(a) Der Anfangszustand ist, dass das Teilchen am Ort 1 ist. Wir bezeichnen dies mit:

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2 76 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK 1. Wir können nun Zustände in einer einfachen Notation beschreiben. Hierbei verwnden wir bra - und ket - Zustände 2, die denanfangs- und Endzuständen entsprechen. (a) Der Anfangszustand ist, dass das Teilchen am Ort 1 ist. Wir bezeichnen dies mit: Oder, wenn das Teilchen am Anfang im Zustand 2 war: 1 2 Wenn wir angeben wollen, dass das Teilchen entweder am Ort 1 oder am Ort 2 war, schreiben wir: 12 (b) Analog können wir Endzustände beschreiben. Wollen wir etwa sagen, dass sich das Teilchen im Endzustand bei x befindet so schreiben wir: x 2. Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Zustand zu einem anderen ist nun durch das Anaeinanderfügen von Symbolen für den Anfangs- und Enzustand, aber gleichzeitig auch durch die Wellenfunktion gegeben. So gilt in unserem Beispiel für i = 1,2: ψ i (x) = x i Tauscht man Anfangs- und Endzustand, so muss man die Wellenfunktion komplex konjugieren: ψ i(x) = i x Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist dann gegeben durch: ρ i (x) = x i 2 Nun ist jedoch noch nicht klar, wie das Produkt x i zu verstehen ist. Es handelt sich hierbei um ein unitäres Produkt von 2 Symbolen aus beiden Klassen. Dies besprechen wir in Kürze. 3. Aus dem Superpositionsprinzip folgt für alle x: 12 = x 12 = x 1 + x 2 Die obigen drei Eigenschaften sind die algebraischen Eigenschaften eines unitären Vektorraums 3, nämlich des Hilbertraums H. Hierbei sind die ϕ, ψ,... H, und die Endzustände sind Elemente des dualen Raums H: ϕ, ψ,... H. Dirac postulierte nun, dass dies Allgemeingültigkeit besitzt, d.h. dass die Quantenmechanik eine Zustandsbeschreibung im Hilbertraum ist. 2 Sie wurden von Dirac eingeführt. 3 Im allgemeinen hat dieser Raum in der Quantenmechanik die Dimension.

3 3.1. ZUSTANDSVEKTOREN IM HILBERTRAUM 77 Erinnerung: Bevor wir zu den Eigenschaften der Zustandsvektoren kommen, wollen wir uns einmal die Eigenschaften der Elemente des zweidimensionalen euklidischen Vektrorraums R 2 in Erinnerung rufen. Seien also a, b R 2 und λ 1,λ 2 R. Sei weiter {ê 1,ê 2 } eine Basis in R 2 mit ê i = 1 und ê i ê j = δ ij (Orthonormalität). Dann gilt: 1. Linearität: 2. Es existiert ein Skalarprodukt mit: λ 1 a+λ 2 b R2. a b = b a = λ R 3. Es gibt eine Koordinatenform: 2 a = a i ê i = ( a1 a 2 ), mit der wir das Skalarprodukt umschreiben können: a b = ( ) ( ) b a 1 a 1 2 b 2 Eigenschaften der Zustandsvektoren = a 1 b 1 +a 2 b 2 = 2 a i b i Für die Zustandsvektoren stellen wir ganz ähnliche Eigenschaften wie im zuvor besprochenen Beispiel fest. Das unitäre Produkt nimmt nun den Platz des Skalarproduktes ein. 1. Mit c C und ψ H und ϕ H gilt: 2. Mit diesem Skalarprodukt haben wir nun die Norm: für alle ψ 0. Es gilt 3. Wir haben nun zwei Linearitätsbeziehungen. ϕ ψ = ψ ϕ = c ψ 2 = ψ ψ 0 ψ 2 = 0 ψ = 0 (a) Mit ψ 1, ψ 2 H und λ 1,2 C gilt Linearität bezüglich des rechten Zustandsvektors: ϕ λ 1 ψ 1 +λ 2 ψ 2 = λ 1 ϕ ψ 1 +λ 2 ϕ ψ 2 (b) Mit ψ 1, ψ 2 H und λ 1,2 C gilt eine modifizierte Linearitätsrelation bezüglich des linken Zustandsvektors: λ 1 ψ 1 +λ 2 ψ 2 ϕ = ϕ λ 1 ψ 1 +λ 2 ψ 2 = λ 1 ϕ ψ 1 +λ 2 ϕ ψ 2 = λ 1 ψ 1 ϕ +λ 2 ψ 2 ϕ Da hierbei die Koeffizienten komplex konjugiert werden, spricht man von Anti-Linearität. 4. Sei nun { ϕ 1, ϕ 2,...} eine Basis in H mit ϕ i = 1 und ϕ i ϕ j = δ ij. Für jedes ψ H können wir dann ψ 1 ψ = ψ i ϕ i = ψ 2 n=0..

