Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17

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1 Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Moderne heoretische Physik III (heorie F tatistische Mechanik) 17 Prof Dr lexander Mirlin Musterlösung zu latt 3 PD Dr Igor Gornyi, Janina Klier esrechung: hermodynamische Relationen: ( Punkte) uf diesem Übungsblatt verwenden wir die Notation aus der orlesung: Jacobi-Matrix: u u (u, v) (x, y) x y y x v v, x y y x Jacobi-Determinante: (u, v) (x, y) u v x y y u v x y x x y (a) eweisen ie die Maxwell-Relation aus ufgabe b von latt : σ (1) erechnen ie die Jacobi-Determinante (, ) (σ, ) Die Änderung der inneren Energie U des andes ist durch du d+σd gegeben, wobei σd die rbeit bezeichnet, die verrichtet wird um das Gummiband um die trecke d zu dehnen Daraus folgt die Änderung der freien Energie df du d d d + σd () ndererseits kann die freie Energie in folgender Form geschrieben werden: F F df d + d (3) Der ergleich der Gleichungen () und (3) liefert ( ) F, ( ) F σ (4) Unter erwendung der ertauschbarkeit der zweiten bleitungen von F und Gleichung (4) kann man schreiben [ ( ) [ ( ) F F (5)

2 Durch Einsetzen von Gleichung (4) in (5), erhält man σ (6) Mit den Relationen von latt 1 kann man die Maxwell-Relation (6) in der Form einer Jacobi-Determinanten schreiben (, ) (, ) (σ, ) (, ) (7) Damit erhält man das Resultat (, ) (σ, ) (, ) (, ) / (σ, ) (, ) (, ) (, ) / (σ, ) (, ) 1 (8) (b) eiten ie den folgenden Zusammenhang zwischen Wärmekaazitäten her: ( ) c c ( ) (9) bbildung 1: c c > 0: eweis aus der orlesung Wir beginnen mit der Gleichung aus der orlesung (s bb 1): c c (10)

3 Weiterhin können wir verwenden, dass ( ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) / (, ) (, ) ( ) (11) Durch Einsetzen dieser Gleichung in Gl (10) erhält man das gewünschte Resultat: ( ) c c ( ) (1) emerkung Man kann Gl (10) mit Hilfe von Jacobi-Determinanten wie folgt ableiten: ( ) c (, ) (, ) (, ) (, ) / (, ) (, ) wobei c Unter erwendung von folgt ( ) c c c, (13) (14), (15) nalog zu ufgabe 1(a) dieser Übung erhält man die Maxwell-Relation etzt man diese Relation in Gl (15) ein, so erhält man Gl (10) (c) Zeigen ie, dass für ein magnetisches ystem (Magnetisierung M) im äußeren Magnetfeld die Relation c M χ (16) c χ gilt, wobei c M M, c, χ ( ) M, χ ( ) M

4 nalog zur eziehung c /c κ /κ aus der orlesung: ( ) c M (, M) M (, M) (, M) (, ) (, ) (, ) (, ) (, M) ( ) M χ c (17) M χ }{{}}{{}}{{} χ c / 1/χ (d) eweisen ie die Relation c c M α (18) χ mit dem emeraturkoeffizienten der Magnetisierung ( ) M α Mit der gleichen trategie, die in der orlesung für c c (s bb 1) angewendet wurde, erhalten wir: c M + M M c c M α (19) M rbeit bei der Änderung des externen Magnetfeld (orlesung): Die innere Energie: δw Md du δq δw d Md (0) ertauschbarkeit der zweiten bleitungen von U: [ ( ) [ ( ) U U Maxwell-Relation: M (, ) (, ) (M, ) (, ) (, ) (M, ) / (, ) (M, ) (M, ) (, ) / (, ) (, ) M (, ) M (M, ) / (, ) (, ) α ( ) M Damit erhalten wir schließlich c c M α χ (1) α χ

