2. Punktgruppen/Kristallklassen

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1 Symmetrie mit konstantem Punkt M+K-Basiskurs Kristallographie und Beugung, WS 2018/2019, C. Röhr

2 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

3 2.1. Einleitung 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

4 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden fast alle Methoden profitieren von Symmetrie

5 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden fast alle Methoden profitieren von Symmetrie Spektroskopie Punktsymmetrie ermöglicht Koordinatentransformation in Symmetrie-adaptierte Linearkombinationen der Basiskoordinaten Blockdiagonalisierung des Eigenwertproblems der Energie (Schrödinger-Gleichung) Gruppentheorie Charaktertafeln

6 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden fast alle Methoden profitieren von Symmetrie Spektroskopie Punktsymmetrie ermöglicht Koordinatentransformation in Symmetrie-adaptierte Linearkombinationen der Basiskoordinaten Blockdiagonalisierung des Eigenwertproblems der Energie (Schrödinger-Gleichung) Gruppentheorie Charaktertafeln Beugung Translationssymmetrie ist Basisvoraussetzung der Methode

7 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden fast alle Methoden profitieren von Symmetrie Spektroskopie Punktsymmetrie ermöglicht Koordinatentransformation in Symmetrie-adaptierte Linearkombinationen der Basiskoordinaten Blockdiagonalisierung des Eigenwertproblems der Energie (Schrödinger-Gleichung) Gruppentheorie Charaktertafeln Beugung Translationssymmetrie ist Basisvoraussetzung der Methode? für welche Methoden Symmetrie ohne Bedeutung? MS, TA/DTA/TG mit Einschränkungen: NMR, Mößbauer

8 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden fast alle Methoden profitieren von Symmetrie Spektroskopie Punktsymmetrie ermöglicht Koordinatentransformation in Symmetrie-adaptierte Linearkombinationen der Basiskoordinaten Blockdiagonalisierung des Eigenwertproblems der Energie (Schrödinger-Gleichung) Gruppentheorie Charaktertafeln Beugung Translationssymmetrie ist Basisvoraussetzung der Methode? für welche Methoden Symmetrie ohne Bedeutung? MS, TA/DTA/TG mit Einschränkungen: NMR, Mößbauer Bildgebung (TEM, REM, SPM) z.b. HR-TEM

9 2.1. Einleitung Symmetrie und Methoden: Bildgebung und Beugung im EM

10 2.1. Einleitung Symmetrie (Kristallographie) und Strukturchemie/Beugung Symmetrie bestimmt häufig die äußere Form der Kristalle Morphologie, Kristallgeometrie, Goniometrie... ermöglicht/erleichtert Beschreibung des festen Zustands (Translationssymmetrie im realen Raum)... erlaubt Erkennen von Strukturzusammenhängen (Symmetrie als Ordnungsprinzip, Gruppe-Untergruppe-Beziehung)... erlaubt Erklärung von Phasenübergängen (und Verzwilligungen)... bestimmt die physikalischen Eigenschaften z.b. Piezoelektrizität, Pyroelektrizität, ferroische Eigenschaften z.b. Beugungsbilder (für Methode Strukturbestimmung)

11 2.1. Einleitung Symmetrie in der Chemie (bekannt?!) Molekülchemie (OC, AC) OC: Chiralität (R/S) NMR: symmetrisch äquivalente H Attraktivität von Molekülen mit hoher Symmetrie

12 2.1. Einleitung Symmetrie in der Chemie (bekannt?!) Molekülchemie (OC, AC) OC: Chiralität (R/S) NMR: symmetrisch äquivalente H Attraktivität von Molekülen mit hoher Symmetrie elektronische Strukturen, Spektroskopie (PC, AC) Mulliken-Symbole (z.b. MO-Theorie; Bindung in Komplexen: t 2g) Auswahlregeln (z.b. Paritätsverbot) Symmetriebeziehungen bei chemischen Reaktionen (z.b. Woodward-Hoffmann-Regeln)

13 2.1. Einleitung Symmetrie in der Chemie (bekannt?!) Molekülchemie (OC, AC) OC: Chiralität (R/S) NMR: symmetrisch äquivalente H Attraktivität von Molekülen mit hoher Symmetrie elektronische Strukturen, Spektroskopie (PC, AC) Mulliken-Symbole (z.b. MO-Theorie; Bindung in Komplexen: t 2g) Auswahlregeln (z.b. Paritätsverbot) Symmetriebeziehungen bei chemischen Reaktionen (z.b. Woodward-Hoffmann-Regeln) Festkörperchemie und -physik (AC) Unterscheidung von Modifikationen (z.b. monokliner Schwefel) Symmetrie im reziproken (Impuls-)Raum Bandstrukturen

14 2.1. Einleitung Symmetrie und Natur Tiere: Spiegelsymmetrie Pflanzen: vor allem Drehachsen... Kunst Darstellende Kunst (Malerei) Architektur Musik... Alltag Links dazu Bedeutung bei vielen Naturgesetzen ABER: vieles wieder interessanter/ lebendiger durch Symmetriebrechung

15 2.1. Einleitung Was ist Symmetrie? Definitionen mathematisch Symmetrie ist die Invarianz eines Systems gegenüber Transformationen.

