Das Bang-Bang-Prinzip

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1 Das Bang-Bang-Prinzip Tanja Binder 15. Dezember Mathematische Grundlagen Wir wollen mit einigen Sätzen und Definitionen beginnen. Diese werden wir benötigen, wenn wir anschließend das Bang-Bang-Prinzip beweisen wollen. Rieszscher Darstellungssatz für beschränkte lineare Funktionale auf Hilbertschen Räumen (auch Darstellungssatz von Fréchet-Riesz) Zu jedem beschränkten linearen Funktional ϕ auf einem Hilbertschen Raum H gibt es ein eindeutig bestimmtes Element f H, so dass ϕ(u) = f, u für u H und ϕ = f. Man drückt dies auch so aus: Der duale Raum H eines Hilbertschen Raumes H kann mit diesem identifiziert werden. Beweis: Es sei N = {v H ϕ(v) = 0}. Offensichtlich ist N ein linearer Teilraum von H. Außerdem ist N abgeschlossen, denn aus v i N, v i v (i ) folgt ϕ(v) = ϕ(v v i ) K v v i 0 (i ), also v N. Gilt nun N = H, so gilt die Behauptung mit f = 0. Sei daher N H. Dann gibt es ein z H\N, welches nach dem Projektionssatz eine Zerlegung z = v + w, v N, w N, w 0, besitzt. Wir behaupten, dass das Element f = ϕ(w) w 2 w die gewünschte Darstellunf ϕ(u) = f, u leistet. Es gilt ϕ(u ϕ(u) ϕ(u) w) = ϕ(u) ϕ(w) = 0. (Beachte, dass w N, w 0, und ϕ(w) ϕ(w) damit ϕ(w) 0.) Somit besteht die Beziehung u ϕ(u) w N, und, da w N, die ϕ(w) Gleichung u ϕ(u) ϕ(w) u, w = ϕ(u) w 2 ϕ(w) w, w = 0. Daraus ergibt sich wegen der Linearität des Skalarprodukts und somit ϕ(u) = ϕ(u) w 2 u, w = f, u, was wir zeigen wollten. Die Eindeutigkeit von f ergibt sich durch die folgende Überlegung: Es sei ϕ(u) = f, u = f, u. Dann gilt f f 2 = f f, f f = f f, f f f, f = ϕ(f f ) ϕ(f f ) = 0, also f = f. Es verbleibt der Nachweis der Gleichung ϕ = f. ( Es gilt f 2 = f, f = ϕ(f) = f ϕ f f ) f ϕ, f 0, nach Definition von ϕ und damit f ϕ. Zum Nachweis der umgekehrten Ungleichung ϕ f sei w i H, w i = 1 und 1

2 ϕ(w i ) ϕ. Dann gilt ϕ(w i ) = f, w i f w i = f, und nach Grenzübergang i schließlich ϕ f. Der Satz ist damit bewiesen. (Vgl. dazu auch [3]) Definition (Schwache Konvergenz in Hilbertschen Räumen) Eine Folge (u i ) von Elementen eines Hilbertschen Raumes H heißt schwach konvergent gegen ein u H, in Zeichen u i u (i ), wenn für alle v H gilt u i, v u, v (i ). Satz von der schwache Kompaktheit beschränkter Mengen in Hilbertschen Räumen Es sei (u i ) eine Folge von Elementen eines Hilbertschen Raumes H, so dass u i K, i = 1, 2,..., mit einer Konstanten K. Dann gibt es eine Teilfolge (u ij ) und ein u H, so dass u ij u schwach in H (j ). Man sagt dafür auch: Beschränkte Mengen in Hilbertschen Räumen sind schwach folgenkompakt. Beweis: Wir zeigen zunächst die Existenz einer schwachen Cauchyfolge, d.h. es gibt eine Teilfolge u ij, so dass u ij u ik, g 0 für j, k und alle g H. Nach Voraussetzung ist die Zahlenmenge { u i, u k i, k = 1, 2,... } gleichmäßig beschränkt. Nach dem Cantorschen Diagonalverfahren gibt es eine Teilfolge (u ij ), so dass für jedes feste m = 1, 2,... die Folge ( u