31: Normierte Vektorräume

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1 31: Normierte Vektorräume Für eine systematische Behandlung von Grenzwert-Prozessen für Funktionenfolgen benötigen wir die allgemeine Definition der normierten Vektorräume und einen passenden Abstandsbegriff. Hierauf aufbauend behandeln wir im Weiteren (auch HM IV) die Fourier-Reihen den Banachschen Fixpunktsatz und seine Anwendungen Ein Teil der hier zusammengestellten Begriffe und Sätze wurde bereits im Kapitel über allgemeine Vektorräume definiert und bewiesen. Daher enthält dieser Abschnitt zum Teil Wiederholungen. Wieder werden Vektoren ohne Pfeil geschrieben. Höhere Mathematik Ver

2 Wiederholung: Norm, normierter Raum Wir wollen weitere Normen auf dem R n und C n Normen auf vielen weiteren Vektorräumen, z.b. dem Vektorraum der stetigen Funktionen CÖa,b Øf : Öa,b C f stetigù bzw. CÖa,b Øf : Öa,b R f stetigù kennenlernen Wiederholung: Norm, normierter Raum, vgl. 6.8 Es sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung Ð Ð : V R mit folgenden Eigenschaften: (i) Definitheit: ÐvÐ 0 für alle v È V, und (ÐvÐ 0 v 0), (ii) pos. Homogenität: ÐαvÐ α ÐvÐ für alle α È R bzw. C und v È V, (iii) Dreiecksungleichung: Ðv wð ÐvÐ ÐwÐ für alle v,w È V. Ein Vektorraum V mit einer Norm Ð Ð heißt ein normierter Raum. Höhere Mathematik Ver

3 Wiederholung: Norm, normierter Raum Bemerkungen: Die Norm liefert einen Abstands-Begriff: ÐvÐ ist der Abstand des Vektors v vom Nullpunkt 0 È V. Ðv wð ist der Abstand der beiden Vektoren v und w Genau wie es in 1.23(f) für den Betrag gemacht wurde, beweist man die zweite Dreiecksungleichung: In jedem normierten Raum gilt die Ungleichung Ðv wð ÐvÐ ÐwÐ. Höhere Mathematik Ver

4 Beispiele von Normen auf dem R n und C n 31.2 Beispiele von Normen auf dem R n und C n Euklidische Norm: ÐxÐ ÐxÐ 2 : x 1 2 x n 2 Maximumsnorm: ÐxÐ : maxø x 1,..., x n Ù Betragssummennorm: ÐxÐ 1 : x 1 x n Allgemein: für 1 p die sog. p-norm ÐxÐ p : Ô x 1 p... x n p Õ 1ßp. Höhere Mathematik Ver

5 Satz: Hölder- und Minkowski-Ungleichung Zum Beweis der Dreiecksungleichung für die p-normen benötigt man die Hölder-Ungleichung Satz: Hölder- und Minkowski-Ungleichung Wir definieren p p 1 (also ist 1 q zu 1 p den konjugierten Exponenten q und 1 1 p q 1), zu p 1 den konjugierten Exponenten q und zu p den konjugierten Exponenten q 1. Dann gilt für beliebige Vektoren x,y È R n die Ungleichung nô nô x k y k x k y k ÐxÐ p ÐyÐ q. k 1 k 1 Daraus folgt die Dreiecksungleichung, die hier Minkowski-Ungleichung heißt: Ðx yð p ÐxÐ p ÐyÐ p Höhere Mathematik Ver

6 Weitere Beispiele von Normen 31.4 Weitere Beispiele von Normen Der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen und beschränkten Intervall I Öa,b wurde mit CÖa,b bezeichnet. Wir definieren verschiedene Normen auf diesem Vektorraum: Maximumsnorm: Ðf Ð : maxø f ÔxÕ x È Öa,b Ù. für 1 p die L p -Norm: Ðf Ð p : b a f ÔxÕ p dx«1ßp. Auch diese Norm ist wohldefiniert. Höhere Mathematik Ver

