Der Hilbert-Raum. Kapitel Lineare, selbstadjungierte Operatoren. Ausgearbeitet von Wilfried Otto Köhler, Michael Jäger und Carl-Peter Fitting

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1 Kapitel 3 Der Hilbert-Raum Ausgearbeitet von Wilfried Otto Köhler, Michael Jäger und Carl-Peter Fitting 3.1 Lineare, selbstadjungierte Operatoren Wir benutzen in diesem Kapitel die Dirac-Notation. Eine Wellenfunktion ψ u ( r) n wird als Ket (von braket) abgekürzt. Das Integral R 3 ψ u( r)ψ m ( r)dτ n m und ψ u Lψ m dτ = n L m wird dann wie angegeben durch ein Bra n und ein Ket m gegeben. In der klassischen Physik werden Observable als Funktion der Impulse und Orte, die ihrerseits von der Zeit abhängen, L(p(t), q(t)) angegeben. Wollen wir in der Quantenmechanik eine Aussage über den Ausgang einer Messung machen, so bildet man den Erwartungswert des Operators der betreffenden Größe. Dieser Ausdruck gibt nur den Mittelwert sehr vieler Messungen wieder. Die Operatoren ˆL L def = n ˆL n dτ ψ ˆLψ n n (3.1) R ( 3 ) n bra; n ket ordnen jedem Zustand einen anderen zu. Beispiele für Operatoren: ˆL u = υ (3.2) ˆL = ; x; x ; p x = i Wir stellen nun zwei Forderungen an in der Quantenmechanik zulässige Operatoren, die wir anschließend plausibel machen wollen. Forderung 1: Die in der Quantenmechanik zulässigen Operatoren sollen linear sein. Definition eines linearen Operators: x (3.3) ˆL(C 1 u + C 2 υ ) = C 1 ˆL u + C2 ˆL υ Aus den Operatoren (3.3) ist die Wurzel daher nicht zulässig. Die Forderung nach Linearität liegt nahe aufgrund der Tatsache, dass die Operatoren in der Schrödinger-Gleichung linear sind. 41

2 Hψ = i t ψ (3.4) Hieraus ergibt sich, dass mit zwei Lösungen auch eine beliebige Superposition ebenfalls eine Lösung ist. Soll dieses Superpositions- oder Überlagerungsprinzip durch die Anwendung anderer Operatoren nicht verletzt werden, müssen sie linear sein. Forderung 2: Messwerte und damit auch deren Mittelwerte sind reelle Größen. Hieraus folgt: Spezialisiert auf den Fall eines Teilchens mit nur einer Ortskoordinate: L = u ˆL u = L = u ˆL u (3.5) u ˆL u dτ = (ˆL u )u dτ (3.6) Allgemein: u ˆLu = ˆLu u (3.7) Hieraus folgt, dass ˆL ein selbstadjungierter Operator sein muss 1. Generell lautet die Defintion eines selbstadjungierten (oder hermiteschen) Operators: oder u ˆL υ = υ ˆL u = u ˆL + υ (3.8) Beispiele: ist nicht hermitesch: x Beweis: ˆL = ˆL + ( ) + = x x ψ x Ψ = ψ = (0 0) + x Ψ dx = ψ Ψ + ( ) Ψ dx = + x ψ ( ) x ψ Ψ dx x ψ Ψ i x ist hermitesch: Beweis: ψ i x Ψ = i 1 vgl. Hirzebruch-Scharlau: Funktionalanalysis B.I, Seite 96 ψ x Ψ = i x ψ Ψ = i x ψ Ψ 42

3 (also ist auch i x hermitesch) x ist hermitesch: ψ x Ψ = + ψ xψ dx = + xψ Ψ dx = + Die Summe hermitescher Operatoren  und ˆB ist hermitesch: (xψ) Ψ dx = xψ Ψ ψ  + ˆB Ψ = dτ ψ (ÂΨ + ˆBΨ) = dτ ψ ÂΨ + dτ ψ ˆBΨ = ψ Â Ψ + ψ ˆB Ψ = Âψ Ψ + ˆBψ Ψ = ( + ˆB)ψ Ψ Im Allgemeinen ist die Hintereinanderausführung zweier hermitescher Operatoren nicht wieder hermitesch: Sei z.b. ˆL = x; ˆM = i x, dann ist für einen Zustand ψ der Messwert ˆL ˆM nicht reell: ψ ix x ψ dx = i xψ x ψ dx = ) ( Prd.-Regel ( = i ψ ψ + x x ψ ) ψ dx = ( ) i x (xψ ) ψ dx ( ) i + i x x ψ ψ dx Das liegt wesentlich an der Anwendung der Produktregel, d.h. an der Tatsache, dass ˆL ˆM = x x aber ˆM ˆL = i+ix x ist, die beiden Operatoren also nicht kommutieren. Es gilt sogar der SATZ: Hermitesche Operatoren Â, ˆB kommutieren genau dann, wenn  ˆB wieder hermitesch ist. Wir geben zwei Beweise (notwendig und hinreichend): Behauptung 1:  ˆB = ˆB  und  und ˆB hermitesch, dann ist  ˆB = ( ˆB) + hermitesch. Erster Beweis: Es ist ( ˆB) + = ˆB + Â+, denn Nun ist: Sei: Ĝ = 1 2 ψ  ˆB ψ = ψ Â+ ˆB+ ψ = Âψ ˆB + ψ = ˆBÂψ ψ = ψ ( ˆBÂ) + ψ Â+ ˆB+ = ( ˆBÂ)+  ˆB = 1 2 [ ]  ˆB + ˆB + 1 [ ]  2 ˆB ˆB ( )  ˆB + ˆB ; Û = 1 [ ]  2 ˆB ˆB Ĝ ist selbstadjungiert: 43

4 Ĝ + = 1 2 ( ) +  ˆB + ˆB = 1 ( ) ˆB 2 +  ˆB = Ĝ Analog zeigt man Û+ = Û. Da nun  ˆB ˆB = 0 ist, ist Û = 0; also  ˆB = Ĝ hermitesch. Q.E.D. Behauptung 2: Wenn  ˆB = ( ˆB) + = ˆB +  + und  und ˆB hermitesch, dann vertauscht  mit ˆB:  ˆB = ˆB Â. Zweiter Beweis:  ˆB = ( ˆB) + = ˆB +  + = ˆB  q.e.d. Der längere erste Beweis liefert ein zusätzliches Ergebnis: SATZ: Seien  und ˆB hermitesche Operatoren, dann ist ihr Kommutator [Â, ˆB] =  ˆB ˆB antihermitesch und der Operator  ˆB + ˆB hermitesch. (Zur Erinnerung: Ein Operator Ĉ heißt anithermitesch genau dann, wenn Ĉ = Ĉ+ ist.) Sei ˆL ein Quantenmechanik-Operator; wir haben in einem normierten Zustand u den Erwartungswert L = u ˆL u, der uns den Mittelwert vieler Messungen gibt. Wenn wir die Zahl der Messungen pro vorgegebenem Intervall oder pro Eigenwert (je nachdem, ob man ein kontinuierliches oder diskretes Eigenwertspektrum von ˆL hat) gegen die gemessenen Werte auftragen, so erhalten wir z.b. folgende Diagramme: N (L) N (L) L L L L Abb. 3.1: (links) für diskretes Spektrum ˆL / (rechts) für kontinuierliches Spektrum von ˆL Ziel ist es nun, aus Kenntnis des Operators ˆL und des Zustands u allein schon die Verteilungskurve ausrechnen zu können. Dazu ist der erste Schritt, ein Maß für die Unschärfe unserer Messwertvorhersage zu definieren Mittleres Schwankungsquadrat: Ein Maß für die Streuung der Messwerte um den Mittelwert ist das mittlere Schwankungsquadrat: L = u ˆL u (3.9) L 2 def = = u (ˆL L) 2 u u ˆL 2 L 2 u 0 (3.10) Die letzte Ungleichung gilt, da das mittlere Schwankungsquadrat auch wie folgt geschrieben werden kann: 44

