II.3. Primitive Elementarzellen und Basisvektoren

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1 II.3. Primitive Elementarzellen und Basisvektoren Elementarzelle (EZ): lückenlose Überdeckung des Raumes, Beispiel: Würfel für kubische Gitter, Primitive EZ: enthält 1 Gitterpunkt Beispiel: kubische bcc-struktur Konventionelle EZ: Würfel: 1 N fcc-struktur 1 1 N Konventionelle und primitive EZ sowie ein Satz primitiver Basisvektoren für bcc und fcc Gitter 1

2 II.4. Die Wigner-Seitz-Zelle Definition: die Wigner-Seitz-Zelle ist die Menge von Punkten, die zu einem Gitterpunkt einen kleineren Abstand haben als zu allen anderen Gitterpunkten Wigner-Seitz-Zelle eines zweidimensionalen Bravais-Gitters Wigner-Seitz-Zelle des bcc-gitters Wigner-Seitz-Zelle des fcc-gitters 2

3 II.5. Bravais-Gitter und Kristall-Struktur Eine Kristall-Struktur entsteht aus einem Bravais-Gitter durch Besetzung eines jeden Gitterpunktes mit einer ein- oder mehratomigen Basis Einatomige Basis 3

4 Zwei-atomige Basis: Diamant-Struktur Kochsalz-Struktur 4

5 II.6. Dichteste Kugelpackungen Ein- und zwei-dimensionale Kugelpackungen Hexagonal-dichteste Kugelpackung Reihenfolge ABABAB.. 5

6 Kubisch-dichteste Kugelpackung? Packe die Kugeln in der Reihenfolge ABCABC (b) fcc-struktur! 6

7 III. Das reziproke Gitter Was ist das wichtigste mathematische Objekt in der Physik? ebene Welle exp( ik r) periodische Struktur 2 Wellenlänge k Ebene Wellen und Bravais-Gitter nur für bestimmte Wellenvektoren K übereinstimmende Periodizität Definition: die Menge aller Wellenvektoren K die Wellen mit derselben Periodizität wie das gegebene Bravais-Gitter ergeben: reziprokes Gitter des Bravais-Gitters 7

8 Mathematische Formulierung III.2. Explizite Konstruktion des reziproken Gitters Seien bilde a, a, a ein Satz primitiver Basisvektoren des Bravais-Gitters, Dann gilt Mit dem Kronecker-Symbol ikr e 1 K R 2 N; N k, k, k Reziprokes Gitter: Bravais-Gitter 8

9 III.3. Wichtige Beispiele: 1. sc 2. fcc 3. bcc bcc-gitter mit Kantenlänge 4π/a fcc-gitter mit Kantenlänge 4π/a 9

10 III. 4. Die (erste) Brillouin-Zone Die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters heißt Brillouin-Zone Brillouin-Zone des fcc-gitters 10

11 III.5. Gitterebenen Eine Gitterebene enthält mindestens 3 nicht-kollineare Gittervektoren. Damit enthält sie unendliche viele Gitterpunkte und bildet ein zweidimensionales Netz, sie heißt daher auch Netzebene. Schar von Netzebenen: Menge von parallelen, äquidistanten Netzebenen, die alle Gitterpunkte enthalten 11

12 Theorem: Für jede Netzebenenschar mit Abstand d existieren reziproke Gittervektoren K, die senkrecht auf den Ebenen stehen und deren kürzester die Länge 2 / d hat. Umgekehrt gibt es zu jedem Gittervektor K eine Netzebenenschar, auf der K senkrecht steht und die einen Abstand d 2 / K haben, wobei K der kürzeste Vektor parallel zu K ist. min min Beweis: 1. Sei n ein Normalenvektor auf der Netzebenenschar. Dann ist K 2 / d n ein reziproker Gittervektor. Denn a) exp(i K r ) A ist konstant für alle Gitterpunkte auf allen Netzebenen (Ebenengleichung und Periodizität einer ebenen Welle für =2 / K =d). b) da eine der Netzebenen den Punkt r 0 enthält, gilt A 1. c) K ist auch der kürzeste Vektor mit dieser Eigenschaft, da ein kürzer eine ebene Welle definieren würde, deren Wellenlänge d wäre, die dann aber nicht auf allen Netzebenen den Wert 1 hätte. 2. Sei ein beliebiger Gittervektor gegeben, K der kürzeste parallele. Dann liegen die Phasenflächen der durch K beschriebenen ebenen Welle exp(i K r) mit Wert 1 senkrecht auf K und haben einen Abstand (Wellenlänge) =2 / K d. Sie enthalten auch alle Gitterpunkte R, da gilt exp(i K R) 1. q.e.d. 12

13 Miller-Indizes Jede Netzebenenschar kann durch den zugehörigen reziproken Gittervektor K hb kb lb min eindeutig beschrieben werden. Millersche Indizes: h, k, l der Netzebenenschar. Konventionen: Netzebenen und Richtungen im reziproken Raum ( h, k, l). negative Millerindizes werden abgekürzt als: h h. Richtungen im realen (direkten) Raum [ m, n, p]. symmetrie-äquivalente Netzebenen und Richtungen im reziproken Raum {h,k,l} symmetrie-äquivalente Richtungen im direkten Raum m, n, p 13