7 Satz: Hölder- und Minkowski-Ungleichung auf C Öa, b Mit der Monotonie folgt b b b f ÔxÕgÔxÕdx f ÔxÕ gôxõ dx Ðf Ð gôxõ dx Ðf Ð ÐgÐ 1. a a Dies ist eine Version der Hölder-Ungleichung für Integrale. Allgemein: a 31.5 Satz: Hölder- und Minkowski-Ungleichung auf C Öa, b Zu 1 p sei q der konjugierte Exponent wie in Dann gilt für stetige Funktionen f,g È CÖa,b b f ÔxÕgÔxÕdx Ðf Ð p ÐgÐ q. a Weiter gilt Ðf gð p Ðf Ð p ÐgÐ p Höhere Mathematik Ver

8 Konvergenz von Folgen und Reihen Nach den Überlegungen zur Geometrie normierter Räume kommen wir noch zur Topologie dieser Räume: Die Norm beinhaltet den Abstandsbegriff und ermöglicht die Einführung der Begriffe der Analysis wie im R n : 31.6 Konvergenz von Folgen und Reihen Eine Folge Ôv k Õ kèn von Elementen v k des normierten Raumes V heißt konvergent gegen v È V, wenn gilt lim Ðv v kð 0. k ô Eine Reihe v k mit Summanden v k È V heißt konvergent gegen w È V, wenn gilt k 1 lim N Nô w v 0. k Eine Teilmenge W eines normierten Raumes V heißt dicht, wenn es zu jedem k 1 ε 0 und jedem v È V ein w È W gibt mit Ðv wð ε. Höhere Mathematik Ver

9 Äquivalente Normen Bemerkung: 31.7 Äquivalente Normen Zwei Normen Ð.Ð 1 und Ð.Ð 2 auf einem Vektorraum heißen äquivalent, wenn Ðv v k Ð 1 0 zu Ðv v k Ð 2 0 äquivalent ist. Das ist genau dann der Fall, wenn es positive Konstanten C 1 und C 2 gibt, so dass für alle v im Vektorraum gilt C 1 ÐvÐ 1 ÐvÐ 2 C 2 ÐvÐ 1. (a) Alle Normen auf dem R n sind äquivalent: Die Konvergenz lim k v k v bzgl. einer Norm (z.b. der Maximums-Norm) zieht sofort die Konvergenz bezüglich aller anderen Normen nach sich: Dies folgt aus den Ungleichungen lim Ðv v kð p 0 für alle 1 p. k ÐvÐ ÐvÐ p n 1ßp ÐvÐ. Höhere Mathematik Ver

10 Äquivalente Normen (b) Die L p -Normen auf CÖa,b sind nicht äquivalent. Die Maximumsnorm (p ) führt auf den Konvergenzbegriff der gleichmäßigen Konvergenz: Å lim f k f lim max f k k kôxõ fôxõ 0. xèöa,b Die L 2-Norm auf CÖa,b führt auf die Konvergenz im quadratischen Mittel: b Å lim f k f lim f k ÔxÕ fôxõ 2 dx 0. k k a Es gibt keine Norm auf C Öa, b, die die punktweise Konvergenz induziert. Höhere Mathematik Ver

11 Cauchy-Folge, vollständig, Banachraum Wie beim Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen gibt es auch bei normierten Räumen den Begriff der Vollständigkeit: 31.8 Cauchy-Folge, vollständig, Banachraum Eine Folge Ôv k Õ kèn von Elementen v k des normierten Raumes V heißt Cauchy-Folge, wenn gilt lim k,l Ðv k v l Ð 0. Ein normierter Raum V heißt vollständiger Raum oder Banachraum, wenn jede Cauchy-Folge einen Grenzwert v È V besitzt. Ein Skalarproduktraum (siehe 31.11) V heißt vollständiger Raum oder Hilbertraum, wenn jede Cauchy-Folge einen Grenzwert v È V besitzt. Höhere Mathematik Ver