16 2.1. Einleitung Was ist Symmetrie? Definitionen mathematisch Symmetrie ist die Invarianz eines Systems gegenüber Transformationen. praktisch Symmetrie ist die Eigenschaft einer geometrischen Figur/eines Objektes, in verschiedenen Positionen gleich auszusehen. Alexei V. Shubnikov ( ) Evgraf S. Fedorov ( )

17 2.1. Einleitung Klassifizierung von Symmetrie Punkt-Symmetrie (mindestens ein Punkt bleibt fest) Drehungen, Spiegelung, Punktspiegelung (Inversion) Kombinationen davon

18 2.1. Einleitung Klassifizierung von Symmetrie Punkt-Symmetrie (mindestens ein Punkt bleibt fest) Drehungen, Spiegelung, Punktspiegelung (Inversion) Kombinationen davon Translations-Symmetrie kein Punkt bleibt fest Vektor beschreibt Verschiebung in 1/2/3-Dimensionen 2D: periodische Muster (z.b. Tapeten, Stoffe, Fliesen usw.) 3D: kristalline Festkörper

19 2.1. Einleitung Klassifizierung von Symmetrie Punkt-Symmetrie (mindestens ein Punkt bleibt fest) Drehungen, Spiegelung, Punktspiegelung (Inversion) Kombinationen davon Translations-Symmetrie kein Punkt bleibt fest Vektor beschreibt Verschiebung in 1/2/3-Dimensionen 2D: periodische Muster (z.b. Tapeten, Stoffe, Fliesen usw.) 3D: kristalline Festkörper Quasikristalle...

20 2.1. Einleitung Kristallographische Symmetrien 6 Basis-Symmetrieelemente 8 Basis-Symmetrieelemente 1,2,3,4,6,m 1,2,3,4,6, 1= i, 2 = m,( 3 = 3+i), 4,( 6 = 3/m) Kombinationen (mit festem Punkt) Kombinationen (mit festem Punkt) 10 Punktgruppen Kristallklassen 32 Punktgruppen Kristallklassen individuelle Translationen Gesamttranslationen Gesamttranslationen individuelle Translationen Zentrierungen p,c Gleitspiegelebenen Zentrierungen P,C,I,R,F Gleitspiegelebenen Schraubenachsen Kombinationen Kombinationen 17 Flächengruppen 230 Raumgruppen Beschreibung in geeigneten KS Beschreibung in geeigneten KS 4 Kristallsysteme 7 Kristallsysteme 2-dim. Translation (Flächengruppen) 3-dim. Translation (Raumgruppen)

21 2.1. Einleitung Kristallographische Symmetrien 6 Basis-Symmetrieelemente 8 Basis-Symmetrieelemente 1,2,3,4,6,m 1,2,3,4,6, 1= i, 2 = m,( 3 = 3+i), 4,( 6 = 3/m) Kombinationen (mit festem Punkt) Kombinationen (mit festem Punkt) 10 Punktgruppen Kristallklassen 32 Punktgruppen Kristallklassen individuelle Translationen Gesamttranslationen Gesamttranslationen individuelle Translationen Zentrierungen p,c Gleitspiegelebenen Zentrierungen P,C,I,R,F Gleitspiegelebenen Schraubenachsen Kombinationen Kombinationen 17 Flächengruppen 230 Raumgruppen Beschreibung in geeigneten KS Beschreibung in geeigneten KS 4 Kristallsysteme 7 Kristallsysteme 2-dim. Translation (Flächengruppen) 3-dim. Translation (Raumgruppen)

22 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

23 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

24 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Definitionen Eine Symmetrie(Deck)-Operation (SO) ist eine Bewegung eines Körpers im Raum, die ihn in eine von der Ausgangslage ununterscheidbare Position bringt.

25 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Definitionen Eine Symmetrie(Deck)-Operation (SO) ist eine Bewegung eines Körpers im Raum, die ihn in eine von der Ausgangslage ununterscheidbare Position bringt. Alle Punkte, die bei dieser Bewegung unverändert bleiben, bilden das zugehörige Symmetrie-Element (SE).