ij, u m ) j=1 konvergiert. Daraus folgt die Konvergenz der Folge ( u ij, g ) j=1 für jedes g S := u 1, u 2,..., d.h. S besteht aus allen endlichen Linearkombinationen der u i. Für jedes g S gilt daher u ij u ik, g 0 (j, k ). Dies gilt aber auch für alle g S, wenn S die Abschließung von S bedeutet. Ist nämlich ε > 0 vorgegeben, so gibt es zu g S ein g 0 S mit g g 0 < u ij u ik, g 0 < ε für j, k j 2 0. Daraus folgt, ε 4K und ein j 0, so das u ij u ik, g u ij u ik, g 0 + u ij u ik, g g 0 < ε 2 + 2K g g 0 < ε, j, k j 0. Ist nun v H beliebig vorgegeben, so gibt es nach dem Projektionssatz eine Zerlegung v = g 1 + g 2, g 1 S, g 2 S. Es gilt dann u m, g 2 = 0, m = 1, 2,... und daher u ij u ik, v = u ij u ik, g 1 0 (j, k ), da g 1 S. Damit ist bewiesen, dass für jedes v H der Limes ϕ(v) := lim j u ij, v existiert. Offensichtlich ist ϕ : H R eine lineare Abbildung. Aus der Ungleichung u ij, v u ij v K v folgt ϕ(v) K v, d.h. ϕ ist ein beschränktes lineares Funktional. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es dann ein u H mit ϕ(v) = u, v für alle v H, und es gilt u ij u schwach in H. Satz von Banach-Saks Es sei H ein Hilbertscher Raum sowie u, u i H, i = 1, 2,..., und u i u schwach in H (i ). Dann gibt es eine Teilfolge (u ij ) j=1, so dass die arithmetischen Mittel w N = 1 N N j=1 u i j stark gegen u konvergieren: w N u in H (N ). Beweis: Es sei v j := u j u. Es gilt dann v j 0 schwach in H (j ). Wir konstruieren mit Hilfe vollständiger Induktion eine Teilfolge (v ij ), so dass v i1, v it+1 1 t,..., v i t, v it+1 1 t. 2

3 Zu diesem Zweck setze man v i1 = v 1. Ist v i1, v i2,..., v it bereits konstruiert, so wähle man den Index i t+1 derart, dass v i1, v it+1 1,..., v t i t, v it+1 1 ausfällt. Eine solche Wahl t von i t+1 ist möglich, da v i1, v m 0,..., v it, v m 0 (m ), da v m 0 (m ). Die Konstruktion der Teilfolge (v ij ) ist damit durchgeführt. Wir zeigen, dass die arithmetischen 1 Mittel N N t=1 v i t stark in H gegen 0 konvergieren (N ). Es gilt nämlich 1 N 2 v it = 1 N v N N 2 it v N 2 is, v it t=1 1 N 2 t=1 N K N 2 = K2 N + 2N 1 N 2 s<t s=1...n 1 t=2...n s<t s=1...n 1 t=2...n 0 (N ). 1 t 1 = K2 N N 2 N 1 (t 1) t 1 Damit ergibt sich 1 N N t=1 u i t u stark in H (N ), und der Satz ist bewiesen. Lemma von Caratheodory Es sei M Teilmenge eines Hilbertschen Raumes H. Ihre konvexe Hülle { N } N H(M) = α i u i α i = 1, α i 0, u i M, i = 1,..., N, N = 1, 2,... i+1 ist die Menge aller konvexen Linearkombinationen von Elementen von M mit endlich vielen Summanden. Es sei jetzt H = R n. Weiter sei u i R n und u = N α iu i, α i 0, N α i = 1. Dann existieren Zahlen β i, i = 1,..., n + 1, mit n+1 β i = 1, β i 0 und n+1 β iu i = u. Das heißt, es genügt in der obigen Darstellung der konvexen Hülle N = n + 1 zu wählen. Beweis: Es sei m die kleinste natürliche Zahl, für die eine Darstellung u = m γ iu i mit Zahlen γ i > 0, m γ i = 1, gilt. Angenommen, es wäre m n+2. Da n+1 Vektoren im R n linear abhängig sind, gibt es