5 L 2 def = = (ˆL L)u (ˆL L)u (ˆL L)u( r) 2 dτ (3.11) Der letzte Ausdruck muss hier natürlich entsprechend modizifiziert werden, wenn die Wellenfunktion u nicht nur von einer Ortsvariablen abhängt. Aus den Gl. (3.10) und (3.11) folgt: ˆL 2 L 2 (3.12) Ist ein Messwert scharf und verschwindet damit das mittlere Schwankungsquadrat, so folgt aus (3.11), dass der Integrand verschwinden muss: u ist dann Eigenfunktion zu ˆL und L ein Eigenwert. ˆL u = L u (3.13) Eigenwertprobleme sind in der Quantenmechanik von großer Bedeutung; wir haben einige bereits gelöst. Beim harmonischen Oszillator waren die Zustände n = ψ n (x, t) = C n H n ( λx) e 1 2 λx2 e E t Eigenzustände des Energieoperators H zum jeweiligen Eigenwert: ( ) E n = ω n Diese Zustände waren auch orthonormal zueinander; dies ist eine Erscheinung, die wir noch genauer untersuchen werden: m n = + ψ m (x, t)ψ n(x, t)dx = δ m,n = { 1 m = n 0 m n Beim freien Teilchen hatten wir für jedes reelle k einen Eigenzustand k = ψ k (x) = 1 2x e ikx des Energieoperators k2 ˆpx Ĥ k = 2m k. Gleichzeitig (wegen Ĥ = 2m ) waren es Eigenzustände des Impulses: ˆp x k = k k Bei Fällen wie dem harmonischen Oszillator, in denen nur für diskrete Werte n ein Eigenzustand existiert, spricht man von einem diskreten Spektrum. Bei den ebenen Wellen liegt dagegen ein kontinuierliches Spektrum vor. Auch diese Eigenzustände unterliegen einer Orthonormalitätsrelation, die nur eine kontinuierliche Fassung der Relation für diskrete Spektren darstellt: k k = δ(k k ) (Hier zeigt es sich, dass unsere bisherige Formulierung diesen Fall nicht adäquat behandelt: k k sollte nach unseren bisherigen Ableitungen eine komplexe Zahl sein und nicht etwa eine Distribution - speziell eine Deltafunktion - definieren. Die Relation besagt ja gerade, dass k k = ist; somit ist k nicht normierbar und fällt damit nicht in den von uns normalerweise betrachteten Bereich. Um diese Fälle einzuschließen, lassen wir wie schon früher Normierung auf Dirac sche Deltafunktionen zu.) Die oben angeführten Beispiele von Eigenwertproblemen ergeben reelle Eigenwerte. Das ist allgemeingültig: 45

6 SATZ: Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte. Beweis: Sei λ ein Eigenwert; ψ ein zugehöriger Zustand. Dann ist: ˆLψ = λ ψ; also: ψ ˆL ψ = λ ψ ψ = λ; damit ist λ ein Messwert und daher reell. (q.e.d.) SATZ: Sei ˆL ein hermitescher Operator; ψ ein Eigenzustand von ˆL zum reellen Eigenwert λ; c eine komplexe Zahl. Dann ist auch c ψ ein Eigenzustand von ˆL zum Eigenwert λ: ˆL(cψ) = c ˆL(ψ) = c λ ψ = λ(c ψ) Wenn ψ ein zweiter Eigenzustand von ˆL zum Eigenwert λ ist, so ist auch αψ + β ψ (α, β komplex) ein Eigenzustand von ˆL zum Eigenwert λ: ˆL(αψ + β ψ) = αˆl(ψ) + β ˆL( ψ) = αλψ + βλ ψ = λ(αψ + β ψ) Wir können also fragen, wie viele linear unabhängige Eigenzustände ein Operator ˆL zu einem gegebenen Eigenwert λ besitzt; diese Anzahl f heißt Entartungsgrad von λ; λ heißt dann f-fach entartet. Zu einem 1-fach entarteten Eigenwert existiert also nur ein normierter Eigenzustand. Ein 1-fach entarteter Eigenwert heißt auch nicht entartet. Wir betrachten in unseren Beweisen meist nur den Fall, dass Eigenwerte endlich oft entartet sind. Wenn ψ( ψ ψ 0) ein Eigenzustand zum Eigenwert λ ist, so ist dies auch ψ ψ ψ 1/2. Mithin werden wir unter Eigenzuständen in der Regel normierte Eigenzustände verstehen. SATZ: Sei ˆL hermitescher Operator, λ, µ verschiedene Eigenwerte von ˆL(λ µ), dann ist für jeden Eigenwert ψ zum Wert λ und jeden Eigenzustand Ψ zum Wert µ: ψ Ψ = 0 (Der Eigenraum zum Eigenwert λ steht senkrecht auf dem Eigenraum zum Eigenwert µ.) Beweis: ˆL ψ = λ ψ ; ˆL Ψ = µ Ψ Ψ ˆL ψ = Ψ ˆL(ψ) = λ Ψ ψ (3.14) ˆL + (Ψ) ψ = ˆL(Ψ) ψ = µ Ψ ψ 0 = (λ µ) Ψ ψ (λ µ 0) Ψ ψ = 0 q.e.d. SATZ: Sei ˆL ein hermitescher Operator, λ ein Eigenwert von ˆL, der f-fach entartet ist; f sei endlich, dann existieren Eigenzustände r (r = 1, 2, 3, 4,..., f) von ˆL zum Eigenwert λ, so dass r r = δ r,r ist. Beweis: Es ist zu einem komplexen f-dimensionalen linearen Vektorraum eine orthogonale Basis gesucht. Der Satz ordnet sich also als Spezialfall dem Satz unter, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum eine orthonormale Basis besitzt; aus einer beliebigen Basis kann man sie durch das Schmidt sche Orthogonalisierungsverfahren erhalten 2. Wir gehen aus von Eigenfunktionen zum Eigenwert λ, die in diesem Raum eine beliebige Basis aufspannen: λ; 1, λ; 2,... λ; f Dann benutzen wir das Schmidt sche Orthogonolasierungsverfahren und erhalten: 2 vgl. H.J. Kowalski: Lineare Algebra: Verlag Walater de Gruyter, S. 129,

