Kristallographie I. Inhalt von Kapitel 3

Transkript

1 62 Kristallographie I Inhalt von Kapitel 3 3 Der Kristall als Diskontinuum Zweidimensionale Raumgruppen Elementarmaschen Die zweidimensionalen Punkt- und Raumgruppen Die 14 Translations- (Bravais-) Gitter Symmetrieelemente des Diskontinuums (Raumgittergeometrie) Schraubenachsen Gleitspiegelebenen Die 230 Raumgruppen Weitere Symmetriegruppen Zyklische Muster Antisymmetrie Ähnlichkeit... 77

2 A. N. Danilewsky 63 3 Der Kristall als Diskontinuum Nach dem Korrespondenzprinzip spiegelt die äußere Form eines Kristalles seine Gitterstruktur wieder. Es gelten daher dieselben Symmetriebeziehungen. Jedoch muss als zusätzliches Symmetrieelement die Translation betrachtet werden. Die Translation wurde bereits zur Herleitung des Raumgitters verwendet: 3.1 Zweidimensionale Raumgruppen Elementarmaschen Durch Anwendung zweier Vektoren a r und b r auf einen Punkt wurde zunächst die zweidimensionale Elementarmasche als Grundeinheit eines zweidimensionalen Netzwerkes/Gitters eingeführt. Werden allgemeine Vektoren eingeführt, gilt a b und γ 90 (Abb ). Prinzipiell können beliebig viele Elementarmachen in ein 2D Gitter gewählt werden (Abb ). Meist wird die Elementarmasche mit den kürzesten Basisvektoren gewählt (unten links in Abb ). Durch Variation der Längen und Richtungen dieser Basisvektoren entstehen die planaren 5 Translationsgruppen in Abb Abb : 5 planare Translationsgruppen Abb : 2D Elementarmaschen Kleber Weitere Einheitsmaschen sind nicht möglich, weil nur mit diesen Einheitszellen durch Translation die lückenlose Flächenerfüllung mit einem Zellentyp (= kristallographische Fernordnung) möglich ist (Abb , 3.1.4).

3 64 Kristallographie I Abb : Lückenlose Flächenfüllung nur bei 2-,3-,4-,6- zähligen Drehachsen Abb : Lückenlose Raumerfüllung bei 5-zähligen Drehachsen nur mit unterschiedlichen Elementarmaschen Nichtkristallographische Orientierungsfernordnung Die Beschreibung der Gesetzmässigkeiten der 5-zähligen Symmetrie erfolgte durch Penrose => Penrose Muster (Abb ) (1984 Sheckman et al. Al 86 Mn 14 ) Abb : Penrose Muster mit 5-zähliger Symmetrie a) Muster aus 2 Typen von Rhomben b) Gesetzmässige Beziehung zwischen den Rhomben c) Atomlagen einer MnAl-Legierung d) e) Gesetzmässige Beziehungen (d) e)

4 A. N. Danilewsky Die zweidimensionalen Punkt- und Raumgruppen Vor der Besprechung der 230 Raumgruppen ist es sinnvoll, die Zuordnung der Symmetrieelemente an den 10 2D-Punkt- und 17 2D-Raumgruppen zu üben. Deshalb erfolgt an dieser Stelle der Einschub der 2D-Symmetrieelemente in Abb Ihre Kombination führt zu den 17 2D Raumgruppen in Abb Die 10 2D Punktgruppen ohne Translation (Abb ) finden sich in vielen (alten) Ornamenten (Abb ), Teppich-, Stoff-, Tapeten oder sonstigen Mustern. In der Kunst M. C. Escher! Abb : Die 10 planaren Punktgruppen Abb : Beispiele der10 planaren Punktgruppen So verwendet Javanesische Batik zu 50 % die Raumgruppe 4mm. Die Gruppen p3, p3m1, p31m, p6 treten dagegen nie auf. Muster japanischer Textilien der Edo-Phase zeigen alle Gruppen mit Schwerpunkt auf p2mm und c2mm.