4 78 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK schreiben. Ebenso für jedes ψ H: ψ = ψi ϕ i n=0 Mit dieser Koordinatendarstellung der Zustandsvektoren aus dem Hilbertraum und dem dualen Raum können wir das unitäre Produkt in folgender Weise darstellen: ψ ϕ = ( ψ 1 )... ψn Ebenso können wir das unitäre Produkt des Rückprozesses ausdrücken durch: ϕ ψ = ( ψ 1 ) ϕ 1... ϕ. N. ψ N Vergleichen wir diese beiden Gleichungen so können wir den Übergang zwischen H und H ablesen. Und zwar geht der rechte in den linken Zustandsvektor durch komplexe Konjugation aller Einträge und Transposition über. Wir schreiben dies ϕ 1. ϕ N ψ = ( ψ ) + (3.1) und nennen ψ hermitesch adjungiert zu ψ. In unserem Beispiel haben wir abzählbare N-dimensionale Zustandsvektoren besprochen (N kann dabei Unendlich sein). Dies wären zum Beispiel die Energien der gebundenen Zustände im Potentialtopf. Wir wissen bereits, dass auch kontinuierliche Zustände möglich sind. Zum einen gilt dann N. Zum anderen sind die Zustände dann nicht mehr abzählbar. 5. Bisher haben wir noch nicht erwähnt, dass die Basis vollständig sein muss. Die Basis muss die Dimension von H bzw. H haben. Wir haben also entweder kontinuierliche Basen oder abzählbare diskrete Basen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte berechnet sich aufgrund der Orthogonalität im diskreten Fall zu: während im kontinuierlichen Fall gilt: N N 1 = ρ i = ψiψ i, n=0 1 = ψ (x)ψ(x)dx. 3.2 Observable und Operatoren im Hilbertraum In der klassischen Mechanik erfordert die Zustandsbeschreibung eines Teilchens die genaue Kenntnis des Ortes r und des Impulses p. Kennt man diese Größen, so lässt sich eine beliebige physikalische Größe A als Funktion des Ortes und des Impulses ausdrücken. A A(r,p). Ein Beispiel ist die Hamiltonfunktion H(r,p) = p 2 /2m+V(r). Wir wenden nun wieder das Korrespondenzprinzip an, welches besagt, dass sich die zentralen funktionalen Zusammenhänge zwischen Größen der klassischen Physik in der Quantenphysik nicht ändern 4. Das bedeutet, dass die Funktion A(r,p) unverändert bleibt und nur operatorwertig wird und auch die Argumente durch die entsprechenden Operatoren zu ersetzen sind: A(r,p) Â(ˆr, ˆp). (3.2) Darüber hinaus ist zu fordern, dass dieser Operator  auf beliebig Zustände ψ H wirkt. Wir fordern darüber hinaus, dass die Wirkung des Operators nicht aus dem Hilbertraum heraus führt,  ψ = φ H, ψ H. (3.3) Diese Forderungen schränken die Auswahl der für uns interessanten Operatoren ein. Es folgen die nun aufgelisteten Eigenschaften, der für die Quantenmechanik relevanten Operatoren: 4 Dies ist natürlich eine Hypothese. Ein Argument dafür ist, dass die klassische Physik als Grenzfall der Quantenphysik folgt.