7 1 = N 1 λ; 1 mit N 1 = ( λ; 1 λ, 1 ) 1/2 (> 0) (Normierungsfaktor) 2 = N 2 { λ; λ; 2 } (N 2 Normierungsfaktor) (3.15). { } r 1 r = N r λ; r υ υ λ; r (N r Normierungsfaktor) υ=1. { } f 1 f = N f λ; f υ υ λ; f υ=1 1, 2,..., f ist dann die gesuchte orthonormierte Basis, q.e.d. 2;1 1 1; λ; ;2 Abb. 3.2: Wir haben also gezeigt, dass Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten ohnehin orthogonal sind Eigenzustände zu gleichen Eigenwerten stets orthogonal gewählt werden können. Vollständigkeit eines Eigenfunktionssystems: SATZ: Die Eigenfunktionen der in der Quantenmechanik auftretenden (linearen, hermiteschen) Operatoren bilden ein vollständiges System. Der Beweis dieses Satzes soll hier nicht vorgeführt werden. Wir verweisen auf die Lehrbuch-Literatur der Funktionalanalysis. Wir möchten jedoch nochmals an die Definition der Vollständigkeit erinnern: n sei ein diskretes oder kontinuierliches (oder auch gemischtes) Eigenfunktionssystem. Eine beliebige Zustandsfunktion ψ entwickelt man in N Funktionen des Eigenfunktionssystems: ψ N = N C n n (3.16) n=1 Das Symbol bedeutet bei einem diskreten Index Summation, bei einem kontinuierlichen Index Integration über n. Im letzteren Fall gibt N das Integrationsintervall an. Die Koeffizienten C n (oder im kontinuierlichen Fall die Funktion C(n)) werden so bestimmt, dass das folgende Integral ein Minimum erreicht: M N = ψ ψ N 2 dτ = Min (3.17) (ψ N ist die orthogonale Projektion von ψ auf den von 1,... N aufgespannten Raum.) 47

8 Bei Wellenfunktionen, die von mehr als einer Ortsvariablen abhängen, muss die Integration entsprechend modifiziert werden. Das Funktionssystem n ist dann vollständig, wenn zu jedem ɛ > 0 sich ein N ɛ finden lässt, so dass, wenn nur N N ɛ gilt: M N < ɛ. In diesem Falle schreibt man: ψ = C n n n=1 m ψ = C m (3.18) ψ = n n ψ n=1 Vollständigkeitsrelation (gilt für alle vollständigen Systeme): n n = I (3.19) Diskretes Spektrum: Kontinuierliches Spektrum: n n = I n=1 U n ( r)u n ( r ) = δ( r r ) (3.20) n=1 dl L L = I dl U L ( r)u L( r ) = δ( r r ) (3.21) Die zweite Form von (3.20) und (3.21) wird z.b. durch folgende Überlegung bestätigt: ψ( r) = n n ψ n = U n ( r) dτ Un ( r )ψ( r ) n = dτ U n ( r)u n ( r )ψ( r ) (3.22) n = dτ ( r r )ψ( r ) = ψ( r ) Berechnung von Messresultaten: Wir möchten den Messwert L (ψ) und seine Verteilung im Zustand ψ bestimmen. Wir benutzen als vollständiges Orthonormalsystem die Eigenfunktion zu ˆL. ˆL n = L n n (3.23) Hierbei kann L n diskrete oder kontinuierliche Werte annehmen. ψ = n n ψ = n C n n n C n = dτun ( r) ψ( r) R 3 (3.24) 48

9 Die Normierung von ψ bestimmt auch die Normierung von C n : 1 = ψ ψ = n ψ n n ψ = n C n 2 (3.25) Der mittlere Messwert berechnet sich zu: L (ψ) = ψ ˆL ψ = n,m = Cn n m L mc m = m,n n ψ n n ˆL m m ψ C n 2 L n (3.26) Diskretes Spektrum: ˆL (ψ) = n w(n)l n (3.27) Kontinuierliches Spektrum: L (ψ) = dl ρ(l)l (3.28) Hierbei ist w(n) = C n 2 (3.29) die Wahrscheinlichkeit, den Zustand ψ im Eigenzustand n zu finden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(l) = C(L) 2 (3.30) gibt die Wahrscheinlichkeit an, ψ im Einheitsintervall bei L zu finden (ρ(l) L = Wahrscheinlichkeit, ψ in den Zuständen ψ L bis ψ L+ L zu finden). w(l n) L n Abb. 3.3: Diskretes Spektrum: n=1 w(l n) = 1 ρ(l) = n ρ(l)dl = 1 x(l n )δ(l L n ) + ρ(l) (3.31) Gemischte Gesamtheit: Die obigen Überlegungen gelten nur, wenn man einen Zustand eines Systems durch eine einzige Wellenfunktion 49

10 (L) L Abb. 3.4: Kontinuierliches Spektrum: dl ρ(l) = 1 (L) L Abb. 3.5: Diskretes und kontinuierliches Spektrum (wie beim H-Atom oder in der Kernphysik) beschreiben kann (reine Gesamtheit). Dies hieße, dass ein Teilchenstrahl aus einem Beschleuniger (Elektronen oder Protonen usw.) durch ψ(x, t) = C e i(kx ωt) (3.32) beschrieben werden kann. Doch genau wie beim Licht gilt auch nicht zwischen allen Teilchen, die beschleunigt werden, eine starre Phasenbeziehung. Die beschleunigten Teilchen werden sich in einzelne Gruppen aufteilen. In der Gruppe sind die Teilchen kohärent. Sie besitzen eine feste Phasenbeziehung im Sinne von Gl. (3.32) zwischen den verschiedenen Gruppen ist keine Interferenz möglich, sie sind inkohärent. Die kohärenten Gruppen lassen sich durch je eine Wellenfunktion ψ α mit dem relativen Gewicht P α beschreiben. Wir möchten nun den mittleren Messwert L einer Größe L berechnen. Für die reine Gesamtheit ψ α gelten die Gl. (3.26) bis (3.28): L (α) = n C (α) n 2 L n (3.33) mit: C (α) n = n ψ α Für ein diskretes Spektrum schreibt sich der mittlere Messwert der gemischten Gesamtheit: 50

11 L = n = α = α L n w(n) = L n P α w α (n) n,α P α w α (n)l n (3.34) n P α L(α) Für ein kontinuierliches Spektrum erhält man: L = dl L ρ(l) = dl L P α ρ α (L) α = P α dl L ρ α (L) (3.35) α = α P α L(α) Die Gl. (3.34) und (3.35) beinhalten das anschauliche Resultat, dass in der gemischten Gesamtheit jede reine Gesamtheit, aus der diese besteht, gemäß ihrem Gewicht P α berücksichtigt werden muss. 3.2 Gleichzeitige Messung zweier Observabler Am Beispiel des freien Wellenpaketes haben wir im 2. Kapitel gesehen, dass Ort und Impuls in diesem Beispiel gleichzeitig nicht beliebig genau gemessen werden können. Es gilt zwischen Ihnen die Unschärferelation: ( p) ( x) (3.36) Hierbei wurde die Orts- und die Impulsunschärfe, x und p, als die halbe Breite der Gauß schen Glockkurve beim 1/e-Abfall definiert. Die Unschärferelation (3.36) hängt damit zusammen, dass Ort und Impuls nicht vertauschen. [x, p x ] x i x i x = i 0 (3.37) x Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, dass zwei Observable gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, wenn ihre Operatoren vertauschen, und dass sonst eine Unschärferelation für die Messwerte der beiden Operatoren (siehe z.b. (3.36)) gilt. Hierzu beweisen wir erst den folgenden Satz: SATZ: Notwendig und hinreichend, dass die Observablen zweier Operatoren gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können (beide gute Quantenzahlen sind), ist ihre Vertauschbarkeit. [ ] ˆL, ˆM = 0 (3.38) Es gibt ein vollständiges System n von Eigenvektoren von ˆL mit: ˆL n = L n n ˆM n = M n n } (3.39) Der obige Satz besagt, dass aus (3.38) die Gl. (3.39) folgt und umgekehrt. Wir zeigen zuerst, dass aus der Voraussetzung Gl. (3.39) die Behauptung Gl. (3.38) folgt. Beweis: 51

