Grundlagen der Physik 3 Lösung zu Übungsblatt 1

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1 Grundlagen der Physik 3 Lösung zu Übungsblatt Daniel Weiss 0. Oktober 200 Inhaltsverzeichnis Aufgabe - Anzahl von Atomen und Molekülen a) ohlensto b) Helium b) Sticksto d) Sauersto Aufgabe 2 - enngröÿen idealer Gase 2 a) Anzahl Moleküle in Luft b) mittlerer Abstand c) Raumausfüllungsfaktor d) mittlere freie Weglänge e) a-d bei erhöhtem Druck e) a-d bei erhöhter Temperatur Aufgabe 3 - Dichte der Luft a) Mit Hilfe der Molekulargewichte b) - Mit Hilfe gerundeter Massezahlen Aufgabe - kinetische Mittelwerte a) mittlere kinetische Energie b) mittlere Geschwindigkeit Aufgabe 5 - minimale Planetengröÿe 5 Aufgabe 6 - Versuch von Jean Perrin 5 a) Masse der olloidteilchen b) Boltzmann- und Avogadrokonstante c) Molmasse d) Teilchenzahl für exakte Boltzmannkonstante

2 Aufgabe Alle Gröÿen können durch auösen der allgemeinen Gasgleichung: pv = nrt () bestimmt werden. a) 2g 2 C enthält Atome. Daher enthalten 0g: Atome , = 5, (2) b) Atome. k B T = 0 5 Pa 0 3 m 3 = 2,65, J 273,5 (3) c) Wir suchen die Anzahl der Moleküle; das Ergebnis muss demnach halbiert werden. Ein Stickstoatom wiegt ca. u. Es sind also 2 000g g 6, = 2, () d) k B T = 2 07 Pa m 3 = 9,82, J 295,5 (5) Aufgabe 2 Diese Aufgabe ist wieder eine Anwendung der allgemeinen Gasgleichung. a) k B T = 0 5 Pa m 3 = 2,65, J 273,5 (6) b) Pastert man das gesamte als kubisch angenommene Volumen mit gröÿtmöglichen Würfeln, welche jeweils ein Luftekül enthalten, so ist die antenlänge dieser Würfel der gesuchte mittlere Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier d = 3 n = 3,35nm (7) 2

3 c) Der Raumausfüllungsfaktor ist das Verhältnis des Volumens der Atome zum gesamten verfügbaren Volumen bzw. der Einheitszelle bei ristallstrukturen. d) η = V Atome V gesamt = Λ = e) Es ergeben sich folgende Werte: i) ii) 3 π (0,nm)3 2, m 3 =, 0 (8) = = 22nm (9) 2nπd 2 2 2, π (0,nm) 2 m 3 k B T = Pa m 3 = 7,96, J 273,5 (0) d = 3 n = 0,50nm () iii) η = V Atome V gesamt = 3 π (0,nm)3 7, m 3 = 0,033 0 (2) iv) Λ = f) Es ergeben sich folgende Werte: i) ii) = = 0,7nm (3) 2nπd 2 2 7, π (0,nm) 2 m 3 k B T = 0 5 Pa m 3 =,08, J 673,5 () d = 3 n =,5nm (5) iii) iv) η = V Atome V gesamt = Λ = 3 π (0,nm)3, m 3 =, (6) = = 520nm (7) 2nπd 2 2, π (0,nm) 2 m 3 3

4 Aufgabe 3 a) Aus der Literatur (encyclopedia.airliquide.com) habe ich folgende Molekulargewichte: Sticksto : Sauersto : Daraus ergibt sich eine Gesamtdichte von 28,03 g 3,9988 g 28,03 g 0,79 2, m 3 6, Sticksto 3,9988 g + 0,2 2, m 3 6, Sauersto =,27 kg (8) b) 28 g 0,79 2, m 3 6, Sticksto 32 g + 0,2 2, m 3 6, Sauersto =,27 kg (9) Aufgabe a) Nach dem Äquipartitionstheorem kommt jedem Freiheitsgrad dieselbe kinetische Energie zu, und zwar: E = 2 k BT (20) Stickstogas hat 5 Translations- und Rotationsfreiheitsgrade. Daraus folgt die mittlere kinetische Energie: E = 5 2 k BT = 5 2, J 295,5 =, J (2) b) Umstellen der Formel für die kinetische Energie: E = 2 mv2 (22)

5 liefert die mittlere Geschwindigkeit. 2E v = m = 2, J 0,028 kg 6, ,6 km s m h = 2383km h (23) Aufgabe 5 Zunächst muss die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Sauerstoeküle bestimmt werden. Diese ist nach Maxwell-Boltzmann: v 2 = 3k BT m = 3, J 673,5 0,032 kg = 5,2 0 5 m2 s 2 (2) 6, Der Planet ist groÿ genug, wenn er Moleküle der mittleren quadratischen Geschwindigkeit dauerhaft an sich binden kann. Die mittlere quadratische Geschwindigkeit entspricht also dem Quadrat der Fluchtgeschwindigkeit. Mit der Forderung der Äquivalenz von kinetischer und potentieller Energie für das Berechnen der Fluchtgeschwindigkeit G mm r = G m 3 πr3 ρ r lässt sich nun der minimale Radius berechnen 3 v r = 2 8 πρg = 3 8 5,2 0 5 m 2 s 2 = 2 mv2 (25) π 5500 kg m 3 6,672 0 m 3 kgs 2 = 3km (26) Aufgabe 6 a) Ein Teilchen hat die Masse m = 3 πr3 ρ = 3 π (2,2 0 7 m) 3 9 kg m 3 =, kg (27) Aufgrund der Auftriebskraft des Wassers ergibt sich mit dem archimedischen Prinzip eine scheinbare Masse m im Wasser: m = (m ρ Wasser V ) = (ρ T ρ W )V = (9 kg kg 000 m3 m 3 ) 3 π (2,2 0 7 m) 3 = 7,7 0 8 kg (28) b) Mit der barometrischen Höhenformel n(h 2 ) n(h ) = e m g kb T (h 2 h ) (29) 5

6 kann durch Umformung die Boltzmann-onstante berechnet werden. k B = ln m g ( n(h2 ) n(h ) ) (h 2 h ) =, J T (30) Die Avogadro-onstante wird mit der universellen Gaskonstante bestimmt. N A = R = 8,35 J k B, J (3) c) M = N A m = 2, kg d) Ausgehend von Gleichung 30 wird nach n(h 2 ) aufgelöst und der Literaturwert von k B eingesetzt. n(h 2 ) = e m g kb T (h 2 h ) n(h ) =,7 (33) (32) 6