Zahlen λ i mit n+1 λ i 0 und n+1 λ i(u i u) = 0. Daraus folgt m (γ i + ελ i )(u i u) = 0, wobei wir λ i = 0 für i n + 2 gesetzt haben. Da γ i > 0, ist für betragsmäßig kleine ε auch γ i + ελ i > 0. Lässt man ε stetig wachsen oder fallen, so erkennt man die Existenz einer Zahl ε 0 0, so dass γ i0 + ε 0 λ i0 = 0 für ein i 0 {1,..., n + 1} und γ i + ε 0 λ i 0 für die restlichen Indizes. Da λ i = 0 für i n + 2, γ i > 0, i = 1,..., m, sind nicht alle Zahlen γ i + ε 0 λ i gleich Null. Es ergibt sich somit m (γ i + ε 0 λ i )u = i i 0 m (γ i + ε 0 λ i )u i, i i 0 d.h. u lässt sich als konvexe Linearkombination der u i, i {1,..., m}\{i 0 } mit den Koeffizienten (γ i + ε 0 λ i )/ m i i 0 (γ i + ε 0 λ i ) darstellen. Dies bedeutet, dass m nicht minimal war, und wir erhalten einen Widerspruch zur Behauptung, dass sich u nicht als konvexe Linearkombination von n + 1 Vektoren unter den u i darstellen lässt. t=2 3

4 Satz von Krein-Milman in Hilbertschen Räumen Jede konvexe, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge M eines Hilbertschen Raumes H besitzt mindestens einen Extremalpunkt. Beweis: Wir nennen eine nichtleere Teilmenge A von M eine extremale Teilmenge von M, wenn die Inklusion αx + (1 α)y A, x, y M, α ]0, 1[ fest, die Inklusion x, y A impliziert. Extremale Teilmengen werden auch als Wände bezeichnet. M selbst ist extremale Teilmenge von M, einpunktige extremale Teilmengen von M sind Extremalpunkte. Es sei F die (nichtleere!) Familie aller abgeschlossenen nichtleeren extremalen Teilmengen von M, die durch die mengentheoretische Inklusion mit einer Halbnorm versehen ist. Wir werden zeigen, dass F bzgl. dieser Halbordnung mindestens ein minimales Element M 0 besitzt, welches aus genau einem Punkt, einem Extremalpunkt, besteht. Hierzu benutzen wir das Lemma von Zorn, welches die Existenz eines minimalen Elementes bzgl. einer Halbordnung sicherstellt, sofern man weiß, dass jede maximale total geordnete Unterfamilie der zugrundeliegenden Familie (in unserem Fall F) ein mininales Element hat. Eine Unterfamilie U von F heißt linear oder total geordnet, wenn für M 1, M 2 U entweder M 1 M 2 oder M 2 M 1 gilt. Sie heißt maximal, wenn es keine linear geordnete, U echt enthaltende Unterfamilie Ũ F gibt. Dass total geordnete Unterfamilien von F in unserem Fall ein minimales Element haben, folgt aus der schwachen Kompaktheit der Menge M: Ist U eine linear geordnete Unterfamilie von F, und gilt {M i M i U} =, so gilt dies wegen der schwachen Kompaktheit von M auch für endlich viele M i, d.h. {M i i Λ} =, Λ <. Dies ist ein Widerspruch, da die M i linear geordnet und nichtleer sind. Es gilt also N 0 = {M i M i U}, und man überlegt sich sofort, dass N 0 selbst abgeschlossene, nichtleere, extremale Teilmenge von M ist. Wegen der Maximalität von U ist N 0 U, und N 0 ist das minimale Element von U. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher mindestens ein minimales Element A 0 in F. Angenommen, A 0 enthielte zwei verschiedene Punkte x 1, x 2. Dann gibt es ein u H mit u, x 1 = 0, u, x 2 0. Setze β = inf{ u, x x A 0 }. Dann ist die Menge A 1 = {x A 0 u, x = β} eine nichtleere abgeschlossene konvexe eigentliche Teilmenge von A 0. Wir zeigen, dass A 1 extremale Teilmenge von M ist. Es seien x, y M, 0 < α < 1, so dass αx + (1 α)y A 1. Da A 1 A 0 und A 0 extremale Teilmenge von M ist, folgt zunächst, dass x, y A 0. Nach Definition von β gilt u, x β, u, y β. Angenommen für mindestens eines der Elemente x, y gälte u, x > β bzw. u, y > β, so folgte u, αx + (1 α)y = α u, x + (1 α) u, y > β, d.h. αx + (1 α)y wäre nicht in A 1 enthalten. Dies ist ein Widerspruch, und es muss gelten: u, x = β, u, y = β, d.h. x, y A 1, und A 1 muss extremal sein. Dies widerspricht der Minimalität von A 0, und die Annahme, A 0 bestehe aus mehr als einem Punkt, ist damit zum Widerspruch geführt. Satz von Filippov Es sei U eine kompakte Teilmenge des R m und I R eine beschränkte messbare Menge. Es sei eine Funktion F : I U R n mit den folgenden Eigenschaften gegeben: (i) Für jedes µ U ist F (t, µ) messbar bzgl. t. (ii) Zu jedem ε > 0 gibt es eine messbare Menge N ε I mit N ε < ε, so dass F auf (I\N ε ) U stetig ist. Schließlich sei noch g : I R n eine messbare Funktion. 4

5 Es sei ū : I U eine nicht notwendig messbare Funktion, die die Gleichung F (t, ū(t)) = g(t) für fast alle t I erfülle. Unter den obigen Annahmen gibt es dann eine messbare Funktion u : I U, die ebenfalls die Gleichung F (t, u(t)) = g(t) für fast alle t I erfüllt. Insbesondere hat die Filippov-Funktion u, die definiert ist durch u(t) = lex min{µ U F (t, µ) = g(t)}, diese Eigenschaft. Das lexikographische Minimum einer kompakten Menge M R m ist dabei derjenige Vektor a R m, dessen Komponenten a i folgendermaßen durch Induktion erklärt sind: a 1 = min{µ 1 R µ 2,..., µ m mit (µ 1,..., µ m ) M}. Seien a 1,..., a i 1 bereits erklärt. Dann sei a i = min{µ i R µ i+1,..., µ m mit (a 1,..., a i 1, µ i, µ i+1,..., µ m ) M}. Beweis: Zuerst gilt, dass die Definition von u(t) sinnvoll ist, da wegen der Kompaktheit von Ω und der Stetigkeit von F (t, µ) bzgl. µ die Minima des lexikographischen Minimums von {µ Ω F (t, µ) = g(t)} für fast alle t angenommen werden. Für den Rest des Beweises benötigen wir noch zwei Lemmata: Lemma 1: Es sei v : I R eine Funktion mit der folgenden Eigenschaft: Zu jedem ε > 0 existiere eine messbare Menge M ε I mit I\M ε < ε, so dass die Restriktion von v auf M ε messbar ist. Dann ist v : I R messbar. Beweis: Es sei N = 1, 2,... und M 1 N die Menge M = N=1 die obige Menge M ε mit ε = 1. Für jedes a R ist N {x M 1 v(x) > a} messbar, d.h. die Restriktion von v auf M ist messbar. Andererseits unterscheidet sich M von I höchstens um eine Menge vom Maß Null. Daher ist v : I R messbar. Lemma 2: Es sei I 0 R messbar und beschränkt, sowie v : I 0 R eine unterhalbstetige Funktion. Dann ist v messbar. (v : I 0 R heißt unterhalbstetig, wenn für jede Folge (x i ), x i I 0 mit x i x I 