12 ( ˆL ˆM ( ) ˆM ˆL n = M n L n n + ( ˆL ˆM n = ) L n M n n ) ˆM ˆL n = 0 Da n ein vollständiges System bildet, gilt stets: ˆL ˆM ˆM ˆL [ ] ˆL, ˆM = 0 q.e.d. Wir zeigen nun, dass aus der Voraussetzung Gl. (3.38) die Behauptung Gl. (3.39) folgt. Beweis: ˆL n = L n n ˆL ˆM n = ˆM ˆL n = L n ˆM n (3.40) Hieraus folgt, dass ˆM n eine Eigenfunktion von ˆL zum Eigenwert L n ist. Für den Fall, dass L n nicht entartet ist, muss ˆM n proportional n sein: ˆM n = M n n q.e.d. Im Falle der f-fachen Entartung (f wird hier endlich angenommen. Die Struktur des Beweises ändert sich bei unendlicher Erwartung jedoch nicht.) des Eigenwertes L n mit den Eigenfunktionen n, k (k = 1,...,f) gilt wegen (3.40): ˆL n, k = L n n, k Die allgemeine Vollständigkeitsrelation ˆM n, k = f n, i n, i ˆM n, k i=1 n, k n, k = I (3.41) n,k reduziert sich auf die Summe über die entarteten Eigenfunktionen von ˆL zum Eigenwert L n, weil ˆM n, k Eigenfunktion zu ˆL mit dem Eigenwert L n sein muss. Um auch gleichzeitig ein Eigensystem zu ˆM zu erhalten, transformieren wir im Raum der entarteten Funktionen unitär: n, α = k n, k nk, nα Unitarität { α nk nα nα ni = δ i,k k nα nk nk nβ = δ α,β (3.42) Die unitäre Transformation soll so gewählt werden, dass die neuen Funktionen auch Eigenfunktionen zu ˆM sind: ˆM n, α = M nα n, α (3.43) 52

13 Multipliziert man von links mit n, k und benutzt man (3.42), so erhält man: { f } n, k i ˆM n, M nα δ k,i ni nα = 0 (3.44) i Dies ist ein f-dimensionales Eigenwertproblem, um die Eigenwerte M nα und die Eigenvektoren ni nα, die die Transformation (3.42) bilden, zu finden. Nach Lösung von (3.44) hat man auch für entartete Zustände unter der Voraussetzung der Vertauschbarkeit von ˆM und ˆL ein gemeinsames Eigenfunktionssystem n, α konstruiert. Die Messwerte sind gleichzeitig scharf. (q.e.d.) Unschärferelation: Wir wollen nun untersuchen, was passiert, wenn die Operatoren nicht kommutieren. [L, M] = i Ĉ; Ĉ 0 (3.45) Der Faktor i (imaginäre Einheit) wurd eingeführt, damit auch Ĉ mit ˆL und ˆM hermitesch ist (Voraussetzung: ˆL = ˆL + ; ˆM = ˆM+ ). ( i Ĉ) + = [ ] + ˆL, ˆM i Ĉ+ = ˆM ˆL ˆL ˆM = i Ĉ (3.46) Ĉ + = C Der Faktor (Planck sches Wirkungsquantum dividiert durch 2π) wurde eingeführt, um zu betonen, dass im klassischen Grenzfall ( 0) die beiden Operatoren kommutieren. Als Maß für die Abweichung der Messungen vom Mittelwert L = ψ ˆL ψ = ˆL (3.47) führen wir die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung ein (siehe G. (3.10)). L M def = def = [ ˆL2 ] 1 1 L = (ˆL L) [ ˆM2 M 2 ] 1 2 = ( ˆM M) (3.48) Zur Vereinfachung der Formeln führen wir den Operator für die Differenz zum Mittelwert ein L def ˆL L M def ˆM M (3.49) Da jeder lineare Operator mit einer Konstanten (hier: L und M) vertauscht, gilt: [ ] L, M = i Ĉ (3.50) Wir benutzen nun die Schwarz sche Ungleichung, die in jedem linearen Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt gilt. Dass der Hilbert-Raum diese Bedingungen mit dem Skalarprodukt m n (3.51) 53

14 und der Norm [ ] 1 2 m m (3.52) erfüllt, wird im nächsten Abschnitt gezeigt. Die Schwarz sche Ungleichung im drei-dimensionalen Raum R 3 [ ( r1 )( ) ] 1 2 r 1 r 2 r 1 r2 r 2 (3.53) drückt nur die triviale Tatsache aus, dass der Cosinus eines reellen Winkels stets kleiner oder gleich eins ist. Wir machen nun in der Schwarz schen Ungleichung (3.53) die folgenden Ersetzungen: Damit ergibt Gl. (3.53) quadriert: r 1 L n r 2 M n M n 2 n L n L 2 n n M 2 n = ( L) 2 ( M) 2 (3.54) Für das letzte Gleichheitszeichen wurden die Gl. (3.48) und (3.49) benutzt. Die linke Seite von (3.54) trennen wir in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil. n L M n = 1 n L M + M L n + 1 n L M M L n 2 2 (3.55) Benutzt man den Kommutator (3.45) und setzt man (3.55) an Stelle der linken Seite der Schwarz schen Ungleichung (3.54) ein, so erhält man: 1 4 n L M + M L n n Ĉ n ( L) 2 ( M) 2 (3.56) Hierbei wurde benutzt, dass sowohl L M + M L als auch Ĉ (Gl. (3.46)) hermitesch ( L) + L M + M = M + L+ + L + M+ = L M + M L und damit die entsprechenden Erwartungswerte reell sind. Vernachlässigt man den ersten Term in Ungleichung (3.56), so gilt sie a fortiori. Unschärferelation (von Heisenberg): Für Ort und Impuls ergibt sich hieraus als Spezialfall: L M 2 n Ĉ n (3.57) [x, p x ] = i ; Ĉ 1 p x 2 Hierbei sind jetzt im Gegensatz zu Gl. (3.36) die Unschärfen als Wurzeln aus der mittleren quadratischen Abweichung definiert. 54

15 x def (x ˆx ) 2 p x def (ˆpx ˆp x ) 2 Das Gleichheitszeichen in der Unschärferelation kann nur gelten, wenn das Gleichheitszeichen in der Schwarz schen Ungleichung (3.54) gilt und L M + M L verschwindet. Das Gleichheitszeichen in der Schwarz schen Ungleichung gilt, wenn die beiden Zustandsvektoren L n und M n kollinear sind. Hieraus folgt L n = C M n n L M + M L n = (C + C) n ˆM 2 n = 0 Die komplexe Konstante Ĉ muss rein imaginär sein. Das Gleichheitszeichen in der Heisenberg schen Unschärferelation gilt nur, wenn mit γ = reell gilt. ( ) ( ) ˆL L n = iγ ˆM M n FOLGERUNG: Zur Charakterisierung eines quantenmechanischen Systems beschaffe man sich den maximalen Satz vertauschbarer Operatoren. Das System kann dann durch die Eigenwerte (Quantenzahlen) dieser Operatoren beschrieben werden. Dies sind die gleichzeitig beliebig genau messbaren Observablen. 3.3 Der Hilbert-Raum Im Kapitel 3.1 wurden lineare Operatoren definiert und ihre Eigenfunktionen untersucht. Wir haben dabei gesehen, dass in der Physik nur eine spezielle Klasse von linearen Operatoren von Bedeutung ist, nämlich die hermiteschen Operatoren; nur diese ergeben reelle Erwartungswerte. Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren haben einige wichtige Eigenschaften: a) Alle Eigenfunktionen können orthogonal und normiert gewählt werden. Für diskrete Eigenwerte gilt: λ µ = δ µλ b) Die Eigenfunktionen bilden ein vollständiges System: u µ = 1 µ Aufgrund der Vollständigkeit können wir die Eigenfunktion ψ eines hermiteschen Operators nach einem vollständigen System entwickeln: ψ = µ µ µ ψ = µ C µ wobei C µ im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist. Speziell von dieser Entwicklung sieht man eine starke Analogie zum dreidimensionalen Vektorraum. Wir können einen beliebigen Vektor A im Ortsraum darstellen durch seine drei Komponenten in x, y, z-richtung: 55