26 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Definitionen Eine Symmetrie(Deck)-Operation (SO) ist eine Bewegung eines Körpers im Raum, die ihn in eine von der Ausgangslage ununterscheidbare Position bringt. Alle Punkte, die bei dieser Bewegung unverändert bleiben, bilden das zugehörige Symmetrie-Element (SE). Beispiel: H 2O Molekül SE = 2 zählige Achse O H H SO = Drehung um 180

27 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Definitionen Eine Symmetrie(Deck)-Operation (SO) ist eine Bewegung eines Körpers im Raum, die ihn in eine von der Ausgangslage ununterscheidbare Position bringt. Alle Punkte, die bei dieser Bewegung unverändert bleiben, bilden das zugehörige Symmetrie-Element (SE). Beispiel: H 2O Molekül SE = 2 zählige Achse O H H SO = Drehung um 180!! ein Symmetrie-Element kann mehrere Symmetrie-Operationen bedingen!! Beispiel: 3-zählige Drehachse (1 SE) = Drehung um 120 und 240 (2 SO)

28 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Bezeichnungen von Punktsymmetrien (SO und Gruppen) Schönflies (z.b. C 2v) ältere Bezeichnung in Spektroskopie/Molekülchemie weit verbreitet in Kristallographie (bei Translationssymmetrie) ungeeignet wenig systematisch Arthur Moritz Schönflies ( ) 1 1

29 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Bezeichnungen von Punktsymmetrien (SO und Gruppen) Schönflies (z.b. C 2v) ältere Bezeichnung in Spektroskopie/Molekülchemie weit verbreitet in Kristallographie (bei Translationssymmetrie) ungeeignet wenig systematisch Hermann-Mauguin (z.b. 2mm) in der Kristallographie gebräuchlich einigermaßen systematisch Koordinatensystem (Blickrichtungen) erforderlich Arthur Moritz Schönflies ( ) 1 Carl Hermann ( ) Charles Victor Mauguin ( ) 1

30 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Klassifizierung von Punkt-Symmetrie-Operationen einfache Einteilung Basis-SO: Drehungen, Spiegelung, Inversion (Punktspiegelung) zusammengesetzte SO: Drehspiegelung }{{} Schönflies bzw. Drehinversion }{{} H. M.

31 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Klassifizierung von Punkt-Symmetrie-Operationen einfache Einteilung Basis-SO: Drehungen, Spiegelung, Inversion (Punktspiegelung) zusammengesetzte SO: Drehspiegelung }{{} Schönflies Einteilung nach Chiralität bzw. Drehinversion }{{} H. M. eigentliche SO (1. Art): z.b. Drehungen Chiralität bleibt erhalten uneigentliche SO (2. Art): z.b. Inversion, Spiegelung, Drehinversion/Drehspiegelung Chiralität ändert sich

32 Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung Klassifizierung von Punkt-Symmetrie-Operationen einfache Einteilung Basis-SO: Drehungen, Spiegelung, Inversion (Punktspiegelung) zusammengesetzte SO: Drehspiegelung }{{} Schönflies Einteilung nach Chiralität bzw. Drehinversion }{{} H. M. eigentliche SO (1. Art): z.b. Drehungen Chiralität bleibt erhalten uneigentliche SO (2. Art): z.b. Inversion, Spiegelung, Drehinversion/Drehspiegelung Chiralität ändert sich Chiralität = Abwesenheit von Symmetrieelementen 2. Art

33 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

34 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Rotationen (SO) / Drehachsen (SE) Beschreibung Rotationssymmetrie: Drehung um 360 um eine Achse n SE: n-zählige Drehachse (Gerade) SO: Drehung, Rotation jede n-zählige Drehachse bedingt n 1 SO z.b. C 3 -Achse = C C2 3 C n n = E (n-1 SO/SE) eigentliche SO (1. Art): Chiralität bleibt erhalten Bezeichnungen H.M.: einfache Zahl (z.b. 3) Schönflies: C n (z.b. C 3) C = cyclische Gruppe: alle Elemente sind Potenzen eines Grundelementes Abelsche Gruppe (Kommutativgesetz gilt: z.b.: C 2 3 = C1 3 C1 3 ) Symbole: Polygone mit n Ecken

35 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Beispiele s. Vorlage 2.1. (Objekte mit Drehachse alleine, 2D/3D) Web-Seite Vorlage 2.1, z.b. C 2 und C 3 Hermann- Schön- Zei- Beispiele Mauguin- flies- chen 2-dimensional 3-dimensional Symbol div. Moleküle Kristallpolyeder Cl S S 2 C 2 Cl C 12 H 22 O 11 3 C 3 NaIO 4 3H 2 O

36 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Mathematische Beschreibung Lagekoordinaten x 1,y 1,z 1 symmetrieäquivalente Koordinaten x 2,y 2,z 2 y x 1 1 y 1 SO y 2 x x 2 2 Symmetrieoperation = 3 3-Matrix, die mit (Spalten)-Vektor (x 1,y 1,z 1) multipliziert, die Koordinaten des symmetrieäquivalenten Punktes ergibt:??? x 1 x 2??? =??? y 1 z 1 y 2 z 2

37 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Mathematische Beschreibung von Drehungen kartesische Koordinaten 2-dimensionaler Fall: Drehachse Blickrichtung y x 1 β r 1 y 1 β r x 2 α y 2 2 x Koordinaten der beiden Punkte 1 x 1 = r cosβ und y 1 = r sinβ 2 x 2 = r cos(α β) und y 2 = r sin(α β)