0 (i ) die Ungleichung v(x ) lim inf i v(x i) gilt.) Beweis: Da I 0 messbar ist, gibt es zu jedem ε > 0 eine abgeschlossene Menge A ε I 0 mit I 0 \A ε < ε. Wegen der Unterhalbstetigkeit von v ist für jedes a R die Menge {x A ε v(x) a} abgeschlossen und daher messbar; das Komplement {x A ε v(x) > a} ist dann ebenfalls messbar. Daraus folgt die Messbarkeit der Restriktion v : A ε R und mit dem Lemma 1 die Messbarkeit von v : I R. Wir können nun zum eigentlichen Beweis des Satzes von Filippov zurückkehren. Wegen Lemma 1 genügt es zu zeigen, dass die oben definierte Filippov-Funktion u bei vorgegebenem ε > 0 messbar ist auf der Menge I\N ε, s. (ii). Wegen des Satzes von Lusin (vgl. [4]) gibt es eine messbare Teilmenge I ε I\N ε mit 5 N

6 (I\N ε )\I ε < ε, so dass g auf I ε stetig ist. Wegen Lemma 1 genügt es sogar zu zeigen, dass die Filippov-Funktion u messbar ist auf I ε. Dies geschieht durch vollständige Induktion über die Komponenten von u: Die erste Komponente u 1 der Filippov-Funktion ist unterhalbstetig und damit messbar auf I ε. Dies ergibt sich aus der folgenden Überlegung: Es seien t, t i I ε und µ 1 = lim inf i u 1 (t i ). Es sei Λ eine Teilfolge, so dass u 1 (t i ) µ 1 und u(t i ) µ = (µ 1,..., µ m) U (i, i Λ). Hierbei wurden die Kompaktheit von U und der Satz von Bolzano-Weierstraß verwendet. Wegen der Stetigkeit von F und g auf I ε dürfen wir in der Gleichung F (t i, u(t i )) = g(t i ) zum Limes i übergehen und erhalten F (t, µ ) = g(t), µ U, oder µ {µ U F (t, µ) = g(t)}. Daraus folgt aus der Minimaleigenschaft der Filippov-Funktion, s. Def., u 1 (t) µ 1 = lim inf i u 1 (t i ), also die behauptete Unterhalbstetigkeit bzw. Messbarkeit von u 1 nach Lemma 2. Die Messbarkeit von u 1,..., u k, k {1,..., m 1} auf I ε sei bereits bewiesen und wir wollen die Messbarkeit von u k+1 beweisen. Nach dem Satz von Lusin gibt es zu jedem δ eine messbare Menge I δ I ε mit I ε \I δ < δ, so dass u 1,..., u k auf I δ messbar sind. Wir zeigen, dass u k+1 auf I δ unterhalbstetig ist. Hierzu seien t, t i I δ und t i t(i ). Ferner sei µ k+1 = lim inf i u k+1 (t i ). Wegen der Stetigkeit von u j, 1 j k auf I δ gilt u j (t i ) u j (t), 1 j k, (i ). Es sei nun Λ eine Teilfolge, so dass u k+1 (t i ) µ k+1 und u(t i ) (u 1 (t),..., u k (t), µ k+1,..., µ m) U (i, i Λ). Hierbei wurde wiederum der Satz von Bolzano-Weierstraß verwendet. Wegen der Stetigkeit von F und g auf I δ I ε darf wiederum in der Gleichung F (t i, u(t i )) = g(t i ) zum Limes i, i Λ übergegangen werden und wir erhalten F (t, u 1 (t),..., u k (t), µ k+1,..., µ m) = g(t). Daraus folgern wir wie im Fall k = 0 die Ungleichung u k+1 (t) µ k+1 = lim inf i u k+1 (t i ). Damit ist u k+1 unterhalbstetig auf I δ und die Messbarkeit auf I ε folgt mit Hilfe von Lemma 1 und 2. Damit ist der Satz bewiesen. 2 Gegebenheiten Wir betrachten nun ein Kontrollsystem der Gestalt ẋ = Ax + Bu + c, x( ) = x 0 (bzw. x( ) G 0 ), u(t) Ω für fast alle t [, T ]. (1) mit x : [, T ] R n absolutstetig, u : [, T ] R m messbar, beschränkt, A, B (n n) bzw. (n m) Matrizen mit Koeffizienten aus L [, T ], c Vektorfunktion mit Komponenten aus L [, T ] (2) und Ω R m (und G 0 R n ) kompakt. (3) Wir wollen dann die Menge derjenigen Funktionen x betrachten, die durch eine gegebene 6