12 Beispiele 31.9 Beispiele (a) R n ist mit jeder p-norm ein Banachraum, und mit der Euklidischen Norm (p 2) sogar ein Hilbertraum. (b) CÖa,b ist mit der Maximumsnorm ein Banachraum. (c) CÖa,b versehen mit der L 2-Norm ist nicht vollständig. Ein Beispiel einer Cauchy- Folge in CÖ 1,1 ohne einen Grenzwert in CÖ 1,1 ist ² 1 x 1 k f k ÔxÕ kx 1 ± x 1 k k 1 x 1 k,k 1,2,... Man erkennt, dass Ðf n f mð 2 2 2maxØ 1 n, 1 m Ù ist. Eine stetige Grenzfunktion müsste für x 0 den Wert 1 und für x 0 den Wert 1 haben. y 1 f m 1 1 n f n x Höhere Mathematik Ver

13 Norm und Stetigkeit Norm und Stetigkeit Seien V und W normierte Räume mit den Normen Ð.Ð V bzw. Ð.Ð W, D V, v 0 È V. f : D W sei eine Abbildung. f heißt in v 0 stetig, wenn gilt Ðv v 0 Ð V 0 Ðf ÔvÕ fôv 0 ÕÐ W 0. f heißt in D stetig, wenn f in jedem Punkt von D stetig ist. Besonders einfach ist es für lineare Abbildungen, die auf D : V definiert sind. Eine lineare Abbildung L : V W ist genau dann stetig, wenn sie in v 0 0 stetig ist. In diesem Fall bibt es ein C 0, so dass für alle v È V gilt: ÐLÔvÕÐ W CÐvÐ V Das Infimum aller C mit dieser Eigenschaft wird mit ÐLÐ bezeichnet. Es ist also immer ÐLÔvÕÐ W ÐLÐ ÐvÐ V, und es gibt keine kleinere Konstante als ÐLÐ mit dieser Eigenschaft. Höhere Mathematik Ver

14 Skalarprodukt und Norm Eine besonders wichtige Rolle spielen Skalarprodukträume Skalarprodukt und Norm Wie in 6.5 definieren wir: Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung Ôv,wÕ Üv,wÝ von V V in die reellen oder komplexen Zahlen, die definit, symmetrisch, linear in der ersten und antilinear in der zweiten Komponente ist. Wie in 6.8 bewiesen wurde, induziert das Skalarprodukt eine Norm durch ÐvÐ Üv,vÝ Jeder Skalarprodukt-Raum ist also auch ein normierter Raum. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Es gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung Üv,wÝ Üv,vÝ Üw,wÝ ÐvÐ ÐwÐ Höhere Mathematik Ver

15 Parallelogramm-Identität und Winkel Parallelogramm-Identität und Winkel (i) In einem Skalarproduktraum V gilt die Identität Ðv wð 2 Ðv wð 2 2ÔÐvÐ 2 ÐwÐ 2 Õ. Ô Õ (ii) Umgekehrt: Falls in einem normierten Raum V die Parallelogramm-Identität Ô Õ gilt, so ist durch Üv,wÝ : 1 Ðv wð 2 Ðv wð 2 4 bzw. im komplexen Fall Üv,wÝ : 1 Ðv wð 2 Ðv wð 2 iðv iwð 2 iðv iwð 2 4 ein Skalarprodukt definiert, das diese Norm induziert. (iii) In reellen Räumen ist durch cosôαõ Üv,wÝ ÐvÐ ÐwÐ der Winkel α Ôv,wÕ im Intervall 0 α π festgelegt. Höhere Mathematik Ver