16 3 A = A x e x + A y e y + A z e z = A i e i Dabei bilden die drei Einheitsvektoren eine vollständige, orthogonale Basis: i=1 e i e j = δ ij Das dyadische Produkt i i der Einheitsvektoren ist: 1 0 (1 0 0) = (0 1 0) = (0 0 1) = Für die Summe ergibt sich die Einheitsmatrix i i = 1 Diese Analogie zum dreidimensionalen Raum ist nun tatsächlich vollständig vorhanden, anstelle des reellen Raumes hat man das Konzept des Vektorraumes ins Komplexe hin zu verallgemeinert und gelant somit zum unitänre Raum U n, falls unser hermitescher Operator gerade n Eigenfunktionen besitzt. Im Allgemeinen werden wir unendlich viele Lösungen haben, z.b. beim harmonischen Oszillator, und gelangen so in einen komplexen Raum mit unendlich vielen Dimensionen. Dieser Raum wurd von David Hilbert ( ) untersucht; man nennt ihn deshalb Hilbert-Raum. Die mathematische Bedeutung liegt darin, dass man die Quantentheorie in gewissem Sinne anschaulich in diesem Vektorraum darstellen kann. Im Folgenden sollen nun die wichtigsten Eigenschaften des Hilbert-Raumes zusammengestellt werden und einige Beispiele für Hilbert-Räume besprochen werden. Ein Hilbert-Raum ist durch folgende vier Axiome definiert: i=1 I. H ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen, d.h. die Vektoren des unitären Raumes sollen die aus der gewöhnlichen Vektorrechnung bekannten Gesetze erfüllen. a) f, g H α f + β g H b) f + g = g + f (Kommutativität) c) f + ( g + h ) = ( f + g ) + h (Assoziativität) d) C( f + g ) = C f + C g (Distributivgesetz) e) Zu jedem f existiert ein Inverses ( f ), so dass gilt: f + ( f ) = 0 f) Es gilt für 1 CI (komplex) 1 f = f II. In H ist ein Skalarprodukt f g definiert: Dabei ist f der duale Vektor von f. Falls f = λ 1 n 1 + λ 2 n gilt für den dualen Vektor f = n 1 λ 1 + n 2 λ Im Gegensatz zum gewöhnlichen Vektorraum ist hier die Reihenfolge wesentlich: f g = a, wobei a eine komplexe Zahl ist. a) g f = a = f g b) f g + h = f g + f h (Distributivgesetz) 56

17 c) f αg = α f g ( d) fα g = g αf ) = (α g f ) = α f g e) f f 0 (für alle f H; wegen a) ist f f reell) f) f f = 0 (nur für das 0-Element) Alle diese Bedingungen werden von den Eigenfunktionen eines linearen hermiteschen Operators in der Ortsdarstellung erfüllt: f g def = g f = f ( r)g ( r)d r R 3 ( g ( r)f ( r)d r = g ( r)f ( r)d r R 3 R 3 ) Wegen der Forderung e) können wir eine Länge oder Norm eines Vektors f definieren: f def = f f Norm (3.58) Wir wollen zeigen, dass diese Definition der Norm auch sinnvoll ist. Dazu betrachten wir den Abstand zweier Vektoren f und g der gerade als die Norm f g definiert ist. Für den Abstand und damit die Norm gilt die Dreiecksungleichung: f g f + g (3.59) Zum Beweis, dass unsere Definition der Norm die Dreiecksungleichung erfüllt, benötigen wir die Schwarz sche Ungleichung: Beweis: (Schwarz sche Ungleichung) g f f g (3.60) Diese Beziehung ist trivial für das normale Skalarprodukt. Für diesen verallgemeinerten Fall zerlegen wir f in zwei zueinander senkrechte Anteile: f = h + g g f g 2 (3.61) Wenn wir Gl. (3.61) mit g durchmultiplizieren, sehen wir, dass h senkrecht auf g steht. Wir multiplizieren Gl. (3.61) mit f und erhalten g f = g h + g g g f g h = 0 g 2 Aus Gl. (3.61) folgt mit g h = h g = 0: f f = f 2 = f h + f g 2 g 2 (3.62) 57

18 f h = h f 0 (3.63) und die Kombination von Gl. (3.62) und Gl. (3.63) ergibt gerade Gl. (3.60): f g f g (q.e.d.) (3.64) Damit sind wir in der Lage, die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für unsere Definition der Norm zu beweisen: Wegen f g 2 = f g f g = f f + g g f g g f (3.65) f g + g f = f g + f g = 2Re f g (3.66) (da der Realteil einer komplexen Größe kleiner gleich ihrem Betrag ist) gilt zusammen mit der Schwarz schen Ungleichung: 2Re f g 2 f g 2 f g (3.67) Aus den Gl. (3.65) und (3.67) folgt sogleich die Ungleichung: f g 2 ( f + g ) 2 (3.68) Diese Beziehung ist nach dem Wurzelziehen identisch mit der Dreiecksungleichung. q.e.d. Das dritte Axiom des Hilbert-Raumes lautet: III. H ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert gegen einen Vektor (Element) aus H. Eine Cauchy- Folge f n ist eine Folge, die das Cauchy Kriterium erfüllt: Zu jedem ɛ > 0 lässt sich eine ganze Zahl N(ɛ) finden; so dass und alle positiven ganzzahligen Werte p gelten. f n+p f n < ɛ für alle n > N(ɛ) IV. H ist von abzählbar unendlicher Dimension Abzählbar unendlich bedeutet, dass man die unabhängigen Vektoren aus H mit Hilfe der natürlichen Zahlen numerieren kann und diese Vektoren im Raum U darstellt, z.b. harmonischer Oszillator. Die Eigenfuntkionen zum Drehimpuls L 2 = l(l + 1) sind ein Beispiel für einen endlich-dimensionalen Hilbert- Raum U 2L+1. Kontinuierliche Eigenfunktionen spannen keinen Hilbert-Raum auf, da sie nicht normierbar sind, z.b. ebene Wellen e i k r. Überlagerungen von kontinuierlichen Eigenfunktionen ξ bilden im Allgemeinen dagegen einen Hilbert-Raum (z.b. Wellenpakete): w = N ξ2 ξ 1 λ(ξ) ξ dξ 58