7 Menge von Kontrollen u bestimmt sind: Definition (Erreichbare Menge) Die erreichbare Menge K T R n des Kontrollsystems (1) ist die Menge K T = {x u (T ) x u ist Antwort auf eine zulässige Steuerung u}. Soll betont werden, dass die Restriktionsmenge für die Steuerungen durch die Menge Ω gegeben ist, so schreiben wir auch genauer K T = K T (Ω). 3 Das Bang-Bang-Prinzip Zuerst brauchen wir noch eine genauere Beschreibung der erreichbaren Menge. Aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare ODEs wissen wir, dass es eine Menge absolutstetiger Funktionen z (j) gibt mit ż (j) = Az (j) in [, T ], z (j) ( ) = e j, j = 1,..., n und zugehöriger Wronski-Matrix Φ := ( z (1),..., z (n)). Φ hat die Eigenschaften Φ( ) = Id, Φ = AΦ. Außerdem besitzt Φ für jedes t [, T ] eine stetig von t abhängende Inverse Φ 1. Lemma Die Lösung des Differentialgleichungssystems ż = Az + g, z( ) = z 0, g [L ] n hat die Gestalt z(t) = Φ(t) z 0 + t Φ 1 (s)g ds. Lemma Die erreichbare Menge des Kontrollsystems (1) hat die Gestalt K T = Y + M mit { [ Y = y = Φ(T ) x 0 + ]} T Φ 1 (s)c ds und { M = M(Ω) = z = Φ(T ) } T Φ 1 (s)b(s)u(s) ds u(s) Ω fast überall, u messbar mit Y + M = {y + z y Y, z M}. Wir können nun anfangen, das Bang-Bang-Prinzip zu beweisen: Satz (Bang-Bang-Prinzip): Unter den Voraussetzungen (1)-(3) gilt K T (Ω) = K T (H(Ω)). Beweis: Wegen K T = Y + M mit von Ω unabhängigem Y, ist nur noch zu zeigen, dass M(Ω) = M(H(Ω)). Sei also F := Φ(T )Φ 1 B : [, T ] R n R m eine Funktion von [, T ] in die Menge der (n m)-matrizen mit messbaren und beschränkten Koeffizienten und Ω beschränkt wie in (3). Für den Beweis benötigen wir noch das folgende Lemma: 7

8 Lemma: Es sei u eine messbare Vektorfunktion mit u(t) H(Ω) für fast alle t [, T ]. Dann gibt es eine Darstellung u(t) = m+1 λ i(t)u (i) (t) mit Funktionen u (i) [L [, T ]] m, λ i L [, T ] und der Eigenschaft u (i) Ω, 0 λ i (t) 1, m+1 λ i(t) = 1 für fast alle t [, T ]. Beweis: Wegen u(t) H(Ω) folgt aus dem Lemma von Caratheodory, dass eine Menge von Funktionen ũ (i) (t) Ω (i = 1,..., m + 1) und λ i (t) [0, 1] (i = 1,..., m + 1) existiert mit m+1 λ i (t) = 1, so dass gilt u(t) = m+1 λ i (t)ũ (i) (t). ( λ i, ũ (i) müssen nicht notwendig messbar sein.) Der Beweis für die Existenz der entsprechenden messbaren Funktionen erfolgt mittels des Satzes von Filippov: Seien [Ω] m+1 := {µ = (µ (1),..., µ (m+1) ) T R m(m+1) µ (i) Ω, i = 1,..., m + 1} { (β ) Ω := R m+1 R m(m+1) µ [Ω] m+1, 0 β = (β µ 1,..., β m+1 ) T R m+1, sowie G(β, µ) := m+1 m+1 und β i = 1 β i µ (i), β = (β 1,..., β m+1 ) T R m+1, µ = (µ (1),..., µ (m+1) ) T R m(m+1). G : R m+1 R m(m+1) R m ist stetig. Nach Konstruktion gilt G( λ(t), µ(t)) = u(t), ( λ(t), µ(t)) T