38 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Mathematische Beschreibung von Drehungen Koordinaten der beiden Punkte 1 x 1 = r cosβ und y 1 = r sinβ 2 x 2 = r cos(α β) und y 2 = r sin(α β) mit (s. Bronstein) cos(α β) = cosαcosβ +sinαsinβ sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ folgt für die Koordinaten des transformierten Punktes ➋: x 2 = r cosαcosβ +r sinαsinβ = x 1 cosα+y 1 sinα y 2 = r sinαcosβ +r cosαsinβ = x 1 sinα+y 1 cosα und ( damit für die Matrix )( im) zweidimensionalen ( ) Fall: cosα sinα x1 x2 = sinα cosα y 1 und entsprechend in drei Dimensionen (Drehachse = z-achse): cosα sinα 0 sinα cosα y 2

39 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Symmetrieangepaßte Koordinatensysteme symmetrieangepaßte Koordinatensysteme (KS) einfache Matrizen: 2- oder 4-zählige Achsen: rechtwinkliges KS (3D) z.b. C4: oder 6-zählige Achsen (KS mit 120 -Winkel zwischen a und b) y 2 y,x y 1 x,y x 3 y x, x ( ) ( ) 1 1 bzw. 1 0

40 I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) Zusammenfassung: Rotationen/Drehachsen C n bzw. n cosα sinα 0 M = sinα cosα eigentliche Symmetrieoperationen, da det(m) = cos 2 α+sin 2 α = +1 mit 2D/3D-Translation vereinbar (kristallographisch) 1, 2, 3, 4, 6

41 II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

42 II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) Beschreibung SO: Spiegelung SE: Spiegelebene (Fläche) für m z (x,y,z x,y, z) M = det(m) = 1 uneigentliche SO = SO 2. Art σ 2 = E (eine SO/SE) Bezeichnung HM: m (Mirror plane) ( zur Blickrichtung) Schönflies: σ Symbol: durchgezogene Linie: senkrecht bzw. in zur/der Papierebene

43 II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) Beispiele Hermann- Schön- Zei- Beispiele Mauguin- flies- chen 2-dimensional 3-dimensional Symbol div. Moleküle Kristallpolyeder m σ Cl Cl S F F O N S F F F F F Ca 2 B 5 O 9 Cl H 2 O (Hilgardit-4M) s.a. Hilgardit-4M im Mineralienatlas Web-Seite Vorlage 2.2

44 III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

45 III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Beschreibung SO: Punktspiegelung, Inversion SE: Inversionszentrum (Punkt) Zentrosymmetrie x,y,z x, y, z (für i im Ursprung des KS) M = det(m) = 1 uneigentliche Symmetrieoperation (2. Art) i 2 = E (eine SO/SE) Bezeichnung HM: 1 (s.u.) Schönflies: i Symbol:

46 III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Beispiele Hermann- Schön- Zei- Beispiele Mauguin- flies- chen 2-dimensional 3-dimensional Symbol div. Moleküle Kristallpolyeder 1 i Cl Br H C H C Cl Br MnSiO 3 (Rhodonit) s.a. Rhodonit im Mineralienatlas Web-Seite Vorlage 2.2.

47 Stereographische Projektion 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

48 Stereographische Projektion Stereographische Projektion (VL 2.3.) N S P D F C A E D B G C A F E D G B Kugel um das Objekt (Molekül, Kristallpolyeder, etc.) Projektion der Punkte (Atome, Flächenmittelpunkte, Polyederecken etc.) auf die Kugelfläche (z.b. Lampe im Kugel-Zentrum Schattenpunkt P) Verbinden von P mit dem Gegenpol (N/S) Durchstoßpunkt D durch Äquatorfläche = Markierung (mit Kennung, ob vom N/S-Pol projeziert wurde)

49 Stereographische Projektion Stereographische Projektion (VL 2.3.) N S P D F C A E D B G C A F E D G B Kugel um das Objekt (Molekül, Kristallpolyeder, etc.) Projektion der Punkte (Atome, Flächenmittelpunkte, Polyederecken etc.) auf die Kugelfläche (z.b. Lampe im Kugel-Zentrum Schattenpunkt P) Verbinden von P mit dem Gegenpol (N/S) Durchstoßpunkt D durch Äquatorfläche = Markierung (mit Kennung, ob vom N/S-Pol projeziert wurde) = einfache Beispiele

50 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

51 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen Definition zusammengesetzter Symmetrieoperationen Schönflies: Drehspiegelachsen Drehung, gefolgt von Spiegelung an Ebene Drehachse Bezeichung: S n Hermann-Mauguin: Drehinversionsachsen Drehung, gefolgt von Inversion Bezeichnung: n (n-quer) kristallographisch: 1, 2, 3, 4, 6

52 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen Vergleich der zusammengesetzten Symmetrieoperationen Elemente n=1 n=2 n=3 n=4 n=6 Dreh- S 1 S 2 S 3 S 4 S 6 spiegel- σ i C 3h achse S n Dreh inversions- i m 3+i achse 3 m n s. a. Vorlage 2.2.