5 3.2. OBSERVABLE UND OPERATOREN IM HILBERTRAUM Zunächst gilt die Linearität. Es gilt also: Â( ψ 1 + ψ 2 ) = }{{}  ψ 1 }{{} + ψ 2 }{{} ϕ 1+ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 2. Die Zustandsvektoren im Hilbertraum und die Zustandsvektoren des dualen Raums sind gleichberechtigt. Wegen der Linearität in H, folgt für die Wirkung in H: ( ψ 1 + ψ 2 ) = ψ 1 Â+ ψ 2  (ϕ 1 +ϕ 2 ) = ϕ 1 + ϕ 2 Hierbei sind natürlich alle ϕ i Elemente des dualen Raums. 3. Wir untersuchen nun den Zusammenhang der Wirkung in H und in H. Nehmen wir also ein ψ H. Dann gilt:  ψ = ϕ H Wir kennen auch den Zusammenhang mit dem dualen Vektor: woraus wir nun die Wirkung auf ψ finden: ψ = [ ψ ] + H, ϕ = [ ϕ ] + = [ ψ ]+ = [ ψ ] +  + = ψ Â+ Hierbei ist Â+ der zu  hermitesch adjungierte Operator. Ein wichtiger noch zu besprechender Fall ist  = Â+. 4. Eine weitere wichtige Forderung ist, dass die Resultate von Messungen immer reelle Größen sind. Anders formuliert, erwarten wir, dass Operatoren physikalischer Observabler einen reellen Erwartungswert besitzen:  ψ R, wobei der Zustand ψ beliebig ist. Wenn wir diesen Erwartungswert nun definieren 5 als so fordern wir also:  ψ = ψ  ψ, (3.4) ψ  ψ = ψ ϕ = ψ  ψ = ϕ ψ = ψ Â+ ψ. Hieraus können wir folgende Bedingung für reelle Erwartungswerte ablesen:  + = Â. (3.5) ZusätzlichhierzumüssendieOperatorenÂundÂ+ denselbendefinitionsbereichhaben.mansagtdann,â ist selbstadjungiert. Auch nicht selbstadjungierte Operatoren treten in der Quantenmechanik auf wie zum Beispiel die Leiteroperatoren â und â. Diese haben jedoch keinen Zusammenhang mit direkt messbaren Größen. Zusammenfassend kommen wir zur der Aussage: Die Quantenmechanik ist die Theorie der selbstadjungierten linearen Operatoren im Hilbertraum. 5 Eine Ableitung dieses Ausdrucks geben wir etwas später.

6 80 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK 5. Kommen wir nun zur Koordinatendarstellung der Operatoren und besprechen die sogenannten Matrixelemente der Operatoren. Analog zur Koordinatendarstellung der Zustandsvektoren, bei der der abstrakte Zustand durch eine Gesamtheit von C-Zahlen dargestellt wird, existiert eine Koordinatendarstellung der Operatoren durch C-Zahlen. Es ist leicht einzusehen, dass diese die Form einer Matrix haben muss. Sei also { ψ i } eine vollständige orthonormierte Basis in H. Die Komponenten von  in dieser Basis bestimmen den Operator  dann eindeutig. Ein Matrixelement definieren wir als: Damit gilt: A ij = ψ i  ψ j C. (3.6) A 11 A A 21 A  (3.7). Die Elemente mit i = j sind also die Erwartungswerte im Zustand ψ i. Die Elemente A ij mit i j stellen dagegen die Übergangswahrscheinlichkeit von ψ j zu ψ i unter der Wirkung von  dar. Die Matrix umfasst also alle Übergangsprozesse und damit alle möglichen Anfangs- und Endzustände. Beispiel: Als ein Beispiel