Aufbau der Materie II Festkörperphysik für LA nicht vertieft. neue Folien WS 09/10

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1 Aufbau der Materie II Festkörperphysik für LA nicht vertieft neue Folien WS 09/10

2 Literaturempfehlungen 1. Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik (Oldenbourg Verlag) 2. Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik (Teubner Verlag) 3. Harald Ibach & Hans Lüth: Festkörperphysik. Einführung in die Grundlagen (Springer Verlag) 4. N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Festkörperphysik (Oldenbourg Verlag)

3 Warum Festkörperphysik? Weil unsere Welt wesentlich aus Festkörpern bzw Flüssigkeiten besteht Bisher: Atom- und Molekülphysik. Bei hoher Temperatur, bzw niedriger Dichte, ist alles gasförmig. Kann zb Gasplaneten, Sterne, beschreiben. Auf riesigen Längen- und Zeitskalen komplexe Strukturen möglich, auf kleinen Skalen langweilig

4 Was kann die FK-Physik erklären? Warum sind manche Stoffe elektrisch leitfähig, andere nicht? Warum sind manche Stoffe magnetisch? Warum gibt es durchsichtige Materialien? Wie wird Wärme gespeichert und transportiert? Warum dehnen sich Festkörper bei Erwärmung aus? Wie hart bzw. weich ist ein Material?

5 Worauf basieren die Erklärungen? wichtigstes Hilfsmittel: Kristalline Ordnung erleichtert Beschreibung Elektronische Eigenschaften (Leitfähigkeit, Lichtabsorption, ) aus Bandstruktur und Fermistatistik Phononen (Gitterschwingungen) geben Auskunft über thermische Leitfähigkeit, Schallausbreitung, Härte, und vieles mehr!

6 Millersche Indizes Beste Definition über reziprokes Gitter, siehe später: (hkl) G hkl Im kubischen System gilt außerdem (hkl)-ebene [hkl]-richtung Begründung: Ebenengleichung kann man so schreiben: n r = const Die Vektoren n und r beziehen sich auf die jeweilige Basis, die i. allg. nicht orthonormal ist, beim kubischen Gitter aber schon.

7 Millersche Indizes Bei nicht-orthonormalen Einheitsvektoren steht dann n nicht mehr senkrecht auf der zugehörigen Ebene Beispiel: strecke 2D Quadratgitter zum 2D Rechteckgitter Beide Ebenen haben dieselben Millerschen Indizes, weil die Achsenabschnitte gleich sind. Im rechten Bild steht aber die Ebene nicht mehr senkrecht auf der Kristallrichtung mit gleichem Namen

8 Unterschied Beugung 3D, 2D Optik: Beugungsgitter werden mit Licht bestrahlt Man sieht immer ein Beugungsbild, egal unter welchem Winkel das Licht einfällt Kristallstruktur: Röntgenreflex erscheint nur bei ausgewählten Winkeln Grund: reziprokes Gitter in 3D besteht aus diskreten Punkten, bei einem 2D Objekt wird die dritte Dimension durch kontinuierliche Stäbe im reziproken Raum ergänzt (Fouriertransformierte einer δ-funktion)

9 Phasenproblem in der Röntgenstrukturanalyse Man kann nur die Intensität der Strahlung messen, nicht die Phase Keine inverse Fouriertransformation möglich verschiedene Strukturen können dasselbe Beugungsbild ergeben Nimm hypothetische Struktur an, berechne Beugungsbild und vergleiche mit Experiment

10 Beispiel in 1D Amplitude Zeit Amplitude Zeit Phase Frequenz Phase Frequenz

11 Ionenbindung setzt mindestens zwei verschiedene Atome voraus z.b. eine Atomsorte gibt ein Elektron ab, die andere nimmt es auf, um geschlossene Schalen zu erreichen ist dann möglich, wenn die Ionisierungsenergie der einen Sorte kleiner als die Elektronenaffinität der anderen Sorte ist

