Vorlesung Festkörperphysik. WS 2014/2015 Vorlesungen Universität Rostock Heinrich Stolz

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1 Vorlesung Festkörperphysik WS 2014/2015 Vorlesungen Universität Rostock Heinrich Stolz 1

2 2. Das Reziproke Gitter Wichtige mathematische Objekt in der Physik mit periodischer Struktur? ebene Welle exp( ik r) Ebene Wellen und Bravais-Gitter nur für bestimmte Wellenvektoren übereinstimmende Periodizität 2.1 Definition des reziproken Gitters Definition: die Menge aller Wellenvektoren K periodische Struktur Wellenlänge 2 k die Wellen mit derselben Periodizität wie das gegebene Bravais-Gitter ergeben: reziprokes Gitter K des Bravais-Gitters 2

3 Mathematische Formulierung 2.2. Explizite Konstruktion des reziproken Gitters Seien bilde a, a, a ein Satz primitiver Basisvektoren des Bravais-Gitters, Dann gilt Mit dem Kronecker-Symbol ikr e 1 K R 2 N; N k, k, k Reziprokes Gitter: Bravais-Gitter 3

4 Matrix-Konstruktion der reziproken Gittervektoren 4

5 2.3. Wichtige Beispiele: 1. sc 2. fcc 3. bcc bcc-gitter mit Kantenlänge 4π/a fcc-gitter mit Kantenlänge 4π/a 5

6 2. 4. Die (erste) Brillouin-Zone Die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters heißt Brillouin-Zone Brillouin-Zone des fcc-gitters 6

7 2.5. Gitterebenen Eine Gitterebene enthält mindestens 3 nicht-kollineare Gittervektoren. Damit enthält sie unendliche viele Gitterpunkte und bildet ein zweidimensionales Netz, sie heißt daher auch Netzebene. Schar von Netzebenen: Menge von parallelen, äquidistanten Netzebenen, die alle Gitterpunkte enthalten 7

8 Theorem: Für jede Netzebenenschar mit Abstand d existieren reziproke Gittervektoren K, die senkrecht auf den Ebenen stehen und deren kürzester die Länge 2 / d hat. Umgekehrt gibt es zu jedem Gittervektor K eine Netzebenenschar, auf der K senkrecht steht und die einen Abstand d 2 / K haben, wobei K der kürzeste Vektor parallel zu K ist. min min Beweis: 1. Sei n ein Normalenvektor auf der Netzebenenschar. Dann ist K 2 / d n ein reziproker Gittervektor. Denn a) exp(i K r ) A ist konstant für alle Gitterpunkte auf allen Netzebenen (Ebenengleichung und Periodizität einer ebenen Welle für =2 / K =d). b) da eine der Netzebenen den Punkt r 0 enthält, gilt A 1. c) K ist auch der kürzeste Vektor mit dieser Eigenschaft, da ein kürzer eine ebene Welle definieren würde, deren Wellenlänge d wäre, die dann aber nicht auf allen Netzebenen den Wert 1 hätte. 2. Sei ein beliebiger Gittervektor gegeben, K der kürzeste parallele. Dann liegen die Phasenflächen der durch K beschriebenen ebenen Welle exp(i K r) mit Wert 1 senkrecht auf K und haben einen Abstand (Wellenlänge) =2 / K d. Sie enthalten auch alle Gitterpunkte R, da gilt exp(i K R) 1. q.e.d. 8

9 2.6 Miller-Indizes Jede Netzebenenschar kann durch den zugehörigen reziproken Gittervektor K hb kb lb min eindeutig beschrieben werden. Millersche Indizes: h, k, l der Netzebenenschar. Konventionen: Netzebenen und Richtungen im reziproken Raum ( h, k, l). negative Millerindizes werden abgekürzt als: h h. Richtungen im realen (direkten) Raum [ m, n, p]. symmetrie-äquivalente Netzebenen und Richtungen im reziproken Raum {h,k,l} symmetrie-äquivalente Richtungen im direkten Raum m, n, p 9

10 2.7 Reziproker Raum und Fourier-Zerlegung 10

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12 3. Bindungskräfte in Kristallen 12

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15 Lennard-Jones-Potential 15

16 3.3 Ionische Bindung 16

17 Madelung-Energie: Energie der Coulomb-WW Madelung-Konstante fcc-struktur: 17

18 3.4. Kovalente Bindung 18

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20 3.5. Metallische Bindung 20

21 3.6 Wasserstoffbrückenbindung 21