besprechen wir die Ortsdarstellung und wählen daher als Basis die Eigenzustände des Operators ˆx. Diese Eigenzustände { x } sind im Allgemeinen kontinuierlich 6. Wir bilden nun das unitäre Produkt mit einem Orts-Eigenzustand, ψ x ψ = ψ(x) C ψ ψ x = ψ (x). Die Koordinatendarstellung des Zustandes ψ ist also gerade die uns schon vertraute Wellenfunktion. Nun finden wir die Matrixdarstellung bzw. die Matrixelemente eines beliebigen Operators  sowie von Â+. Mit ψ 1 Â+ = ϕ 1 gilt ϕ 1(x) = [Âϕ 1(x)]. Es gilt also: ψ 1  ψ 2 ψ 1(x)Âψ 2(x)dx (3.8) ψ 1 Â+ ψ 2 (Âϕ 1(x)) ψ 2 (x)dx (3.9) Für einen hermiteschen Operator müssen damit diese Ausdrücke übereinstimmen. Somit folgt: Das Kriterium für selbstadjungierte Operatoren ist in Matrixdarstellung: (3.8) = (3.9) ψ 1, ψ 2  = Â+ (3.10) Prüfen wir nun als Beispiel, ob der Orts- und der Impulsoperator in der Ortsdarstellung selbstadjungiert sind. Für den Ortsoperator sehen wir leicht: Der Ortsoperator ist also selbstadjungiert. ψ1 xψ 2 dx = (xψ 1 ) ψ 2 dx. Prüfen wir dies nun für den Impulsoperator. Hierfür werden wir einmal partiell integrieren. Der Mischterm der partiellen Integration fällt dann wegen der Normierung im Unendlichen weg: ψ 1 ˆp x ψ 2 ψ1 i x ψ 2dx ( ) ( = i x ψ 1 ψ 2 = ) i x ψ 1 ψ 2 dx ( ) = i xψ 1 ψ 2 dx = (ˆp x ψ 1 ) ψ 2 dx Da dies für beliebige Funktionen ψ 1 und ψ 2 gilt (beliebige Zustandsvektoren), folgt daraus ˆp + x = ˆp x. Analog funktioniert dies für den Vektoroperator ˆp. 6 Im Detail betrachten wir diesen Fall etwas später.

7 3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB: OPERATOREN IM HILBERTRAUM Mathematischer Einschub: Operatoren im Hilbertraum Wir werden hier einige wichtige Definitionen, Sätze und Eigenschaften besprechen. Im wesentlichen ist dies eine Fortsetzung der Einführung vom vorigen Abschnitt. Zunächst definieren wir einige wichtige Operatoren. 1. Inverser Operator  1 :  1 = ˆ1 2. Adjungierter Operator Â+ :  ψ = Φ H ψ  = Φ H 3. Selbstadjungierter Operator Â:  + =  4. Unitärer Operator Â: ÂÂ+ = ˆ1  + =  1 5. Projektionsoperator auf einen Zustand a, ˆPa : Dieser Operator ist wie folgt zu verstehen: ˆP a = a a ˆP a ψ = a a ψ Wir verlangen noch a a = 1. Der Projektionsoperator hat folgende Eigenschaften: (a) Für alle ψ H gilt ˆP a ψ L a H (b) Außerdem gilt noch eine Eigenschaft, die man Idempotenz nennt: Dies können wir leicht zeigen: ˆP 2 a = ˆP a ˆP a 2 = ( a a )( a a ) = }{{} ˆP a =1 (c) Außerdem ist der Projektionsoperator selbstadjungiert: Die lässt sich ebenfalls leicht zeigen: ˆP + a = ˆP a ˆP + a = ( a a ) + = a + a + = a a Wichtige Eigenschaften von Operatoren im Hilbertraum Satz 1: Für alle ψ H und für alle Operatoren  gilt ψ  ψ = ψ Â+ ψ Beweis: Sei zunächst  ψ = ϕ und ψ Â+ = ϕ. Dann gilt ψ  ψ = ψ ϕ und ϕ ψ = ψ Â+ ψ. Benutzt man nun noch ϕ ψ = ψ ϕ, so hat man alles gezeigt.