5 66 Kristallographie I Abb :

6 A. N. Danilewsky 67 Abb : Die 17 2D Raumgruppen

7 68 Kristallographie I Auch in 3 Raumrichtungen lassen sich nur eine begrenzte Anzahl von Translationsgruppen definieren: 3.2 Die 14 Translations- (Bravais-) Gitter a) Primitive Zellen Für 3 Basisvektoren a r, b r, c r für die gilt a b c und α β γ 90 entsteht ein triklines Gitter (Abb : P 1 ). Die Elementarzelle wird aus 1 Atom gebildet, das zu 8/8 zur EZ gehört und deren Eckpunkte belegen. Es wird daher einfach bzw. primitiv genannt und bildet eine P-Zelle. In jedem Kristallsystem existiert eine P-Zelle (Abb ), also 7: triklin primitives Gitter P 1 monoklin primitives Gitter P 2/m rhombisch primitives Gitter P mmm tetragonal primitives Gitter P 4/mmm hexagonal primitives Gitter P 6/mmm rhomboedrisch primitives Gitter R 3 m kubisch primitives Gitter P m 3m b) Zentrierte Zellen, z. B. Beispiel NaCl Struktur: Abb : NaCl-Struktur a) verschiedene Basisvektoren, b) EZ (a) (b) das Translationsgitter lässt sich mit 3 gleichlangen Vektoren a r, b r, c r beschreiben, die Winkel von 90, 60 und 120 einschließen (Abb und 3.1.3). die Zuordnung zu einem primitiven Bravais-Gittertyp (hex.) wäre also möglich. Deutlicher kommen aber Metrik und Symmetrie von NaCl zum Ausdruck, wenn man orthogonale Vektoren a r, b r, c r verwendet. Jetzt können aber nicht mehr alle Punkte des Translationsgitters durch diese orthogonalen Basisvektoren erzeugt werden. Die würfelförmige Elementarzelle enthält nun nicht nur die

8 A. N. Danilewsky 69 Eckpunkte zu 8/8 sondern auch 6 Punkte in den Flächenmitten zu 6/2 enthält => kubisch flächenzentriertes Gitter, F-Gitter (Abb b). Allseits-flächenzentrierte Gitter treten ebenfalls im ortho-rhombischen System auf: kubisch allseits-flächenzentriertes Gitter F m 3 m rhombisch allseits-flächenzentriertes Gitter F mmm Das tetragonale basiszentrierte Gitter kann durch Drehung um 45 in das tetragonal primitive Gitter überführt werden, stellt also kein eigenständiges Bravais Gitter dar. Weitere Möglichkeiten zusätzlicher Punktlagen in der Basiszelle: c) 2 Gitter mit einer zentrierten Fläche, die als c-fläche gewählt wird: rhombisch flächenzentriertes Gitter C mmm monoklin flächenzentriertes Gitter C 2/m d) 3 innenzentrierte Gitter: kubisch innenzentriertes Gitter tetragonal innenzentriertes Gitter rhombisch innenzentriertes Gitter I m 3 m I 4/mmm I mmm Alle Bravais-Gitter sind in Abb zusammengefasst. Die 14 3D-Translationsgruppen entsprechen allen Möglichkeiten der Stapelung der 5 planaren Raumgruppen.

9 70 Kristallographie I Abb : Die 14 Bravais-Gitter 3.3 Symmetrieelemente des Diskontinuums (Raumgittergeometrie) Die Translation in Verbindung mit den Drehachsen (= Schraubenachsen) und der Spiegelebene (= Gleitspiegelebene) führt zu zusätzlichen Symmetrieelementen, die eine weitere Unterteilung der 32 Kristallklassen erlauben. Es entstehen durch alle möglichen Kombinationen die 230 Raumgruppen.

10 A. N. Danilewsky 71 Die möglichen Symmetrieelemente des Diskontinuums sind: 1. Translation bis zur Identität (Abb ) => 14 Translationsgitter 2. Drehung, Inversion, Drehinversion, Spiegelung bis zur Identität => 32 Punktgruppen 3. Drehung + Teiltranslation = Schraubenachsen und Spiegelung + Teiltranslation = Gleitspiegelebenen (Abb ) => 230 Raumgruppen Abb : a) Vergleich von 2-zähliger Drehachse 2 mit Schraubenachse 2 1, sowie von Spiegelebene m und Gleitspiegelebene c b) Unterschied zwischen Gleitspiegelebene b und 2-zähliger Schraubenachse in othorhombischen I-Gitter Schraubenachsen X p Mit dem Translationsbetrag τ zwischen 2 identischen Punkten, der Zähligkeit n der Symmetrieachse und p = 0, 1, 2,... n-1 ergeben sich die möglichen Schraubenachsen in Abb : p/n τ

11 72 Kristallographie I Abb : Schraubenachsen Im Gegensatz zur reinen Drehachse werden identische Punkt nur durch eine zusätzliche Teiltranslation in die betreffende Richtung erreicht. In Abb sind die Schraubenachsen mit ihren Symbolen dargestellt Gleitspiegelebenen Gleitspiegelebenen (Abb 3.3.1b) werden nach ihrer Lage im Kristallgitter und dem Translationsbetrag nach Tab. 3.1 unterschieden. Tabelle 3.1: Symmetrieebenen des Diskontinuums Symmetrieebene Symbol Translationskomponente Spiegelebene m 0 Axiale Gleitspiegelebenen a b c a/2 b/2 c/2 Diagonale Gleitspiegelebenen n a/2 + b/2 oder a/2 + c/2 oder b/2 + c/2 Diamant-Gleitspiegelebene d a/4 + b/4 + c/4