53 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen Fazit zusammengesetzte Symmetrieoperationen Schönflies: Drehspiegelachsen Drehung, gefolgt von Spiegelung an Ebene Drehachse Bezeichung: S n Hermann-Mauguin: Drehinversionsachsen Drehung, gefolgt von Inversion Bezeichnung: n (n-quer) kristallographisch: 1, 2, 3, 4, 6

54 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen Fazit zusammengesetzte Symmetrieoperationen Schönflies: Drehspiegelachsen Drehung, gefolgt von Spiegelung an Ebene Drehachse Bezeichung: S n Hermann-Mauguin: Drehinversionsachsen Drehung, gefolgt von Inversion Bezeichnung: n (n-quer) kristallographisch: 1, 2, 3, 4, 6 NEU: 4 Vergleich: Schönflies Hermann-Mauguin 1 = S 2 = i 2 = S 1 = m = σ 3 = S 6 4 = S 4 6 = S 3 = 3 m

55 IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen Fazit zusammengesetzte Symmetrieoperationen Schönflies: Drehspiegelachsen Drehung, gefolgt von Spiegelung an Ebene Drehachse Bezeichung: S n Hermann-Mauguin: Drehinversionsachsen Drehung, gefolgt von Inversion Bezeichnung: n (n-quer) kristallographisch: 1, 2, 3, 4, 6 NEU: 4 Vergleich: Schönflies Hermann-Mauguin 1 = S 2 = i 2 = S 1 = m = σ 3 = S 6 4 = S 4 6 = S 3 = 3 m kristallographische Symmetrieoperationen insgesamt 8 Stück: 1, 2, 3, 4, 6, 1 = i, 2 = m, ( 3 = 3+i), 4, ( 6 = 3 m )

56 2.3. Punktgruppen (2/3D) 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

57 2.3. Punktgruppen (2/3D) Kristallographische Symmetrien 6 Basis-Symmetrieelemente 8 Basis-Symmetrieelemente 1,2,3,4,6,m 1,2,3,4,6, 1= i, 2 = m,( 3 = 3+i), 4,( 6 = 3/m) Kombinationen (mit festem Punkt) Kombinationen (mit festem Punkt) 10 Punktgruppen Kristallklassen 32 Punktgruppen Kristallklassen individuelle Translationen Gesamttranslationen Gesamttranslationen individuelle Translationen Zentrierungen p,c Gleitspiegelebenen Zentrierungen P,C,I,R,F Gleitspiegelebenen Schraubenachsen Kombinationen Kombinationen 17 Flächengruppen 230 Raumgruppen Beschreibung in geeigneten KS Beschreibung in geeigneten KS 4 Kristallsysteme 7 Kristallsysteme 2-dim. Translation (Flächengruppen) 3-dim. Translation (Raumgruppen)

58 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

59 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppe = Sammlung von Symmetrie-Operationen eines Objektes (z.b. eines Moleküls) 1 bzw. Multiplikation der 3 3-Transformationsmatrizen

60 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppe = Sammlung von Symmetrie-Operationen eines Objektes (z.b. eines Moleküls) Punkt: mindestens ein Punkt bleibt fest Gruppe: Die Symmetrieoperationen erfüllen bzgl. der Verknüpfung Hintereinanderausführen ( ) 1 die Bedingungen einer mathematischen Gruppe: 1 Eine Gruppe ist eine Menge G von Elementen g i, zwischen denen eine Verknüpfung besteht, so dass jedem geordneten Paar g i, g j genau ein Element g k G zugeordnet ist. (Abgeschlossenheit) 2 Die Verknüpfung ist assoziativ, es gilt (g i g j ) g k = g i (g j g k ) 3 Es gibt ein Neutralelement e für das gilt: e g i = g i e = g i für alle g i G 4 Für alle Elemente g gibt es ein Inverses Element g 1 für das gilt: g g 1 = g 1 g = e 1 bzw. Multiplikation der 3 3-Transformationsmatrizen

61 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppe = Sammlung von Symmetrie-Operationen eines Objektes (z.b. eines Moleküls) Punkt: mindestens ein Punkt bleibt fest Gruppe: Die Symmetrieoperationen erfüllen bzgl. der Verknüpfung Hintereinanderausführen ( ) 1 die Bedingungen einer mathematischen Gruppe: 1 Eine Gruppe ist eine Menge G von Elementen g i, zwischen denen eine Verknüpfung besteht, so dass jedem geordneten Paar g i, g j genau ein Element g k G zugeordnet ist. (Abgeschlossenheit) 2 Die Verknüpfung ist assoziativ, es gilt (g i g j ) g k = g i (g j g k ) 3 Es gibt ein Neutralelement e für das gilt: e g i = g i e = g i für alle g i G 4 Für alle Elemente g gibt es ein Inverses Element g 1 für das gilt: g g 1 = g 1 g = e Kristallklassen: kristallographische Punktgruppen (nur Drehachsen 1, 2, 3, 4, 6) 1 bzw. Multiplikation der 3 3-Transformationsmatrizen