8 82 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Satz 2: Ein unitärer Operator lässt das unitäre Produkt invariant. Beweis: Sei Φ =  ψ und Φ = ψ Â+. Dann gilt für das unitäre Produkt: Φ Φ = ψ Â+ }{{}  ψ =1 Satz 3: Hermitesche Operatoren besitzen einen reellen Erwartungswert. Es gilt also für alle ψ H: Beweis: Hier können wir Satz 1 wie folgt benutzen:  ψ = (  ψ )  ψ = ψ  ψ = ψ Â+ ψ = ψ  ψ Satz 4: Ein hermitescher Operator  mit  = Â+ besitzt nur reelle Eigenwerte. Beweis: Für alle Eigenvektoren a mit  a = a a, folgt a  a = a a a, und aus a Â+ = a a, folgt a Â+ a = a a a. Hier ist zu bemerken, dass Messresultate i.d.r. reell sein sollten. Hermitesche Operatoren bilden also eine adäquate Repräsentation physikalischer Observabler. Hierbei liefert die Messung den Eigenwert. Satz 5: Sei  ein Operator mit  = Â+. Dann sind die Eigenvektoren a und a zu verschiedenen Eigenwerten a und a orthogonal, d.h. a a = δ a,a Beweis: Zunächst gilt: a  a = a a a a Â+ a = a a a Betrachte nun die Differenz. Aufgrund der vorigen Ergebnisse gilt dann: a  a a Â+ a = 0 = (a a ) a a. Hieraus folgt aber für a a sofort a a = 0. Bemerkungen: Zu Satz 5 sind noch einige Bemerkungen zu machen. Es gibt auch den Fall entarteter Zustände, bei dem die s Eigenvektoren zum selben Eigenwert a n korrespondieren. Es gilt dann a 1 n,..., a s n  a j n = a n a j n für j = 1,...,s. Man spricht von s-facher Entartung. Die { a j n } bilden dann einen s-dimensionalen Unterraum H an H.DasProblemistnun,dasszwardieEigenvektorenzuverschiedenenEigenwertenorthogonalsind,aber die { a j n } im allgemeinen nicht untereinander orthogonal sind. Die Lösung ergibt sich durch die Konstruktion eines neuen orthogonalen Satzes von Eigenvektoren { b j n }. Die neuen Eigenvektoren ergeben sich über eine unitäre Transformation U aus den alten Eigenvektoren. Für alle j gilt: b j n = U a j n = s c ji n a i n Die gewünschte Eigenschaft b i n b j n = δ ij legt die Transformation U fest. Ein Beispiel ist das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt. Anwendung findet dies z.b. bei den entarteten Energie-Niveaus im Wasserstoff-Atom, s. Abschnitt 5.4, oder auch im Rahmen der Störungstheorie für entartete Niveaus, s. Abschnitt 7.3.

9 3.4. QUANTENMECHANISCHE ZUSTANDSMESSUNG UND VOLLSTÄNDIGE OBSERVABLE Quantenmechanische Zustandsmessung und vollständige Observable Wir stellen uns nun die Frage, welche Größen (Observable) zu messen sind, um einen quantenmechanischen Zustand eindeutig zu bestimmen. In der klassischen Mechanik wird der Zustand von N Teilchen bestimmt durch die Gesamtheit der Koordinaten und Impulse, {q 1,p 1,...,q N,p N }. Alle weiteren Größen wie etwa Energie oder Drehimpuls sind nun Funktionen von q und p. Ihre Messung liefert keine neuen Informationen. In der Quantenmechanik wird eine Observable A beschrieben durch einen Operator Â, und der Zustand ist bestimmt durch seine Zustandsvektoren ψ H. Die Messung von A im stationären Fall ist dann bestimmt durch das Eigenwertproblem von Â, Â ai = ai ai, wobei i = 1,...,N diskret oder kontinuierlich sein kann. Die