16 Beispiel: die 2-Norm auf C ÔÖa, b Õ Beispiel: die 2-Norm auf CÔÖa,b Õ Der Vektorraum CÖa,b mit dem Skalarprodukt Üf,gÝ b a f ÔxÕgÔxÕdx, f,g È CÖa,b ist ein Skalarproduktraum. Die induzierte Norm ist die L 2 -Norm in ß2 b Ðf Ð 2 Üf,f Ý f ÔxÕ dx«2. a Die Cauchy-Schwarz Ungleichung heißt hier b «1ß2 b 1ß2 b f ÔxÕgÔxÕdx f ÔxÕ 2 dx gôxõ dx«2. a Dies ist ein Spezialfall (mit p q 2) der Hölder-Ungleichung. a a Höhere Mathematik Ver

17 Orthonormal-System Wieder gilt: v,w È V heißen orthogonal, wenn Üv,wÝ 0 gilt. Ein normierter Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare dichte Menge gibt. Wir betrachten hier nur separable Hilberträume Orthonormal-System Die Vektoren v 1,v 2,... im Skalarproduktraum V bilden ein Orthonormal-System (ONS), wenn gilt 0 für j k Üv j,v k Ý 1 für j k Das ONS heißt vollständig, wenn aus Üw,v j Ý 0 für alle j schon w 0 folgt. Zur Konstruktion von ONS kann (auch für unendlich viele Vektoren) das Gram-Schmidt-Verfahren (siehe 6.20) verwendet werden. Höhere Mathematik Ver

18 Satz des Pythagoras und Besselsche Ungleichung Satz des Pythagoras und Besselsche Ungleichung Falls die Vektoren v 1,v 2,...,v N im Skalarproduktraum V ein Orthonormal-System bilden, so gilt der Satz des Pythagoras 2 Nô Nô c k v c k k 2 Ôc k È C beliebigõ k 1 k 1 und die Besselsche Ungleichung Nô Üw,v k Ý 2 ÐwÐ 2 k 1 Ôw È V beliebigõ. Höhere Mathematik Ver

19 Orthonormalbasen und Parseval-Identität Orthonormalsysteme in Hilberträumen haben fast dieselben Eigenschaften wie in endlichdimensionalen Räume: Orthonormalbasen und Parseval-Identität Sei v 1,v 2,... ein vollständiges ONS in einem Skalarproduktraum V. Dann gilt: v 1,v 2,... ist eine Orthonormalbasis (ONB): es gilt für jeden Vektor w È V: w ô Üw,v k Ýv k k 1 Es gilt die Parsevalsche Identität ô Üw,v k Ý 2 ÐwÐ 2 k 1 Höhere Mathematik Ver

20 Orthogonalprojektion Orthonormalsysteme dienen zur Projektion auf den Teilraum Z span Ôv 1,...,v N Õ Orthogonalprojektion Die Vektoren v 1,v 2,...,v N seien ein Orthonormalsystem in V. Mit Z sei der obige Teilraum bezeichnet. Zu beliebigem w È V ist der Vektor PÔwÕ : Nô Üw,v k Ý v k k 1 die Orthogonal-Projektion von w auf den Teilraum Z, d.h. Üw PÔwÕ,zÝ 0 für alle z È Z. Höhere Mathematik Ver

21 Orthogonalprojektion (Forts.) Weiterhin gelten die Identitäten und ÐwÐ 2 Ðw PÔwÕÐ 2 ÐPÔwÕÐ 2, ÔiÕ Ðw zð 2 Ðw PÔwÕÐ 2 ÐPÔwÕ zð 2 für alle z È Z, ÔiiÕ also ist die Orthogonal-Projektion PÔw Õ È Z der eindeutig bestimmte Vektor im Teilraum Z mit minimalem Abstand vom Vektor w. Bemerkung: Man sieht an der expliziten Form in diesem Satz, dass die Orthogonalprojektion ein linearer Operator ist, dass also PÔαw 1 βw 2 Õ αpôw 1 Õ βpôw 2 Õ gilt. Höhere Mathematik Ver