Ω für fast alle t [, T ], wobei λ(t) = ( λ 1 (t),..., λ m+1 (t)) T und µ(t) = (ũ (1) (t),..., ũ (m+1) (t)) T. Da u messbar und Ω kompakt, gibt es nach dem Satz von Filippov messbare Funktionen λ = (λ 1,..., λ m+1 ), µ = (u (1),..., u (m+1) ) mit G(λ(t), µ(t)) = u(t), (λ(t), µ(t)) Ω. Damit erfüllen λ i, u (i) gerade die Forderungen des Lemmas. Fortsetzung des Beweises zum Bang-Bang-Prinzip: Die Richtung M(Ω) M(H(Ω)) ist trivial, da Ω H(Ω). Für die Gegenrichtung bleibt also zu zeigen, dass für alle x M(H(Ω)) gilt x M(Ω). Zu x M(H(Ω)) gibt es ein u [L [, T ]] m mit u(t) H(Ω), so dass x = T F (t)u(t) dt. Aus dem eben bewiesenen Lemma folgt, dass es messbare Funktionen λ i, u (i), i = 1,..., m + 1 gibt mi λ i (t) 1, m+1 λ i(t) = 1, u (i) (t) Ω für fast alle t [, T ] und u(t) = m+1 λ i(t)u (i) (t). Damit ist x = m+1 T λ i (t)f (t)u (i) (t) dt. Wir setzen jetzt zur Abkürzung h i (t) = F (t)u (i) (t) und (T β)(t) := m+1 T β i (t)h i (t) dt für β = (β 1,..., β m+1 ) [L [, T ]] m+1 8 },

9 und definieren { K := β [L [, T ]] m+1 0 β i 1, m+1 β i = 1 fast überall in [, T ] Desweiteren sei C := {β K T β = x}. Offensichtlich ist C, da λ C. Als Teilmenge von [L 2 [, T ]] m+1 ist C abgeschlossen (und konvex) in [L 2 [, T ]] m+1. Beweis der Abgeschlossenheit: Es sei b i C, b i β (i ) komponentenweise, b i = (b i1,..., b im+1 ) mi b ij 1 auf [, T ]. Damit bilden die (b ij ) j für jedes fest gewählte j eine beschränkte Folge auf dem Hilbertschen Raum L 2 [, T ]. Aus dem Satz über die schwache Folgenkompaktheit Hilbertscher Räume folgt somit die Existenz einer Teilfolge (b ij ) (ggf. entsprechend umnummeriert), die schwach konvergent ist gegen ein b L 2 [, T ]. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass b L [, T ] und 0 b 1. Nach dem Satz von Banach-Saks existiert aber eine weitere unendliche Teilfolge (b ijk ) k, so dass die arithmetischen Mittel v N = 1 N N k=1 b i jk b (N ) in L 2 [, T ]. Wegen 0 b ijk 1 auf [, T ] gilt auch 0 v N 1 fast überall auf [, T ]. Das Gleiche gilt für den Limes b. Aus der L 2 -Konvergenz v N b folgt damit die Maßkonvergenz v N b und daraus mit dem Satz von Riesz die punktweise Konvergenz v Nl b fast überall für eine Teilfolge v Nl. Da 0 v Nl 1 fast überall auf [, T ], gilt dies auch für den punktweisen Limes und damit ist b {β L [, T ] 0 β 1}. Die Konvexität von C in L 2 [, T ] folgt einfach aus der Konvexität von K. Aus dem Satz von Krein-Milman folgt nun, dass C einen Extremalpunkt λ C besitzt. Wir zeigen, dass die Komponenten λ i von λ charakteristische Funktionen messbarer Mengen sind, d.h. λ i : [, T ] {0} {1}. Annahme: Es gibt einen Index i 0, für den das nicht stimmt; obda i 0 = 1. Dann gibt es eine messbare Menge E [, T ] mit E 0 und ε > 0, so dass ε < λ 1 < 1 ε auf E. Da m+1 λ i = 1 und 0 λ i auf [, T ], gibt es eine messbare Menge E E mit E 0 und ε > 0, ε < ε, so dass ε < λ 2 < 1 ε auf E. Wir wählen dann paarweise disjunkte Mengen E i E, i = 1,..., n + 1 mit E i 