Eigenwerte a i sind die möglichen Messwerte von A, und die Eigenvektoren a i die zugehörigen Zustände des Systems nach der Messung. Definition: Eine Observable A ist vollständig oder maximal, wenn der quantenmechanische Zustand des Systems eindeutig durch die Messung von A bestimmt ist. Das heißt also, es existiert keine weitere Observable B deren gleichzeitige Messung mit A zusätzliche Informationen liefert. Die mathematische Bedeutung ist hier, dass die Eigenvektoren { a i } eine vollständige Basis in H bilden. Jeder Zustand ψ H ist dann darstellbar als Linearkombination der a i. Für hermitesche Operatoren einer vollständigen Observable lässt sich ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) konstruieren, a i a j = δ ij. Eine Normierung auf 1 ist immer möglich durch eine entsprechende Skalierung der Zustände. Beispiel: Wir betrachten ein quantenmechanisches 1-Teilchen System. Die Ortsmessung durch den Operator ˆq = {ˆq x,ˆq y,ˆq z } ist vollständig, was wir war nach den Ergebnissen für ein Kastenpotential oder den Oszillator erwarten. Die Messung liefert die Vektoren q i. ˆq q i = q i q i. Die Impuls-Messung liefert dann keine zusätzlichen Informationen. Praktisches Vorgehen: Sei nun ψ ein beliebiger Zustand des Systems und A eine vollständige Observable. Die Messung von A im Zustand ψ liefert einen möglichen Messwert, also a 1 oder a 2 oder einen anderen. Dann bilden die zugehörigen Eigenzustände, { a i }, eine Basis in H, die wir als Orthonormalbasis wählen. Die Entwicklung von ψ nach diesen Basisvektoren ist dann: ψ = i c i a i. Nun ist die Frage, wie man die Koeffizienten c i bestimmt. Dazu bilden wir das unitäre Produkt mit einem bestimmten Eigenzustand a j H: a j ψ = i c i a j a i }{{} δ ij = c j, wodurch wir die Linearkombination von ψ umschreiben können als ψ = i a i a i ψ = i ˆP i ψ. (3.11) wobei wir die Definition des Projektionsoperators auf den Zustand a i verwendet haben. Die erste Gleichung (3.11) führt uns auf eine außerordentlich nützliche Darstellung des ˆ1-Operators: ˆ1 = i a i a i (3.12) Dies ist also gleichzeitig eine kompakte Bedingung für die Vollständigkeit einer Basis.

10 84 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Zusammenfassung: Der Zustand eine quantenmechanischen Systems ist bestimmt durch eine vollständige Observable A. Die möglichen Messwerte a i sind die Eigenwerte von  (man spricht auch vom Spektrum von Â). Die möglichen Zustände a i sind die Eigenvektoren von Â. Die Bedingung für ein VONS ist: a i a j = δ ij (3.13) a i a i = ˆ1 (3.14) i Einen beliebigen Zustand erhalten wir durch Superposition der Basis-Zustände. Hierbei sind die Entwicklungskoeffizienten c i = a i ψ komplexe Zahlen. Sie bestimmen die Wahrscheinlichkeit, im Zustand ψ den Eigenwert a i zu messen: P ψ ai = c i 2 = a i ψ 2 (3.15) Wir fragen nun, wie diese Wahrscheinlichkeit experimentell bestimmt werden kann. 3.5 Der Quantenmechanische Messprozess Ziel dieses Abschnittes ist es, die Messung physikalischer Größen an einem Quantensystem im Zustand ψ genauer zu untersuchen. Dabei spielt der