12 A. N. Danilewsky Die 230 Raumgruppen Werden die 32 Punktgruppen symmetrieanalog mit den 14 Bravais-Gittern derart kombiniert, dass jeder translatorisch identische Punkt des Bravais-Gitters durch das Zentrum der Punktgruppe ersetzt wird, entstehen insgesamt 66 Punktsysteme, die Teil der 230 Raumgruppen sind. Die volle Zahl wird durch die sinnvollen Kombinationen mit Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen erhalten. Wiederum lässt sich jeder Kristall exakt einer Raumgruppe zuordnen. Jede Raumgruppe wird durch ein Symbol gekennzeichnet: Da die Schönfies Symbolik unzureichend ist, werden die auf Hermann-Maugin Symbolen beruhenden internationalen Symbole verwendet. Sie beinhalten - in der 1. Position den Buchstaben des Bravais-Gittertyps, also P, C, F, I, R und - max. 3 Symbole für die Symmetrieelemente, wobei aber bei den Raumgruppen die Symbole für Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen hinzutreten. Die Reihenfolge entspricht derselben wie bei den Kristallklassen also z. B. Diamant Kristallklasse: m 3 m Zinkblende Kristallklasse: 4 3m Raumgruppe: F d 3m Raumgruppe: F 43m Quarz Kristallklasse: 32 Raumgruppe: P Abb zeigt als Beispiel eine Seite aus den International Tables. Zähligkeit: Zahl der symmtrieäquivalenten Punkte in der Elementarzelle Asymmetrische Einheit: kleinster Volumenteil einer Elementarzelle, der durch Einwirkung aller Symmetrieoperationen die Elementarzelle als Ganzes ergibt (die Punkte der asymmetrischen Einheit sind jedoch nicht gleichwertig. V asymmetris cheeinheit = V Elementarzelle Zähligkeit der allgemeinen Punktlage

13 74 Kristallographie I Dargestellt finden sich: Name der Raumgruppe mit Internationalem, vollem und Schönflies Symbol Kristallklasse und Kristallsystem Elementarzelle mit Symmetrieelementen und allgemeinen Punktlagen Liste der allgemeinen und speziellen Punktlagen Abb : Beispiel einer Seite aus den International Tables Für weitere Details: International Tables + Vorlesung Kristallographie II

14 A. N. Danilewsky Weitere Symmetriegruppen Zyklische Muster Abb zeigt zyklische Translations-Symmetriemuster, wie sie in verschiedenen Kulturen zur Verzierung verwendet wurden. Abb : Maeander unterschiedlicher Kulturen a,b = griechisch; c,d = arabisch; e = maurisch; f = keltisch; g,h = chinesisch; i = mexikanisch Antisymmetrie Die bisherigen Gruppen beinhalten 2 bzw. 3 Variable als geometrische Koordinaten im 2D bzw. 3D. Weitere Varaiblen können physikalische oder chemische Bedeutung haben. Höherdimensionale Gruppen können nach Shubnikov als Antisymmetrie und Farbsymmetrie bezeichnet werden. Das Prinzip ist in Abb dargestellt. Abb : Prinzip der Antisymmetrie

15 76 Kristallographie I Hier können folgend Typen von Übereinstimmung definiert werden: a = a, b =b, etc: a b und c d: a c und b d: a d und b c: Identität spiegelbildlich entgegengesetzte = Anti- Identiät spiegelbildliche Anti-Identität So entstehen insgesamt 90 antisymmetrische Punktgruppen Beispiele für Antisymmetrische Figuren und Polyeder sind in Abb gezeigt. Abb : Beispiele von Antisymmetrie Anstelle von schwarz und weiß können auch weitere Fraben treten: Farbgruppen z.b. Abb

16 A. N. Danilewsky 77 Abb : Beispiele für Polyeder der Farbgruppen Ähnlichkeit Ein generalisiertes Konzept der Symmetrie fordert nicht unbedingt die Gleichheit von Parametern wie Längen, Winkel, Flächen oder Volumina. Man kann von ähnlicher Symmetrie sprechen, wenn sich ähnlich Bauelemente widerholen (Abb ) Abb : Ähnlichkeit a) Nautilus Schale b) Spiralmuster mit Elementen der Anisymmetrie