0. Sei z i = E i (h 1 h 2 ) dt ( R n ), i = 1,..., n + 1. Da n + 1 Vektoren im R n immer linear abhängig sind, gibt es somit reelle Zahlen α i R, i = 1,..., n + 1 mit n+1 α i 0 und n+1 α iz i = 0. Wir dürfen dabei annehmen, dass ( α i < ε. n+1 Sei γ : [, T ] R m+1 definiert durch γ = j=1 α jχ(e j ), ) n+1 j=1 α jχ(e j ), 0,..., 0. Offensichtlich gilt für α R, dass n+1 T (λ + αγ) = x + αt γ = x + α α j (h 1 h 2 ) dt = x E j und n+1 (λ i +αγ i ) = n+1 λ i = 1, sowie 0 λ i +αγ i 1, falls α [ 1, 1]. (Letzteres folgt, da γ i = 0, i 3 und γ 1 = γ 2 = 0 außerhalb von n+1 j=1 E j und γ k < ε auf n+1 j=1 E j E, wobei ε < λ 1, λ 2 < 1 ε). Dies bedeutet aber, dass λ +αγ C, α [ 1, 1], d.h. λ ist kein Extremalpunkt. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, und somit müssen die Komponenten λ i von λ charakteristische Funktionen χ(g i ) geeigneter messbarer Mengen G i sein. Setze jetzt u = m+1 λ i u (i). Dann gilt x = T λ = T F (t) m+1 λ i (t)u (i) (t) dt. Da 9 j=1 }.

10 m+1 λ i = 1 und λ i = χ(g i ), sind die G i paarweise disjunkt bis auf eine Menge vom Maß Null und G i = [, T ]. Es gilt also u = m+1 λ i u (i) = u (j) auf G j. Außerdem muss wegen u (j) (t) Ω für fast alle t gelten, dass u (t) Ω. Wegen x = T λ = T F (t)u (t) dt ist der Satz damit bewiesen. Bemerkung Das Bang-Bang-Prinzip besagt gerade, dass man die Punkte aus K T (H(Ω)) auch mit Hilfe der unter Umständen sehr viel kleineren Klasse von Steuerungen u : [, T ] Ω ansteuern kann. Für konvexe Mengen Ω gilt K T (δω) = K T (Ω), und falls die Menge E(Ω) der Extremalpunkte von Ω kompakt ist, gilt sogar K T (E(Ω)) = K T (Ω). Dies folgt gerade aus dem obigen Satz und dem Satz von Minkowski Eine konvexe kompakte Menge im R n ist die konvexe Hülle ihrer Extremalpunkte. Bemerkung Im Fall, dass Ω = {u R u 1}, gilt δω = { 1, 1}, d.h. die Punkte von K T (Ω) lassen sich gerade durch Kontrollen ansteuern, die nur die Werte -1 und 1 annehmen. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Bang-Bang-Prinzip. Bemerkung Der Satz sagt nicht, dass eine optimale Kontrolle immer bang-bang sein muss. Vielmehr ist die Aussage dieses Satzes, dass, falls ein Punkt durch eine zulässige Kontrolle in der Zeit t erreicht werden kann, er auch durch eine Bang-Bang-Steuerung in derselben Zeit erreicht werden kann. Es gibt Fälle, in denen mehr Kraft/Leistung zur Verfügung steht, als effektiv genutzt werden kann, so dass die optimale Steuerung nicht notwendigerweise bang-bang ist. Das Bang-Bang-Prinzip besagt aber, dass, wenn es eine optimale Steuerung gibt, es auch eine Bang-Bang Steuerung geben muss, die optimal ist. Daher muss eine eindeutige optimale Steuerung bang-bang sein. Literatur [1] J. Frehse: Script zur Vorlesung Lineare Kontrolltheorie, Rheinische Friedrich- Wilhelms-Universität Bonn [2] H. Hermes, J. P. LaSalle: Functional Analysis and Time Optimal Control, Academic Press, 1969 [3] H. Heuser: Funktionalanalysis, Teubner, 1986 [4] H. W. Alt: Funktionalanalysis, Springer,