62 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppen Kristallklassen Punktgruppe = Sammlung von Symmetrie-Operationen eines Objektes (z.b. eines Moleküls) Punkt: mindestens ein Punkt bleibt fest Gruppe: Die Symmetrieoperationen erfüllen bzgl. der Verknüpfung Hintereinanderausführen ( ) 1 die Bedingungen einer mathematischen Gruppe: 1 Eine Gruppe ist eine Menge G von Elementen g i, zwischen denen eine Verknüpfung besteht, so dass jedem geordneten Paar g i, g j genau ein Element g k G zugeordnet ist. (Abgeschlossenheit) 2 Die Verknüpfung ist assoziativ, es gilt (g i g j ) g k = g i (g j g k ) 3 Es gibt ein Neutralelement e für das gilt: e g i = g i e = g i für alle g i G 4 Für alle Elemente g gibt es ein Inverses Element g 1 für das gilt: g g 1 = g 1 g = e Kristallklassen: kristallographische Punktgruppen (nur Drehachsen 1, 2, 3, 4, 6) Laueklassen: Kristallklassen mit Inversionszentrum 1 bzw. Multiplikation der 3 3-Transformationsmatrizen

63 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Gruppentheorie: Beispiel einer Gruppentafel c 2 O2 O1 O1 O2 σ v " O1 O2 S σ v, S σ v " S Cl2 Cl2 Cl1 Cl1 Cl1 Cl2 σ v, c 2 E C 2 σ v σ v E E C 2 σ v σ v C 2 C 2 E σ v σ v σ v σ v σ v E C 2 σ v σ v σ v C 2 E

64 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Gruppentheorie, angewandt in der Molekülchemie Def. Die Molekülsymmetrie bildet eine Gruppe, welche die Punktgruppe P des Moleküls genannt wird.

65 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Gruppentheorie, angewandt in der Molekülchemie Def. Die Molekülsymmetrie bildet eine Gruppe, welche die Punktgruppe P des Moleküls genannt wird.... in der Kristallchemie/Kristallographie Def. Die Punktgruppe P einer Kristallstruktur ist die Symmetriegruppe des Bündels der Flächennormalen. Def. Die Menge aller Symmetrieoperationen (Isometrien) einer Kristallstruktur heißt die Raumgruppe G dieser Kristallstruktur. G ist eine unendliche Gruppe.

66 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Gruppentheorie, angewandt in der Molekülchemie Def. Die Molekülsymmetrie bildet eine Gruppe, welche die Punktgruppe P des Moleküls genannt wird.... in der Kristallchemie/Kristallographie Def. Die Punktgruppe P einer Kristallstruktur ist die Symmetriegruppe des Bündels der Flächennormalen. Def. Die Menge aller Symmetrieoperationen (Isometrien) einer Kristallstruktur heißt die Raumgruppe G dieser Kristallstruktur. G ist eine unendliche Gruppe.... für beide: lokale Punktsymmetrie Def. Die Menge aller Symmetrieoperationen einer Punkt/Raum-Gruppe, welche einen Punkt festlassen, heißt die Lagesymmetriegruppe S (Stabilisator) dieses Punktes. S ist eine Untergruppe von P bzw. G. Punkte allgemeiner Lage: S = I

67 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

68 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur I: Schönflies (VL 2.4.) Bezugssystem mit vertikaler Hauptachse (z-achse) grosser Buchstabe mit kleinen Zahlen/Buchstaben große Buchstaben: C zyklische Gruppe, nur eine Drehachse D Diedergruppe: senkrecht zur Hauptachse weitere 2-zählige Achsen S Drehspiegelachsen alleine T,O,I Tetraeder-, Oktaeder- oder Ikosaeder-Symmetrie kleine Indizes: Orientierung weiterer Symmetrieelemente h horizontale Spiegelebene v vertikale Spiegelebene d diagonale Spiegelebene i Inversionszentrum alleine s Spiegelebene alleine

69 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur I: Schönflies (VL 2.4.) Bezugssystem mit vertikaler Hauptachse (z-achse) grosser Buchstabe mit kleinen Zahlen/Buchstaben große Buchstaben: C zyklische Gruppe, nur eine Drehachse D Diedergruppe: senkrecht zur Hauptachse weitere 2-zählige Achsen S Drehspiegelachsen alleine T,O,I Tetraeder-, Oktaeder- oder Ikosaeder-Symmetrie kleine Indizes: Orientierung weiterer Symmetrieelemente h horizontale Spiegelebene v vertikale Spiegelebene d diagonale Spiegelebene i Inversionszentrum alleine s Spiegelebene alleine Beispiel: Rutil-Kristall: (und viele andere hier) Rutil im Mineralienatlas