12 Metallische Bindung Wellenfunktionen der äußeren Elektronen sind sehr weitreichend, Elektronen verteilen sich über mehrere Gitterperioden hinweg

13 Kovalente Bindung Molekülbindung Kovalente Bindung im Festkörper

14 Ursache des Potentials, Born- Oppenheimer-Näherung Im vorigen Kapitel haben wir die verschiedenen Bindungstypen untersucht: alle haben eine Gleichgewichtslage Ursache ist jeweils die Elektronenkonfiguration übliche Näherung (Born-Oppenheimer): Atomkerne sind so schwer, daß sich die (leichten) Elektronen instantan um die Kerne herumgruppieren Trennung von Elektronen- und Atombewegung

15 Welche Schwingungen gibt es? Je mehr Atome hinzukommen, umso mehr Schwingungsmoden gibt es zb: Kristall mit N >> 1 Atomen: 3 Translations-, 3 Rotationsfreiheitsgrade, der Rest (3N - 6 3N) Schwingungen. Wie ordnet man das an? Mit Hilfe von ebenen Wellen!

16 Zustandsdichte Zahl der Zustände im Energieintervall dε: dn = D(ε) dε Problem 1: Bisher Kristall als unendlich angenommen. Dann kann D(k) auch nicht angegeben werden Lösung: Nimm Kristall als beliebig groß, aber endlich an. Dann gibt es nur endlich viele Zustände. Am besten mit periodischen Randbedingungen Problem 1: D(ε) ist nicht direkt bekannt, nun aber D(k), also die Zahl der Zustände im k-raum Lösung: Zähle Zustände im k-raum ab und rechne in Energien um

17 Problem 1: Zustandsdichte im k- Raum Periodische Randbedingungen: Fordere, daß sich die Phononenwellenfunktion nach einer Länge L im Raum periodisch wiederholt. (Später analog: Elektronen) Also, in 1D: exp(ik(x + L)) = exp(ikx) Daraus folgt: exp(ikl) = 1, und damit k = (2π/L) n, (n: ganze Zahl) Genauso kann man in drei Dimensionen periodische Randbedingungen fordern: k x = (2p/L) l, k y = (2p/L) m, k z = (2p/L) n, (l, m, n: ganze Zahlen)

18 Problem 2: von k nach ε In einer Dimension: Zustände sind äquidistant in k D(ε) folgt aus Dispersionsrelation 2π L Jeder Zustand nimmt im k-raum den gleichen Platz ein Je nach Steigung der Energiedispersion ergibt dies mehr oder weniger dicht liegende Zustände auf der Energieachse

19 In mehreren Dimensionen z.b. zwei Dimensionen, isotrope Dispersion, alle Phononen unter einer bestimmten Energie k y Man sieht: je größer k, desto mehr Möglichkeiten gibt es. 3 Dimensionen: k x

20 Ohne Randbedingungen sind die Lösungen ebene Wellen. Sie sind nicht normierbar: Abhilfe: Integrationsvolumen muß endlich sein! 2 Möglichkeiten: Teilchen im Kasten oder periodische Randbedingungen

21 Teilchen im Kasten: Lösungen verschwinden am Probenrand nur stehende Wellen möglich L Periodische Randbedingungen: Probe setzt sich periodisch fort, laufende Wellen möglich: näher an der Realität L

22 k z k F k y k x In Kugel mit Volumen 4/3 k F3 π ist die Gesamtzahl der erlaubten Zustände: k π V F = k N ; V L F = = π ( ) 3π L k F 2 3π N = V 1/3

