab diesem N ɛ liegen alle Folgenglieder nur noch auf einer Kante oder sind Anfangs- oder Endpunkte dieser: x n (e k I ek ) {i(e k ), j(e k )} für alle n > N ɛ. Wird i(e k ) = (e k, 0) und i(e k ) = (e k, l(e)) gesetzt, dann ist dies äquivalent zu einem abgeschlossenem Intervall (e k [0, l(e)]) und die Metrik ρ auf diesem Intervall äquivalent zur euklidischen Metrik: ρ(a, b) = t b t a für a = (e k, t a ), b = (e k, t b ) und t a, t b [0, l(e)]. x n kann also als (e k, t n ) geschrieben werden, wobei t n gegen ein t [0, l(e)] konvergiert, da [0, l(e)] als abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raumes (R) vollständig ist. Weil die Abstände von t n zu t m gleich den Abständen von x n zu x m sind, ergibt sich (e k, t) als Grenzwert von x n.. Die Glieder der Folge liegen nur noch auf Kanten an einem bestimmtem Knoten, d.h. es gibt einen Knoten v V, so dass x n = v oder x n = (e n, t n ) für alle n > N ɛ, wobei i(e n ) = v oder j(e n ) = v gelten muss. Eventuell gibt es ein N > N ɛ, für welches Fall 1 für alle Folgenglieder x n mit n > N in Kraft tritt. Wenn es kein solches N gibt, dann ist v der Grenzwert der Cauchy-Folge: Sei c > ɛ > 0 beliebig. Dann gibt es ein N(ɛ), so dass ρ(x n, x m ) < ɛ für alle n, m > N(ɛ). Wenn x n auf der Kante e x liegt, x n = (e x, t) mit n > N(ɛ), dann gibt es ein k > N(ɛ), k n mit x k v, so dass x k nicht auf e x liegt (sonst träte Fall 1 auf). Da aber ρ(x n, x k ) < ɛ ist, gilt offensichtlich auch ρ(x n, v) < ɛ. Denn v muss auf den Polygonzügen von x k nach x v liegen, die das Infimum liefern - jeder andere Weg wäre länger als ɛ, da jeweils noch bis zum anderen Ende der Kante gegangen werden müsste, was mindestens c lang wäre. Also konvergiert die Cauchy-Folge gegen v. Allerdings gibt es auch metrische Graphen die vollständig sind, bei denen (E3) nicht erfüllt ist. Für Beispiel B3 kann mit der gleichen Argumentation wie im letzten Beweis gezeigt werden, dass, immer wenn Fall auftritt, v 0 der Grenzwert ist (kürzeste Verbindungen zwischen verschiedenen Kanten enthalten immer v 0, da es gar keinen anderen Weg gibt). Bemerkung.3.7. Meist ist (X, G) auch nicht kompakt: (1) Für einen unendlichen metrischen Graphen ist der Topologische Raum (X, G) nicht kompakt. Beweis. Seien die Kanten mit Hilfe der natürlichen Zahlen durchnummeriert E =