19 Beispiele für Hilbert-Räume: H 1 : Menge aller Spaltenvektoren mit endlicher Norm. a = a 1 a 2 Ein Element aus H 1 ist ein unendlich langer Spaltenvektor, wobei im Allgemeinen die a i komplexe Zahlen sind. Zusätzlich gilt:. a υ a υ < υ=1 Wir zeigen nun, dass die Axiome des Hilbert-Raumes erfüllt sind: I. Die Vektoren spannen einen linearen Raum auf: z.b.: a + b = a 1 a 2.. II. Es muss ein Skalarprodukt definiert sein: + b 1 b 2.. = a 1 + b 1 a 2 + b 2.. = b + a a b = a υ b υ υ=1 Beweis für die Endlichkeit des Skalarproduktes: Es gilt: Daraus folgt: und wegen ( a υ b υ ) 2 = a υ 2 + b υ 2 2 a υ b υ 0 υ=1 υ=1 a υ b υ 1 ( a υ 2 + b υ 2 ) < 2 υ=1 a υb υ a υ b υ < υ=1 υ=1 υ ist die Existenz des Skalarproduktes bewiesen. III. Die Vollständigkeit ist gewährleistet, da jede Cauchy-Reihe komplexer Zahlen wieder gegen eine komplexe Zahl konvergiert. IV. Durch Definition ist der Raum von abzählbar unendlicher Dimension. Ein weiteres Beispiel für einen Hilbert-Raum ist der Raum aller quadratintegrablen Funktionen. ( R 3 f( r) 2 dτ ) 3.4 Projektionsoperatoren Bei konkreten Problemen ist es im Allgemeinen nicht möglich, den gesamten Hilbert-Raum in die Rechnung mit einzubeziehen. In der Kernphysik hat man sich z.b. in vielen Fällen auf einige wenige gebundene Zustände zu beschränken, da sonst die Rechnungen nicht mehr numerisch durchführbar sind. In solchen Fällen spaltet man den Hilbert-Raum in zwei Teilräume auf: 59

20 Handlicher Teil Abb. 3.6: H = U + Ū wobei Ū der zu U komplementäre Raum ist. Jeder Vektor g besitzt nun eine Projektion g u in U und gū in Ū: g = g u + gū Im dreidimensionalen Raum können wir den Vektor A in die Komponenten A z und A xy zerlegt denken. z A A z y A xy x Abb. 3.7: Die Projektion im Hilbert-Raum kann durch einen Operator durchgeführt werden, der wie folgt definiert ist: Wir nennen P u einen Projektionsoperator. P u g def = g u (3.69) Eigenschaften von P u a) P u ist hermitesch, d.h. P + u = p U. Beweis: f P u g = f g u = f u g u = f u g = P u f g b) P u ist eine Observable mit höchstens den Eigenwerten 0 und 1. Beweis: Eine Basis in U sei { u } u = 1, 2...N. Eine Basis für H sei { n } = { u } + { r } 60

21 wobei { r } den zu { u } komplementären Raum aufspannt. Ein Vektor g aus H kann entwickelt werden: N g = a u u + a r r u=1 r=n+1 Der Vektor g ist nur Eigenfunktion zu P u, wenn gilt: a) g U P u g = 1 g b) g Ū P u g = (P P 2 ) g = 0 g Damit sind die beiden möglichen Eigenwerte 0 oder 1. q.e.d Die explizite Form von P u lautet: P u = Daraus folgt sogleich der Satz: Pu 2 = P u. Beweis: N u u u=1 P u g = u a u u P 2 u g = P u ( u ) a u u = u a u u SATZ: Jeder lineare hermitesche Operator mit P 2 = P ist ein Projektionsoperator. Der Unterraum, auf den er projiziert, ist der Raum seiner Eigenfunktionen mit dem Eigenwert 1. Beweis: Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind gegeben durch: Wegen P 2 = P gilt (P 2 P) p = 0 = (p 2 p) p. P p = p p P 2 p = p 2 p Damit ergbibt sich für die Eigenwerte p = { 1 0. Die Eigenfunktionen zu diesen beiden Eigenwerten lauten: a) zu p = 1: b) zu p = 0: P g denn P(P g ) = P 2 g = 1 (P g ) (1 P) g denn P(1 P) p = 0 = (p 2 p) p 61

22 Jeder beliebige Vektor f kann nach den Eigenfunktionen von P entwickelt werden: f = P f + (1 P) f Die beiden Eigenfunktionen zu P sind orthogonal aufeinander: ( ) ( f P) (1 P) f = f (P P 2 ) f = 0 Damit wurde gezeigt, dass P und (1 P) auf zwei orthogonale Unterräume projizieren, deren Summe gerade H ist. Der Eigenwert von P f für den Operator P ist gleich 1. Somit sind alle Operatoren mit der Eigenschaft P 2 = P Projektionsoperatoren. 3.5 Bewegungsgleichung für Hilbert-Raum-Vektoren Schrödinger- und Heisenberg-Bild Wir fragen nach der Bewegungsgleichung für Hilbert-Raum-Vektoren. Zur Zeit t 0 wird der Zustand des Systems beschrieben durch einen Vektor n, t 0, wobei gelten soll (ˆL L n ) n, t 0 = 0 (3.70) d.h. n, t 0 ist Eigenvektor zu ˆL. Den Zustand, der sich zum Zeitpunkt t > t 0 daraus entwickelt hat, nennen wir n, t 0 ; t ; dieser Zustand ist im Allgemeinen nicht mehr Eigenzustand zu ˆL: (ˆL L n ) n t 0 ; t 0 (3.71) Wegen der Interpretation als Wahrscheinlichkeit muss aber die Norm erhalten bleiben: nt 0 nt 0 = n, t 0 ; t n, t 0 ; t = 1 (3.72) Die zeitliche Entwicklung kann aber durch Anwendung eines Operators zeitliche Entwicklung beschrieben werden: n, t 0 ; t = U(t, t 0 ) n, t 0 (3.73) Wegen Gl. (3.72) muss U ein unitärer Operator sein. Weitere Eigenschaften von U sind: und U(t 0, t 0 ) n, t 0 = n, t 0 ; U(t 0, t 0 ) = 1 (3.74) U(t, t 0 ) = U(t, t )U(t, t 0 ) Eine infinitesimale Änderung in der Zeit wird beschrieben durch Aufgrund der Unitarität folgt U(t 0 + dt, t 0 ) = U(t 0, t 0 ) + δu(t) = 1 + δu(t) (3.75) U + U = 1 = 1 + δu(t) + δu + (t) (3.76) 62

23 δu + (t) = δu(t) (3.77) Operatoren, die die Eigenschaft von Gl. (3.77) haben, nennt man antihermitesch. Ein antihermitescher Operator ergibt sich aus einem hermiteschen durch Multiplikation mit i. Daher machen wir für δu(t) den folgenden Ansatz: δu(t) = i (Wir benötigen, um δu dimensionslos zu machen.) Herleitung der Bewegungsgleichung für (t, t 0 ): H(t)dt (3.78) Wegen Gl. (3.75) und Gl. (3.78) ergibt sich U(t + t, t 0 ) U(t, t 0 ) lim t 0 t U(t + t, t)u(t, t 0 ) U(t, t 0 ) = lim t 0 = U(t, t 0) t t (3.79) i U(t, t 0) t Hieraus folgt durch Multiplikation mit n, t 0 : = H(t)U(t, t 0 ) (3.80) i t U (t, t 0) n, t 0 = U(t)U(t, t 0 ) n, t 0 (3.81) Mit Gl. (3.73) ergibt sich die gesuchte Bewegungsgleichung für den Hilbert-Raum-Vektor n, t 0 : Dies ist die abstrakte Formulierung der Schrödinger-Gleichung. i t n, t 0; t = H(t) n, t 0 ; t (3.82) Für den Fall, dass H nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man die Gl. (3.80) lösen. Die Lösung lautet: du(t, t 0 ) U(t, t 0 ) = i H dt (3.83) U(t, t 0 ) = e i H(t t0) (3.84) Für den Zustandsvektor ergibt sich dann Falls n, t 0 Eigenfunktionen zu H sind, reduziert sich dieser Ausdruck zu: n, t 0 ; t = e i H(t t0) n, t 0 (3.85) Der Erwartungswert eines Operators A ist gegeben durch n, t 0 ; t = e i En(t t0) n, t 0 (3.86) n, t 0 ; t A n, t 0 ; t (3.87) Dabei verändern sich die Vektoren gemäß der soeben hergeleiteten Bewegungsgleichung, während die Operatoren, abgesehen von einer eventuellen expliziten Zeitabhängigkeit, sich zeitlich nicht verändern. Diese Art der Darstellung: zeitlich veränderliche Vektoren und zeitlich konstante Operatoren, bezeichnet man als 63