5 ehälter mit zwei Kammern ( Punkte) Ein thermisch abgeschlossener ehälter ist durch eine rennwand in zwei Kammern unterteilt eide Kammern enthalten ideale Gase mit konstanter Wärmekaazität c Die eine Kammer enthält N eilchen bei der emeratur und dem Druck, die andere N eilchen bei der emeratur und dem Druck (a) Nun werde die thermische Isolierung der rennwand entfernt und die rennwand verschiebbar gemacht erechnen ie den Druck und die emeratur des ystems im Gleichgewicht or der Zustandsänderung ist für die beiden eilsysteme bekannt: Kammer :,, N, Kammer :,, N Nach der Zustandsänderung haben wir: Kammer :,, N, Kammer :,, N Die inneren Energien sind nach der idealen Gasgleichung durch vorher : nachher : U (i) 3 N k, U (i) 3 N k, U (i) U (i) U (f) 3 N k, U (f) 3 N k, U (f) U (f) + U (i), + U (f) gegeben, wobei k die oltzmann-konstante ist Das Gesamtsystem kann keine Wärme abgeben oder aufnehmen, da es thermisch isoliert ist Daraus ergibt sich: U (i) U (f) (N + N ) 3 k 3 k(n + N ) N + N N + N () erechnen wir nun den Druck nach der Zustandsänderung Das Gesamtvolumen bleibt konstant: vorher : nachher : (i) (f) Dazu betrachten wir wieder die ideale Gasgleichung: vorher : nachher : + (i) + (f) (i) N k, (i) N k N k + N k, (f) N k, (f) N k Daraus ergibt sich für das Gesamtsystem nach der Zustandsänderung: ( (f) k N + N + (f) ) (N + N )k k (N + N ) N k + N k (3)

6 (b) nschließend wird die rennwand entfernt erechnen ie die Änderung der Gesamtentroie aufgrund der Mischung für die beiden Fälle: (i) verschiedene Gase; (ii) identische Gase Fall 1: verschiedene Gase Entroieänderung für ein ideales Gas ( 1 und 1, c bleibt konstant): c ln + Nk ln 1 Für beide Gase hat sich bei konstanter eilchenzahl, Druck, emeratur das olumen vergößert: ( ) N kln ufgabe (a): (f) N k (f) N k N kln ( (f) (f) ) 1 N N k + N k (N + N ), N N k + N k (N + N ), N k + N k (4) Damit ergibt sich die umme der beiden Entroieänderungen, die sog Mischungsentroie zu: + N kln + N kln N (f) ( ) ( N + N N + N N kln + N kln Offensichtlich ist die Entroieänderung ositiv: > 0 N (f) ) (5) Fall : gleiche Gase Hier muss man etwas anders argumentieren: Nach dem Entfernen der Wand haben wir ein Gas mit N + N eilchen, man kann nach dem Mischungsrozess keine Entroien mehr für beide eil-gase berechnen Der Mischungsrozess bestand lediglich darin, dass wir die Wand zwischen zwei identischen, im thermischen Gleichgewicht befindlichen Gasen herausgenommen haben, hysikalisch hat sich aber nichts am Gesamtsystem geändert, weil die Gase ja identisch waren lso kann sich auch die Entroie nicht geändert haben: 0 emerkung:

7 Wenn man naiv das Ergebnis für die Mischentroie von verschiedenen Gasen (5) auf die ituation gleicher Gase anwendet, bekommt man eine endliche Entroieänderung Dies ist als Gibbs sches Paradoxon bekannt Um dieses Paradoxon zu lösen, ist es wichtig, die Ununterscheidbarkeit der Partikel (dh den Faktor 1/N! in der nzahl der möglichen Zustände) zu berücksichtigen Die Entroie eines idealen Gases, das aus ununterscheidbaren eilchen besteht, lautet (die bleitung wird säter in der orlesung diskutiert): ( ) Nkln + 5 N 0 Nk, wobei 0 konst vorher : nachher : (i) (i) + (i) N kln (f) N 0 + N kln (f) + 5 N 0 k (N + N ) (f) (N + N )kln + 5 (N + N ) 0 (N + N ) Daraus berechnen wir dann wieder die Entroieänderung: (f) (i) (N + N )kln N kln (f) N kln (f) (N + N ) 0 N 0 N [ 0 N k N ln (f) (N + N ) + N N ln (f) (N + N ) k [N ln(1) + N ln(1) 0 3 Gauß-erteilung für zwei ariablen ( Punkte) Die Gauß-erteilung ρ(x 1, X ) für die zwei stochastischen ariablen X 1 und X sei durch [ det ρ(x 1, X ) ex 1 (X i a i ) ij (X j a j ) (6) (π) definiert Die Matrix ist symmetrisch und ositiv definit (a) Geben ie die reduzierte erteilungsfunktion ρ 1 (X 1 ) dx ρ(x 1, X ) (7) an Mit ξ i X i a i und 1 1 berechnen wir das Gauß-Integral direkt: [ det ρ 1 (X 1 ) dx ex 1 (X i a i ) ij (X j a j ) (π) [ det dξ ex 1 (π) (ξ 1 11 ξ 1 + ξ 1 1 ξ + ξ 1 ξ 1 + ξ ξ ) ( det ex 1 ) ( ) π (π) ξ 1 11 ξ 1 ex 1 ξ1 [ det ex det (X 1 a 1 ), (8) π