70 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur II: Hermann-Mauguin (VL 2.4) Symmetrieelemente, auf bestimmte Richtungen eines KS bezogen (bis zu 3 Bezeichnungs- oder Blickrichtungen) Einzelbezeichnungen (für jede Blickrichtung) n die Richtung enthält eine n-zählige Drehachse n die Richtung enthält eine n-zählige Drehinversionsachse m zur Richtung verläuft eine Spiegelebene n die Richtung enthält eine n-zählige Drehachse mit senkrechter Spiegelebene m

71 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur II: Hermann-Mauguin (VL 2.4) Symmetrieelemente, auf bestimmte Richtungen eines KS bezogen (bis zu 3 Bezeichnungs- oder Blickrichtungen) Einzelbezeichnungen (für jede Blickrichtung) n die Richtung enthält eine n-zählige Drehachse n die Richtung enthält eine n-zählige Drehinversionsachse m zur Richtung verläuft eine Spiegelebene n die Richtung enthält eine n-zählige Drehachse mit senkrechter Spiegelebene m Hermann-Mauguin-Symbole H.M.-Langsymbol: alle SE bzgl. dieser Richtungen werden genannt H.M.-Kurzsymbol: Achsen, die sich aus bereits genannten SE ergeben, bleiben ungenannt (z.b. m m m = 4 mm = 4/mmm ) m

72 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur II: Hermann-Mauguin (VL 2.4) (bis zu 3) Bezeichnungs/Blick-Richtungen eine Achse höchster Zähligkeit (nicht kubisch) Blickrichtungen: z Achse höchster Zähligkeit ( Hauptachse, analog Schönflies) x z!! das SE (2 bzw. m) in x kommt noch in weiteren Richtungen x vor, weil es durch die höherzählige Achse in z vervielfacht wird d zwischen x und der nächsten zu ihr symmetrieäquivalenten Richtung x Beispiel: Rutil-Kristall: (und viele andere hier)

73 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur II: Hermann-Mauguin (VL 2.4) (bis zu 3) Bezeichnungs/Blick-Richtungen eine Achse höchster Zähligkeit (nicht kubisch) Blickrichtungen: z Achse höchster Zähligkeit ( Hauptachse, analog Schönflies) x z!! das SE (2 bzw. m) in x kommt noch in weiteren Richtungen x vor, weil es durch die höherzählige Achse in z vervielfacht wird d zwischen x und der nächsten zu ihr symmetrieäquivalenten Richtung x Beispiel: Rutil-Kristall: (und viele andere hier) kubische Punktgruppen (mehrere Achsen höherer Zähligkeit) vier 3-zählige Achsen (Raumdiagonalen eines Würfels: x + y + z,..) Blickrichtungen: z = Kanten des Würfels x +y +z = Raumdiagonalen des Würfels x + y = Flächendiagonalen des Würfels Beispiel: Oktaeder oder Würfel oder Tetraeder

74 2.3. Punktgruppen (2/3D) Nomenklatur Nomenklatur III: Nomenklatur nach Groth (Geologische Bezeichnungen) eigene Bezeichnungen, z.b. monoklin-domatisch = 1m1 = C s ditrigonal-pyramidal = 3m1 = C 3v hexakistetraedrisch = 43m = T d

75 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

76 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Wdh. der Übersicht zu kristallographischen Symmetrien 6 Basis-Symmetrieelemente 8 Basis-Symmetrieelemente 1,2,3,4,6,m 1,2,3,4,6, 1= i, 2 = m,( 3 = 3+i), 4,( 6 = 3/m) Kombinationen (mit festem Punkt) Kombinationen (mit festem Punkt) 10 Punktgruppen Kristallklassen 32 Punktgruppen Kristallklassen individuelle Translationen Gesamttranslationen Gesamttranslationen individuelle Translationen Zentrierungen p,c Gleitspiegelebenen Zentrierungen P,C,I,R,F Gleitspiegelebenen Schraubenachsen Kombinationen Kombinationen 17 Flächengruppen 230 Raumgruppen Beschreibung in geeigneten KS Beschreibung in geeigneten KS 4 Kristallsysteme 7 Kristallsysteme 2-dim. Translation (Flächengruppen) 3-dim. Translation (Raumgruppen)

77 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Übersicht 2D-Punktgruppen (VL 2.5.) mit Translation vereinbare SE 1, 2, 3, 4, 6 und m Hauptachse senkrecht zur Ebene (z ist 3. Dimension) Bezeichnungsrichtungen: z, x, d (z Ebene) Kombination zu 10 Punktgruppen, in 4 Koordinatensystemen, danach geordnet Nr. Hermann- Schön- Koordinaten- Nr. Hermann- Schön- Koordinaten- Mauguin flies- System Symbol Mauguin flies- System Symbol 1 1 C 1 schiefwinklig C 4 quadratisch 2 2 C 2 (a b; 6 4mm C 4v (a = b;γ = 90 ) γ beliebig) C 3 hexagonal 3 1m1 C m rechtwinklig 8 3m1 C 3v a = b; 4 2mm C 2v (a b; C 6 γ = 120 γ = 90 ) 10 6mm C 6v

