E2: Wärmelehre und Elektromagnetismus 4. Vorlesung

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1 E2: Wärmelehre und Elektromagnetismus 4. Vorlesung Heute: - Freiheitsgrade realer Gase - Adiabatische Volumenänderungen - Kurze Einführung in die Quantenmechanik - Freiheitsgrade & Wärmekapazität realer Gase - Freiheitsgerade & Wärmekapazität realer Festkörpers - Phasenübergänge Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de Prof. Dr. Jan Lipfert 1

2 Wiederholung: Ideale Gase und Gleichverteilungssatz Kinetische Energie des idealen Gases: he kin i = 3 2 Nk BT Mittlere freie Weglänge: = 1 p 2 n d 2 Wenn sich eine System im thermischen Gleichgewicht befindet, entfällt auf jeden (klassischen) quadratischen Freiheitsgrad im Mittel eine Energie von ½ k B T pro Teilchen. Gesamtenergie des (klassischen) Festkörpers: he ges i =3Nk B T Ludwig_Boltzmann Ludwig Boltzmann ( ) Prof. Dr. Jan Lipfert 2

3 Wiederholung: 1. Hauptsatz Die Änderung ΔU der inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe der ihm netto zugeführten Wärme Q und der ihm netto zugeführten Arbeit W. U = Q + W Q, W sind Übertragungs- oder Prozessgrößen (= keine intrinsischen Größen, beschreiben Energietransfers) Q > 0 Wärme wird zugeführt < 0 Wärme wird abgeführt W > 0 System wird Arbeit zugeführt / am System verichtet < 0 System verrichtet Arbeit / Arbeit wird abgeführt Prof. Dr. Jan Lipfert 3

4 Wiederholung: Volumenarbeit W = p dv (W < 0! ΔV > 0 Gas expandiert & verrichtet Arbeit) (W > 0! ΔV < 0 Gas komprimiert & Arbeit wird am Gas verrichtet) W =0 W = p V W =ñrt ln V1 V Prof. Dr. Jan Lipfert 4

5 Wiederholung: Wärmekapazität Die Wärmekapazität eines Körpers C ist definiert als Wärme ΔQ, die zugeführt werden muss, um ihn um eine Temperatur ΔT zur erwärmen: Spezifische Wärmekapazität: Konstantes Volumen: V = konst. ΔW = 0 Molare Wärmekapazität: Konstanter Druck: p = konst Prof. Dr. Jan Lipfert 5

6 Wärmekapazität & Freiheitsgrade monoatomarer Gase Ein monoatomares Gas hat 3 translatorische Freiheitsgrade Prof. Dr. Jan Lipfert 6

7 Freiheitsgrade realer Gase: Rotation Rotation diatomares Gas Rotation polyatomare Gase Prof. Dr. Jan Lipfert 7

8 Freiheitsgrade realer Gase: Vibration Diatomare Schwingungen: Valenzschwingung Symmetrische Valenzschwingung Triatomare Schwingungen: Antisymmetrische Valenzschwingung Knickschwingung Prof. Dr. Jan Lipfert 8

9 Übersicht: Freiheitsgrade realer Gase Summe der Freiheitsgrade: Adiabatenkoeffizient: Molekül Freiheitsgrade C V (J/mol K) γ Monoatomig 3 Translation Ideal: 3/2 R = 12,5 Real: 12,5 (He) Diatomig Mehratomig (N Atome) 3 Translation 2 Rotation 2 Vibration (1 Mode) 3 Translation 3 Rotation 2 (3N-6) Vibration ((3N-6) Moden) Ideal: 7/2 R = 29,1 Real: 20,7 (N 2 ) 20,8 (O 2 ) Ideal: (3N-3) R Real: 29,0 (NH 4 ) 29,7 (CO 2 ) Siehe Plot! 5/3 = 1,66 1,67 9/7 = 1,29 1,4 1, Prof. Dr. Jan Lipfert 9

10 Adiabatische Volumenänderung Adiabatische Expansion Prof. Dr. Jan Lipfert 10

11 Adiabatische Zustandsänderung, fort Prof. Dr. Jan Lipfert 11

12 Beispiel: Adiabatische Kompression Ray Bradbury Fahrenheit 451 Pneumatisches Feuerzeug Prof. Dr. Jan Lipfert 12

13 Wärmekapazität von Gasen: Abweichung von der klassischen Vorhersage bei kleinen T Schwingungsfreiheitsgrade werden aktiviert Rotationsfreiheitsgrade werden aktiviert Prof. Dr. Jan Lipfert 13

14 Wärmekapazität von Festkörpern Pierre_Louis_Dulong Pierre Louis Dulong ( ) %C3%A9r%C3%A8se_Petit Alexis Thérèse Petit ( ) Raumtemperatur: Prof. Dr. Jan Lipfert 14

15 Quantenmechanik in zwei Folien... Teilchen, insbesondere Elektronen, werden durch Wellenfunktionen beschrieben (~r) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens ist durch das Quadrat der Wellenfunktion gegeben (~r) = (~r) 2 Die Wellenfunktionen erfüllen die Schrödingergleichung; (~r, t) =H (~r, t) Für stationäre (d.h. zeitlich konstante) Zustände (mit Energie E): (t) = (0)e i E ~ t H (~r, t) =E (~r, t) Hamiltonoperator für ein einzelnes Teilchen (der Masse m) in skalarem Potential: H = ~2 2m r2 + V (~r) (Stationäre) Schrödingergleichung: ~ 2 2m r2 + V (~r) (~r) =E (~r) Prof. Dr. Jan Lipfert 15

16 Lösungen der stationären Schrödingergleichung Teilchen im Potentialkasten: Wasserstoffatom (Coulombpotential): Harmonischer Oszillator: Diskrete Energieniveaus für gebundene Zustände Drehimpuls ist quantisiert; quantisierte Energieniveaus für Rotation Energieniveaus des harmonischen Oszillators: E n = ~!(n + 1 Planksches Wirkungsquantum h = 6, J s 2 ) ~ = h/2 Balmerserie Prof. Dr. Jan Lipfert 16

17 Rotationsquantisierung Quantenmechanisch: L = p j(j + 1)~ E rot = j(j + 1) 2I ~ Prof. Dr. Jan Lipfert 17

18 Wärmekapazität & Freiheitsgrade realer Gase Methan (CH 4 ) Messwerte für Methan aus Zu sehen sind Messwerte (grün) und einen kubischen Splinefit (lila) durch die Messwerte Prof. Dr. Jan Lipfert 18

19 PINGO: Modelle für diatomares Gas Ein Gas mit N diatomaren Molekülen kann durch zwei verschiedene Modelle klassisch beschrieben werden. Welche der folgenden Aussagen über dieses gas sind wahr? Abstimmen unter pingo.upb.de, # A) Model I hat die spezifische Wärme:. B) Model II hat eine kleinere spezifische Wärme als Model I. C) Model I ist immer richtig. D) Model II ist immer richtig. E) Die Wahl zwischen Model I und Model II hängt von der Temperatur ab. Model I Model II Prof. Dr. Jan Lipfert 19

20 Wärmekapazität von Festkörpern vs. Albert_Einstein Albert Einstein ( ) Peter_Debye Peter Debye ( ) Prof. Dr. Jan Lipfert 20