8 wobei det 11 1 Offensichtlich: dx 1 ρ 1 (X 1 ) 1 Weitere trategie: Man kann alle weiteren Mittelwerte durch direktes uswerten der entsrechenden Gauß schen Integrale berechnen Es ist jedoch lehrreich und nützlich, die charakteristische Funktion Φ(k 1, k ) ex (ik 1 X 1 + ik X ) [ det dx 1 dx ex 1 (X i a i ) ij (X j a j ) + ik 1 X 1 + ik X (π) zu verwenden, mit deren Hilfe sich viele Mittelwerte einfach berechnen lassen Zur erechnung des Integrals wird der Exonent mittels quadratischer Ergänzung umgeschrieben: 1 1 ξ i ij ξ j + ik 1 X 1 + ik X ξ i ij ξ j + i mit G ij [ 1 ij Es gilt: k i ξ i + 1 ji k i G ij k j 1 k i G ij k j + i k i a i, ji (9) Exlizit: ij ji G ij G ji, il G lj δ ij, l1 G il lj δ ij l1 G 11 1, G 11 1 G 1, G Die ersten drei ummanden in Gl (9) können zusammengefasst werden: 1 ξ i ij ξ j + i k i ξ i + 1 k i G ij k j ji ( 1 ξ i i ) ( k l G li ij ξ j i l l ) G jl k l 1 M y i ij y j, mit y j ξ j i l G jlk l ξ j i l k lg lj Wir erhalten somit schließlich Φ(k 1, k ) det dy 1 dy e 1 y i ij y j π }{{} Φ(k 1, k ) ex ( 1 (Normierung) 1 k i G ij k j + i e 1 k ig ij k j e i ji k ia i ) k i a i (30) ji

9 (b) Finden ie die Kovarianz cov(x 1, X ) (X 1 X 1 )(X X ) (31) Mithilfe der charakteristischen Funktion Φ(k 1, k ) können wir die Mittelwerte von X i berechnen: X 1 i ex (ik 1 X 1 + ik X ) i Φ(k 1, k ) k 1 k 1 Es folgt: i k 1 ex X a ( 1 k i G ij k j + i k1 0,k 0 k1 0,k 0 ) k i a i a 1, (3) k10,k0 ji (33) cov(x 1, X ) (X 1 a 1 )(X a ) X 1 X a 1 a (34) Korrelator: X 1 X ex (ik 1 X 1 + ik X ) k 1 k k1 0,k 0 Φ(k 1, k ) k 1 k 1 k1 0,k 0 G G 1 + a 1 a G 1 + a 1 a (35) Kovarianz: cov(x 1, X ) (G 1 + a 1 a ) a 1 a G 1 (36) 11 1 (c) estimmen ie das Moment X 1X der erteilung X 1 X k1 k Φ(k 1, k ) k1,k 0 { [ G + ( G 1 k 1 G k + ia ) e 1 k1 k ig ij k j +i } ji k ia i k1,k 0 G 1 + (G + a )(G 11 + a 1) + 4G 1 a 1 a (37) (d) erechnen ie den Mittelwert der Exonentialfunktion 1 f(β) ex [ β(x 1 + X ) (38) f(β) Φ(k 1, k ) k1 iβ,k iβ ex [ β [ β ex G ij β(a 1 + a ) β(a 1 + a ) (39)