23 Anlegen des Feldes zur Zeit t = 0; Mittelpunkt der Fermi-Kugel im Ursprung des k-raums Nach kurzer Zeit τ gilt : δ k = e E h τ In Folge der Stöße zwischen Elektronen und Verunreinigungen, Gitterfehlern und Phononen kann die Verschiebung der Fermi-Kugel in einem elektrischen Feld als stationärer Zustand aufrecht erhalten werden. Der Geschwindigkeitszuwachs ist V = p m = hδk m = e E τ = μe m τ ist dabei die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen (Impulsstreuzeit). μ = eτ/m heißt Beweglichkeit Bei n Elektronen der Ladung e pro Volumeneinheit beträgt die Stromdichte in einem konstanten elektrischen Feld E : Elektrische Leitfähigkeit: 2 ne τ j = nev = E = σ E m σ = 2 ne τ = neμ m (Ohmsches Gesetz)

24 Driftgeschwindigkeit und Fermigeschwindigkeit E r Wegen des Pauli-Prinzips haben die Elektronen auch bei T=0 eine hohe kinetische Energie, und v F = k F /m. Nach Mittelung über alle Elektronen ist aber <v> = 0 Fermigeschwindigkeit sehr groß: typ m/s Mit elektrischem Feld erhält jedes Elektron eine kleine Extra-Geschwindigkeit, die Driftgeschwindigkeit v D Driftgeschwindigkeit bei typischen Stromstärken mm/s

25 Streumechanismen Die wichtigsten Mechanismen sind: Elektron-Phonon-Streuung: Widerstandsbeitrag temperaturabhängig (da Zahl der Phononen temperaturabhängig). Man findet typischerweise: θ D : Debyetemperatur Streuung an Verunreinigungen und anderen Punktdefekten: Widerstandsbeitrag ρ imp konzentrations- aber nur schwach temperaturabhängig: Gesamtwiderstand: Matthiessen sche Regel Elektron-Elektron Streuung hat keinen Einfluss auf Impulsrelaxationszeit, da der Gesamtimpuls me v r i erhalten bleibt. i v 1 v 3 v 2 Kollision v 4

26 Der Gesamtwiderstand setzt sich aus einem konstanten Beitrag aufgrund von Streuung an Defekten und einem T-abhängigen Beitrag aufgrund von Phononstreuung zusammen Widerstand von Kalium. Der unterschiedliche Restwiderstand bei T=0 ist unterschiedlichen Defektkonzentrationen zuzuschreiben.

27 Bloch-Theorem Das Kristallpotential ist translationssymmetrisch. Welchen Einfluß hat das auf die Wellenfunktionen? Schrödingergleichung mit (also gitterperiodisch)

28 Für die Wellenfunktionen gilt dann: ist eine gitterperiodische Funktion D.h. eine Kombination aus ebener Welle und einer gitterperiodischen Funktion Der Wellenvektor k erfüllt dann wiederum die Funktion eines Impulses, wie beim freien Elektronengas Beispiel freies Elektronengas: u n,k (r)=const.

29 Fast freie Elektronen Bisher: freie Elektronen, Kristallstruktur nicht berücksichtigt. Jetzt: betrachte schwaches Kristallpotential Wir wissen, daß nur Lösungen in der ersten Brillouinzone berücksichtigt werden müssen. Extremfall: Leeres Gitter in einer Dimension Dann sind Lösungen, die sich um einen reziproken Gittervektor unterscheiden, äquivalent. Einziger Problemfall: Ränder der Brillouinzone

30 Leeres Gitter in 3D Hier wurde nur die freie Elektronenparabel in allen möglichen Richtungen in die erste Brillouinzone zurückgefaltet. Schon dieses Bild ist kompliziert, dazu kommen jeweils Energielücken an den Rändern der BZ.

31 Erinnerung: Kovalente Bindung Molekülbindung Kovalente Bindung im Festkörper

32 Tight-Binding-Modell Bringt man Atome näher und näher zusammen so wird die Entartung der atomaren Niveaus aufgehoben. Annäherung von N-Atomen Aufhebung der N-fachen Entartung Isolierte Atome Kristalle diskrete Energieniveaus Energiebänder

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