24 3.5.2 Schrödinger-Bild Wir können die Zeitabhängigkeit der Vektoren aber auch auf die Operatoren rüberwälzen: n, t 0 U + (t, t 0 )AU(t, t 0 ) n, t 0 (3.88) indem wir zeitabhängige Heisenberg-Operatoren definieren. Wir unterscheiden die Operatoren hier durch den Index H bzw. S. A H (t, t 0 ) = U + (t, t 0 )A S U(t, t 0 ) (3.89) Jetzt sind die Vektoren zeitlich konstant und die Operatoren verändern sich gemäß der folgenden Gleichung: A H = U + AU + U + A U (3.90) Dabei haben wir angenommen, dass A nicht noch explizit von der Zeit abhängt. Mit Gl. (3.80) folgt dann: i da H(t, t 0 ) dt = [ ] A H (t, t 0 ), H H (t) (3.91) Diese Form der Darstellung nennt man Heisenberg-Bild. Der Vollständigkeit wegen sei noch erwähnt, dass man auch eine gemischte Darstellung wählen kann, das sog. Wechselwirkungsbild. Die Wahl der Darstellung hängt immer von dem speziellen Problem ab und ist eine reine Frage der Zweckmäßigkeit. Zum Abschluss soll der Zusammenhang zwischen der abstrakten Formulierung und der Wellenmechanik hergestellt werden. Wir bilden das Skalarprodukt des Vektor n, t mit dem Bra r : ψ n ( r, t) = r n, t (3.92) Die bekannte Wellenfunktion ist die Ortsdarstellung des Hilbert-Raum-Vektors n, t. Wir multiplizieren Gl. (3.80) von links mit r durch i t r n, t = r H(t) n, t = d r r H r r n, t (3.93) Die Matrixelemente H r, r sind aber bekannt: r H r = 2 2m δ( r r ) 2 r 2 + V r, r ) (3.94) Wenn V nur von einer Koordinate abhängt, dann nennen wir es lokal, d.h. V ( r, r ) = V ( r)δ ( r r ) und wir erhalten die uns bekannte Schrödinger sche Wellengleichung: i ψ( r, t = H ( r, t)ψ ( r, t) (3.95) t 3.6 Zeitliche Änderung mechanischer Größen Es wird hier die Änderung des Erwartungswertes eines Operators L mit der Zeit untersucht und wir werden dabei die Form des Operators ˆL (= totale zeitliche Änderung der Observablen ˆL) herleiten. Es geht also i.f. nicht um die Ableitung einer Bewegungsgleichung wie etwa für die zeitabhängigen Heisenberg-Operatoren im letzten Paragraphen, sondern lediglich darum: Welche Form besitzt der Operator ˆL, der die zeitliche Änderung der mechanischen Größe L beschreibt; bzw. wie kann ich L ausrechnen? Situtation beim Versuch (Zustand werde durch ψ(t) beschrieben) 64

25 1. Wir messen die Größe L zum Zeitpunkt t und erhalten als Resultate Eigenwerte von ˆL. Der Mittelwert (bei vielen gleichzeitig durchgeführten Messungen = Erwartungswert) wird dann sein L(t) = ψ(t) ˆL ψ(t). 2. Bei t = t + t erhalten wir dieselben Messwerte (falls ˆL nicht explizit von der Zeit abhängt). Aber die Wahrscheinlichkeit (= relative Häufigkeit bei vielen gleichzeitig durchgeführten Messungen), den Eigenwert L n zu messen, ist im Allgemeinen wegen der Zeitabhängigkeit von ψ(t) verschieden von der in 1), und damit ändert sich auch der Mittelwert im Laufe der Zeit. 3. Falls L explizit von t abhängt, ändern sich auch die Eigenwerte L 1, L 2,... von ˆL. Die Änderung des Mittelwertes ist gegeben durch und wir erhalten: d dt ( L) = lim t 0 L(t + t) L(t) t d dt L = = d dt = 1 i ψ ˆL ψ = 1 i Ĥψ ˆL ψ ψ Ĥ ˆL ψ + ψ ˆL t ψ t ψ ˆL ψ + ψ t ˆL ψ + + ψ t ˆL ψ + ψ ˆL 1 i Ĥψ (Schrödinger-Gleichung) ψ t ˆL ψ + 1 ψ ˆLĤ ψ i Also gilt: d L dt = ˆL t + [ˆL, Ĥ] 1 i (3.96) Die zeitliche Änderung des Erwartungswertes d L dt ist der Erwartungswert des Operators ˆL setzen deshalb: t + 1 i [ˆL, Ĥ]. Wir dˆl dt = ˆL t + 1 [ ] ˆL, Ĥ i (3.97) Das ist nicht die zeitliche Differentiation des Operators ˆL, sondern es ist die Observable zeitliche Veränderung von L Konstante der Bewegung L hängt nicht explizit von der Zeit ab. Dann vereinfachen sich (3.96) und (3.97) zu: d L dt = 1 i [ˆL, Ĥ] bzw. dˆl dt = 1 [ ] ˆL, Ĥ i (3.98) Der Erwartungswert L ändert sich somit nicht; d.h. L ist eine Konstante der Bewegung, falls ˆL mit Ĥ kommutiert. Wir wollen zeigen, dass dann nicht nur der Erwartungswert L konstant ist, sondern auch w n, die Wahrscheinlichkeit, den Wert L n zu messen. Sei also [ˆL, Ĥ] = 0. Dann gibt es ein gemeinsames System { n } von Eigenvektoren zu ˆL und Ĥ ˆL n = L n n bzw. Ĥ n = E n n Insbesondere sind die n also stationäre Zustände, und mit der Schrödinger-Gleichung folgt: 65

26 n; t = n e ien t Wir entwickeln nach dem System { n }: ψ(t) = n = n ( ) ( ) c n (t) n = U(t) ψ(0) = U(t) c n (0) n c n (0)U(t)( n ) = n n c n (0) n; t = n c n (0)e ien t n Also folgt: c n (t) = n ψ(t) = c n (0)e ien t und somit: w n (t) = c n (t) 2 = c n (0) 2 = konstant! (q.e.d.) Beachte bei dem Beweis, dass L als nicht explizit zeitabhängig vorausgesetzt wurde und somit die n s für alle Zeiten Eigenvektoren zu ˆL mit Eigenwert L n sein müssen. Für kontinuierliche Eigenwerte folgt natürlich ganz genauso wie w(l)(t)dl = C(L) e ie t 2 ist zeitunabhängig. Beispiele: 1. Ĥ = ṗ2 2m freies Teilchen Der Impuls ist eine Konstante der Bewegung, denn [ ] ṗ x, Ĥ = d [ ] dt ṗx = ˆp y, Ĥ = d [ ] dt ṗy = ˆp z, Ĥ = d dt ṗz = 0 Die ebenen Wellen bilden ein gemeinsames System ψ k (r, t) = 1 (2π) 3 2 e i( k r ωt) Für diesen Eigenzustand gilt natürlich p = k. 2. Ĥ = ˆL konservatives System (Energie hängt nicht explizit von der Zeit ab) Die Energie ist eine Konstante der Bewegung, denn dĥ dt = Ĥ t + 1 [ ] Ĥ, Ĥ = 0 i 66