78 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Übersicht 3D-Punktgruppen (VL 2.5.) mit Translationssymmetrie vereinbare SE: 1, 2, 3, 4, 6, 1, 2=m und 4!! statt 3 m wird i. A. 6 verwendet!! (Bsp: Prismen)!! 3 ist für (3 + Inversion) in Gebrauch!! (Bsp: Antiprismen) Kombination zu 32 Punktgruppen = Kristallklassen in 7 Koordinatensystemen (Kristallsystemen) geordnet nach KS

79 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Übersicht 3D-Punktgruppen (VL 2.5.) Nr. Hermann-Mauguin Schön- Koordinaten- Nr. Hermann-Mauguin Schön- Koordinaten- Kurz- Lang- flies- system Kurz- Lang- flies- system symbol symbol C 1 triklin C 3 trigonal C i (a b c; S 6 (hexagonale A.) α β γ) 18 3m1 3m1 C 3v (a = b c; 3 m 1m1 C s monoklin D 3 α=β=90 ; C 2 (a b c; 20 3m1 3 2 m 1 D 3d γ = 120 ) 2 5 m 1 2 m 1 C 2h α=γ=90 ;β 90 ) C 6 hexagonal 6 mm2 mm2 C 2v orthorhombisch C 3h (a = b c; D 2 (a b c; 23 m 2 8 mmm m 6 m C 6h α = β = 90 ; 2 2 m m D 2h α = β = γ = 90 ) 24 6m2 6m2 D 3h γ = 120 ) 25 6mm 6mm C 6v C 4 tetragonal D S 4 (a=b c; 27 6 m mm m m m D 6h m m C 4h α=β=γ=90 ) T kubisch mm 4mm C 4v 29 m 3 m 3 T h (a = b = c; 13 42m 42m D 2d 30 43m 43m T d α=β=γ=90 ) D O 15 4 m mm 4 m 2 m 2 m D 4h 32 m 3m 4 m 3 2 m O h

80 2.3. Punktgruppen (2/3D) Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Schema zur Punktgruppenbestimmung (VL 2.5) nein Inversions- zentrum? nein ja nein horizontale Spiegelebene? Cn-Achse? ja C s nein ja nein senkrechte 2-zählige Achsen? Spezielle Gruppe? nur S2n- Achsen? ja S 2n ja mehrere Achsen höherer Zähligkeit nein T d O h I h linear? horizontale Spiegelebene? nein C v ja ja D v C 1 C i nein ja horizontale Spiegelebene? horizontale Spiegelebene? nein ja nein ja vertikale Spiegelebene? C nh diagonale Spiegelebene? D nh nein ja nein ja C n C nv D n D nd

81 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) Punktgruppen und Polarisations-Eigenschaften 5 PG E 4, 42m, 6, 6m2, 43m 5 PG m, mm2, 3m, 4mm, 6mm D 5 PG C 1,2,3,4,6 11 PG 6 PG B A zentro symmetrisch 222, 422, 622, 23, 321,432 A: 11 zentrosymmetrische PG für Polarisations-Eigenschaften uninteressant B+C+D+E: 21 azentrische PG davon 20 (ohne 432) piezoelektrisch B+C+D: (ohne 432): 15 PG mit polarer Achse kein i oder m zur Drehachse Drehung der Polarisationsebene des polarisierten Lichts (optisch aktiv) B+C 11 PG ohne SE 2. Art (m oder i) PG für enantiomerenreine chirale Moleküle C+D 10 PG ohne 222 als Untergruppe pyroelektrisch kann ferroelektrisch sein (bei Strukturen mit umkehrbarer Polarisation)

82 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung

83 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Beispiele nach Schönflies geordnet, VL 2.6. bis Web-Seite 2.6 (Punktgruppen C nv) 2.7 (Punktgruppen C nh ) 2.8 (Punktgruppen D n) 2.9 (Punktgruppen D nh ) 2.10 (Punktgruppen D nh und S n) 2.11 (Tetraeder- und Oktaedergruppen)

84 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Übung 2.1. Einleitung Definitionen, Nomenklatur, Klassifizierung I: Rotationen (SO) /Drehachsen (SE) II: Spiegelung (SO) / Spiegelebene (SE) III: Inversion (SO) / Inversionszentrum (SE) Stereographische Projektion IV: Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2.3. Punktgruppen (2/3D) Punktgruppen Kristallklassen Nomenklatur Übersicht kristallographische Punktgruppen (2D/3D) Punktgruppen und physikalische Eigenschaften (Polarisation) 2.4. Beispiele: Moleküle, Kristall/Koordinations-Polyeder Beispiele Übung