stochastische Charakter der Messung eine wichtige Rolle. Wie wir gerade gesehen haben, sind die möglichen Messwerte zunächst verknüpft mit dem Finden der vollständigen Observablen, A, und des zughörigen Operators, Â. Dann müssen wir das Spektrum von  bestimmen. Das heißt, wir suchen alle Eigenwerte a i und alle Eigenvektoren a i. Anschließend müssen wir die Messung von A vornehmen. Die Einzelmessung liefert hierbei ein zufälliges Resultat, bei dem einer der Eigenwerte a 1,a 2,...a k realisiert wird, d.h., das System befindet sich nach der Messung im Zustand a 1, a 2,..., a k. Ein wiederholbares Messergebnis ist daher nur der Erwartungswert. Diesen können wir durch N-fache Wiederholung und anschließende Mittelung mit N erhalten, genauso wie wir es bereits für den Doppelspalt diskutiert hatten. Durch Verwendung der eben gefundenen Eigenschschaften einer Basis, Glg. (3.14) und (3.15) erhalten wir dann gleichzeitig wichtige Informationen über quantenmechanische Operatoren. Die Berechnung des Erwartungswertes des Operators  einer vollständigen Observable, die k Eigenzustände besitzt, in einem beliebigen Zustand ψ ergibt sich dann zu 1 A ψ = lim N N = = = N j=1 a j k P ψ ai a i k a i ψ 2 a i k ψ a i a i ψ a i = ψ = ψ k a i a i a i ψ k a i ˆPi ψ }{{} = Aus der letzten Gleichung können wir zwei wichtige Eigenschaften eines quantenmechanischen Operators ablesen: Zum einen bestätigen wir die bereits verwendete Formel für den Erwartungswert. Zum anderen finden wir eine neue Darstellung die Spektraldarstellung:

11 3.5. DER QUANTENMECHANISCHE MESSPROZESS 85 Der Erwartungswert und die Spektraldarstellung des Operators  sind gegeben durch: A ψ = ψ  ψ (3.16)  = a i a i a i = a i ˆPi i i (3.17) Wir besprechen dies für den harmonischen Oszillator und wählen als Beispiel den präparierten Zustand ψ ψ(x) = i 3 2 ψ 0(x)+ 2 ψ 2(x), mit den Energien E n = ω(n+1/2). Gesucht ist nun der Mittelwert der Energie. 1. Dieser Zustand erfüllt die Normierung: 1 = da hier wieder gilt (Orthonormalität): ψ(x) 2 dx = 1 4 ψ 2 0(x)dx+ 3 4 dxψ m (x)ψ n (x) = δ mn ψ 2 2(x)dx, 2. Wir entwickeln nun den Zustand ψ nach den Basisvektoren ψ n (x). ψ(x) = ψ n ψ ψ n (x) }{{} =c n n=0 Die Koeffizienten ergeben sich also zu: c n = ψ n(x)ψ(x)dx Als Resultat erhalten wir c 0 = i 2, c 1 = 0, c 2 = 3 2 und c m = 0 für alle m Wir berechnen nun: H ψ = ψ Ĥ ψ = ψ i a i a i a i ψ = i = i a i ψ a i a i ψ a i ψ a i 2 = n ψ n ψ 2 E n = 1 4 E E 2 = 2 ω Die verwendete Darstellung des Zustandes ψ mit Hilfe von ψ(x) ist der Spezialfall der Ortsdarstellung. Die Superposition von ψ(x) ist beliebig erweiterbar. Außerdem ist die hier betrachtete Basis diskret. Nun wollen wir den Fall kontinuierlicher Zustände beschreiben. Ein Beispiel wären die Energieniveaus über dem Potentialtopf. Hier sind theoretisch alle Werte für die Energie erlaubt. Galt V min < E < V max so waren die möglichen Energiewerte diskret. Die Idee ist nun den kontinuierlichen Fall auf den Diskreten zurückzuführen. Nehmen wir also eine Observable ˆB, deren mögliche Eigenwerte b aus einem Intervall [A,B] kommen können.