27 3.7 Der lineare harmonische Oszillator Wir wollen in diesem Abschnitt am Beispiel des linearen harmonischen Oszillators zeigen, wie man Probleme der Quantenmechanik im abstrakten Hilbert-Raum lösen kann. Die Energie ist gegeben durch Ĥ = ṗ2 2m + m 2 ω2ˆx 2, wobei die Operatoren ˆx, ˆp die Vertauschungsrelation [ˆx, ˆp] = i erfüllen. Wir definieren den dimensionslosen, nichthermiteschen Operator b = (mit adj. Op.) b + = ( ) 1 mω i ˆx + ˆp 2 mω ( ) 1 mω i ˆx ˆp 2 mω Dann gilt, wie man sofort ausrechnet: [b, b + ] = 1 (3.99) sowie ˆx = 2mω (b + b+ ) ˆp = 1 mω (b b + ) i 2 Also kann ich auch Ḣ durch b und b+ ausdrücken: ( ) Ḣ = ω b + b Aufgabe ist die Berechnung der Eigenwerte von H bzw. von b + b = û. Dazu berechnen wir zunächst einige Kommutatoren. Hierzu benutzten wir die vollständige Induktion: [b n, û] = b n b + b b + bb n = nb n (3.100) Ferner erhält man: [b, û] = 1 b; [b 2, û] = 2b 2 und: [Â ˆB, Ĉ] = Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB [ ] (b + ) n, û = n(b + ) n (für alle natürlichen Zahlen n) Berechnung der Eigenwerte von b + b: Zu dem hermiteschen Operator û = b + b existiert ein reeller Eigenwert n 0. Sei n 0 ein normierter Eigenvektor zu n 0 : û n 0. Dann folgt aus Gl. (3.100): û(b n n 0 ) = b n û n 0 ]b n, û] n 0 b n n 0 ist Eigenvektor zu (n 0 n) mit dem Normquadrat: = b n n 0 n 0 nb n n 0 = (n 0 n)(b n n 0 ) 67

28 b n n 0 2 = n 0 (b + ) n b n n 0 = n 0 (b + ) n 1 ûb n 1 n 0 = n 0 (b + ) n 1 b n 1 û (b + ) n 1 [b n 1, û] n 0 = n 0 (b + ) n 1 b n 1 n 0 n 0 n 0 (b + ) n 1 (n 1)b n 1 n 0 ( ) = n 0 (n 1) n 0 (b + ) n 1 b n 1 n 0 ( )( ) = n 0 (n 1) n 0 (n 2) n 0 (b + ) n 2 b n 2 n 0 ( )( ) = = n 0 (n 1) n 0 (n 2)... (n 0 1)n 0 Da diese Zahl 0 sein muss, muss also der Eigenwert n 0 eine ganze Zahl 0 sein! Außerdem ist b n0 n 0 ein Eigenvektor von û zum Eigenwert 0 (mit Norm größer 0). Sei also ohne Beschränkung der Allgemeinheit n 0 = 0; d.h. wir gehen im Folgenden aus von einem Eigenvektor von û (normiert) zum Eigenwert 0: û 0 = 0 0 und = b 0 = 0 Nun rechnet man mit b + und (3.7) genau wie oben mit b und (3.100) und erhält: ( ) û (b + ) n 0 [ ] = (b + ) n û 0 (b + ) n, û 0 ( ) = (b + ) n n(b + ) n 0 = n (b + ) n 0 (b + ) n 0 ist Eigenvektor von û zum Eigenwert n mit Normquadrat: (b + ) n 0 2 = 0 b n (b + ) n 0 = 0 b n 1 bb + (b + ) n 1 0 = 0 b n 1 (û + 1)(b + ) n 1 0 = = n! Ergebnis: Die Eigenwerte des Operators û = b + b sind gerade die ganzen Zahlen n 0 und für die zugehörigen Eigenvektoren n gilt: n = 1 n! (b + ) n 0 Die Vektoren n spannen nun unseren Hilbert-Raum auf; und für die Operatoren b und b + auf diesem Hilbert- Raum gilt: b + n = 1 1 n1 (b + ) n+1 0 = n + 1 n + 11 (3.101) b n = 1 1 n! b(b + ) n 0 = 1 1 n! bb + (b + ) n 1 0 = 1 u + 1 n! (b + ) n 1 0 = 1 n n (b + ) n 1 0 (n 1)! (3.102) = n n 1 (insb. b 0 = 0 ) n b + n = n + 1 n n + 1 = n + 1δn, n + 1 (3.103) 68

29 n bn = n n n 1 = n δn, n 1 (3.104) Physikalische Interpretation der Ergebnisse ( ) E n = ω n Wir erhalten äquidistante Energieniveaus und interpretieren den angeregten Zustand 3, z.b. als einen Zustand mit 3 Oszillatorquanten. n=6 n=5 n=7 h ω n=3 n=4 n=1 n=2 n=0 Abb. 3.8: Der Grundzustand 0 hat eine Nullpunktsenergie E 0 = 1 2 ω, eine Folge der Heisenberg schen Unschärferelation. Der Abgabe bzw. Vernichtung eines Oszillatorquantes entspricht gerade die Anwendung von b (auf n n 1 ), deshalb heißt b Vernichtungsoperator. Der Aufnahme bzw. Erzeugung eines Quantes im Oszillator entspricht gerade die Anwendung von b +, deshalb heißt b + Erzeugungsoperator. Die Erzeugung und Vernichtung von Quanten ist Gegenstand der Quantenfeldtheorie. Zum Abschluss berechnen wir noch die Matrixelemente n ˆx n und n ˆp n der Observablen ˆx und ˆp in der Energiedarstellung. Damit lassen sich dann auch alle anderen Erwartungswerte berechnen, denn jede mechanische Größe ist eine Funktion in x und p (und t). n ˆx n = = n ˆp n = n 2mω (b + b+ ) n (wegen (3.103) und (3.104)) ( n δn, n 1 + n + 1δ n, n+1) 2mω n 1 mω (b b + ) n i 2 ( mω n δn, n 1 n + 1 δ n, n+1) = 1 i 2 Darstellung in Matrizenform: 69

30 (x n, n) = 2mω (p n, n) = mω i Damit haben wir also gezeigt, wie man allein mit Hilbert-Raum-Algebra ein Problem lösen kann. Fassen wir noch einmal zusammen: haben wir umgeschrieben in Ĥ = ṗ2 2m + m 2ω 2 ˆx2 Ĥ = ω(b + b + 1) mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b, b +, die die Kommutatorrelation [b, b + ] = 1 erfüllen. Mit Hilfe dieser Operatoren lässt sich Ĥ diagonalisieren, d.h. wir erhalten die Eigenwerte und das vollständige System von Eigenvektoren n zu Ĥ. 70