3. Struktur idealer Kristalle

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1 3. Struktur idealer Kristalle 3.1 Raumgitter - 3-D-periodische Anordnungen - Raumgitter und Basis - primitive Translationen - Elementarzelle - Dreh- und Spiegelsymmetrien - Einheitszelle - 7 Kristallsysteme, 14 Bravaisgitter - 32 Kristallklassen, 230 Raumgruppen 1

2 Raumgitter + Basis = Kristallstruktur [ A.M. Glazer, The Structures of Crystals, A. Hilger, Bristol, 1987] 2

3 Kristallsysteme Symmetrieoperationen: Translation Rotation Schraubung Spiegelung Inversion Drehinversion Gleitspiegelung 3

4 Bravais-Gitter Auguste Bravais ( ) [ Wikipedia ] [ E.Jäger, M.I.Kaganov, Grundlagen der Festkörperphysik, H.Deutsch, Frankfurt 2000 ] 4

5 Die 14 Bravais-Gitter 5

6 Rotation (Drehung) [ U. Müller ] 6

7 Schraubung [ U. Müller ] 7

8 Leonard Sohnckes gruppentheoretische Behandlung erweiterte 1879 die 14 Translationsgruppen um Drehungen und Schraubungen (Bewegungsgruppen) auf 65 Raumgruppen (chirale oder Sohncke- Raumgruppen) Auf dieser Grundlage zeigten Schoenflies und Fedorow durch Einbeziehung von Spiegelungen, Drehspiegelungen und Gleitspiegelungen 1891 unabhängig voneinander die Existenz von genau 230 Raumgruppen 8

9 Spiegelung und Inversion [ U. Müller ] 9

10 Drehinversion [ U. Müller ] 10

11 Gleitspiegelung [ U. Müller ] 11

12 12

13 3.2 Kristallstrukturen - Atomkoordinaten - Charakteristika wichtiger Gittertypen - Diamantstruktur - Graphit und Fullerene - NaCl-Struktur - kubisch raumzentriert (Fe-Struktur) - kubisch dichteste Kugelpackung - hexagonal dichteste Kugelpackung - CsCl-Struktur 13

14 z Atomkoordinaten: y x Atomzahl pro Einheitszelle: N Z N E N K N F = N I N E - Gitterpunkte an Ecken N K - Gitterpunkte an Kanten N F - Gitterpunkte in Flächen N I - Gitterpunkte im Inneren 14

15 Diamantstruktur fcc mit zweiatomiger Basis (2 x C) Verschiebungsvektor 1/4 Raumdiagonale Natriumchloridstruktur: fcc mit zweiatomiger Basis (Na + Cl) Verschiebungsvektor 1/2 Raumdiagonale 15

16 Diamant und Graphit 16

17 Graphen Physiknobelpreis 2010 Andre Geim & Konstantin Novoselov 2-D Festkörper! Hexagonal 2 Atome pro Brillouinzone 2 Untergitter 17

18 Graphen [ C. Mietze ] 18

19 Fullerene und CNT 19

20 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] 20

21 Kubisch raumzentriert 21

22 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] 22

23 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] 23

24 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] 24

25 fcc Gitter: kubisch dichteste Kugelpackung Draufsicht der Stapelfolge A-B-C-A der Ebenen (111) in gedachter dichtester Kugelpackung 25

26 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 26

27 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 27

28 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 28

29 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 29

30 Cäsiumchloridstruktur primitiv kubisch mit zweiatomiger Basis Verschiebungsvektor 1/2 Raumdiagonale Hexagonal dichteste Kugelpackung hexagonales Raumgitter mit zweiatomiger Basis Stapelfolge A-B-A-B 30

31 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 31

32 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 32

33 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] 33

34 Dichte Kugelpackungen 34

35 Korund-Struktur Al 2 O 3 In der trigonalen Korund-Struktur bilden die Sauerstoffatome eine leicht verzerrte hexagonal dichteste Kugelpackung, in der zwei Drittel der Oktaederlücken mit Aluminium besetzt sind [ ] 35

36 3.3 Millersche Indizes -Netzebene - Bildung der Millerschen Indizes (h k l) - Sonderfälle (, negativ, hexagonal) - äquivalente Ebenen {hkl} - Kristallrichtungen [mnj] -Beispiele 36

37 Millersche Indizes 37

38 Millersche Indizes: c 3 Netzebene (132) 2 b a 6 Millersche Indizes im kubischen Kristallsystem: z z z x y y x x (100) (110) (111) y Besonderheiten bei der Indizierung in einem hexagonalen Kristall a 3 -a 1 Netzebene (0001) -a 2 a 2 a 1 -a 3 38

39 3.4 Das reziproke Gitter -primitive Translationen - Dimension: reziproke Länge - Zusammenhang mit Kristallgitter - Brillouin-Zone - Konstruktion der Brillouin-Zone -Beispiele 39

40 Reziprokes Gitter mit V E als dem Volumen der Elementarzelle: 40

41 1. Brillouin-Zone Man erhält die erste Brillouin-Zone, in analoger Weise zur Wigner-Seitz-Zelle indem man von einem Punkt des reziproken Gitters Vektoren zu allen Nachbarpunkten zieht und durch die Mittelpunkte der Verbindungslinien senkrecht zu ihnen Ebenen legt 41

42 Léon Nicolas Brillouin ( ) 42

43 1. Brillouinzone fcc-gitter: Symmetriepunkte [ Wikipedia ] 43

44 Wigner-Seitz-Zelle Eugene Paul Wigner ( ) [TU Berlin ] Frederick Seitz ( ) [Rockefeller Uni] 44

45 Wigner-Seitz-Zelle [N. Mikuszeit] 45

46 3.5 Experimentelle Bestimmung der Kristallstruktur Kristalle als natürliche Beugungsgitter elektromagnetische Wellen De Broglie Wellenlänge Lauesche Gleichungen Ewaldsche Kugel Braggsche Reflexionsbedingung Struktur und Debye-Waller-Faktor 46

47 Beugung und Interferenz [ M.Müller ] 47

48 1 Wellenlänge [nm] 0,1 LEED 10-2 RHEED Energie [ev] De Broglie - Wellenlänge für Photonen, Elektronen, Neutronen als Funktion der Teilchenenergie. 48

49 Braggsche Gleichung 49

50 Laue-Gleichungen [ F. Bechstedt ] 50

51 Lauediagramm 51

52 Ewald-Konstruktion [ M.Müller ] 52

53 Paul Peter Ewald ( ) Prof. in München, Prof. Stuttgart bis 1933 Ab 1939 in USA Prof. in Brooklyn,N.Y. [ 53

54 Strukturfaktor [ M.Müller ] 54

55 Strukturfaktor bei bcc [ M.Müller ] 55

56 Strukturfaktor bei NaCl (KBr) [ M.Müller ] 56

57 Debye-Waller-Faktor beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Intensität der kohärent elastisch gestreuten Strahlung an einem Kristallgitter I 0 ist die Intensität der einfallenden Welle, G ist ein reziproker Gittervektor und u die temperaturabhängige Oszillationsamplitude der Atome 57

58 Ivar Waller ( )) "Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen" Z. Phys. 17(1923) Fermi, Enrico; Hansen, William W.; Waller, Ivar 58

59 [ M.Müller ] 59