12 86 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Nehmen wir nun zunächst wieder diskrete Eigenwerte b i aus diesem Intervall, die jeweils einen Abstand b zueinander haben. Abbildung 3.2: Annäherung eines kontinuierlichen Eigenwertintervalls durch eine diskrete Einteilung Bezeichnen wir also den i-ten Zustand bei der Breite b durch bb i so fordern wir, dass diese Zustände i ein VONS bilden. Also: b i b i b i b b i b = 1 b i b b j b = δ ij Wollen wir nun einen beliebigen Zustand ψ nun als Superposition dieser Basiszustände darstellen, so erweitern wir die gewohnte Projektionsdarstellung mit b und bilden dann den Grenzwert b 0: Nun definieren wir: und ebenso: ψ = lim b 0 i b i b b i b ψ b b b i b lim = b b 0 b b i b ψ lim = ψ(b) = b ψ b 0 b Der Zustand b aus einem kontinuierlichen Spektrum von Zuständen nimmt nun den Platz des diskreten Zustandes b i aus den diskreten Eigenzuständen an. Diese intuitive Definition ist mathematisch nicht ganz unproblematisch. Für diskrete Zustände können wir Operatoren durch Matrizen ausdrücken. Das Produkt zweier Operatoren ist dann das Matrixprodukt. Gedanklich tauschen wir nun die Summe der Matrixmultiplikation durch ein Integral und haben uns eine kontinuierliche Matrix vorzustellen. Hierbei ist der Begriff Matrix dann aber nicht mehr richtig. Ein weiteres Problem ist, dass b kein Vektor mehr aus dem Hilbertraum ist (seine Norm ist unendlich). Rechnerisch machen diese Aspekte aber keine Probleme. Mathematisch korrekt wird dies durch die Theorie der Distributionen beschrieben. In der kontinuierlichen Superposition drücken wir nun den Zustand ψ aus durch: ψ = B A b b ψ db = ψ(b) b db Hierbei nimmt die Vollständigkeitsrelation auch die Form eines Integrals an: ˆ1 = B A b b db Ebenso müssen natürlich zwei Zustände b und b eine Orthogonalitätsbedingung erfüllen. b b b i b b i b = lim b 0 b = lim b 0 δ bb b = δ(b b )

13 3.5. DER QUANTENMECHANISCHE MESSPROZESS 87 Im kontinuierlichen Fall wird also das Kronecker-Symbol durch eine Delta-Funktion ersetzt. Es gilt außerdem: ψ ψ = ψ b b ψ db = ψ (b)ψ(b)db Hierbei ist ψ(b) = b ψ die Darstellung des Zustanden ψ in der Basis b. Der Anfangsausdruck war der für die Norm des Zustandes ψ, die wir üblicherweise gleich 1 wählen. Das Endergebnis zeigt dann die uns bereits bekannte Normierungsbedingung der Wellenfunktion ψ(x) in der Ortsdarstellung. Allerdings ist dieser Ausdruck viel allgemeiner, da hier b eine beliebige kontinuierliche Variable ist. Eigenschaften der Delta-Funktion Wir erwähnen nun im folgenden einige Eigenschaften der Diracschen Delta-Funktion. 1. Die Delta-Funktion verknüpft zwei Funktionswerte einer Funktion ψ an den Stellen b und b miteinander: ψ(b ) = b ψ = b b b ψ db = δ(b b )ψ(b)db. 2. Ist nun ψ die 1-Funktion, so erhalten wir: δ(b b )db = Die Delta-Funktion δ(b b ) ist der Integral-Einheitsoperator. Dies lässt sich für ein vollständiges Funktionensystem umschreiben: (a) Für ein diskretes VONS, mit ˆ1 = n n n=0 ergibt sich folgende Darstellung der Delta-Funktion: δ(b b ) = b b = b n n b. n=1 (b) Für ein kontinuierliches VONS ˆ1 = y y dy ergibt sich anaolg: δ(b b ) = b b = b y y b dy = y(b)y (b)dy 4. Durch partielle Integration lässt sich leicht zeigen. x d δ(x) = δ(x) (3.18) dx 5. Die Fourierdarstellung der Delta-Funktion ist: 2πδ(x) = e ixy dy 6. Möchte man einen Faktor a aus dem Argument der Delta-Distribution herausziehen, so geschieht das gemäß: δ(ax) = 1 a δ(x).

14 88 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK 7. Die dreidimensionale Delta-Funktion (kartesische Koordinaten) ist gegeben durch: 8. Die Delta-Funktion ist achsensymmetrisch: 9. Es gilt: δ(r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ). δ(x) = δ( x). δ(x) x = Sei ϕ(x) eine stetig differenzierbare Funktion, die an den Stellen x i nur einfache Nullstellen hat. Dann gilt: δ[ϕ(x)] = i δ(x x i ) ϕ (x i ).