Lebensmittelphysik. Kinetische Gastheorie.

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2 2 Lebensmittelphysik. Kinetische Gastheorie. SS Sem. B.Sc. Lebensmittelwissenschaften Diese Präsentation ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung Nichtkommerziell Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz

3 Themen der Vorlesung 6 Zustandsgleichungen idealer Gase Druck in idealen Gasen Kinetische Energie von Gasen Mittlere Teilchengeschwindigkeit Mittlere freie Weglänge Reale Gase Unterschiede zwischen realem und idealem Gas

4 Kompressible Fluide 7 Bisher betrachtet: Inkompressible Fluide Kompressible Fluide Kompressibles Gas? Ideales und reales Gas Kompressible Flüssigkeiten werden hier nicht betrachtet (unter den betrachteten Bedingungen sind Flüssigkeiten inkompressibel) Anwendbarkeit auf kompressible Fluide erfordert zusätzliche Ansätze

5 Vorgänge in einem Gas 8 Mikroskopische Betrachtung von einzelnen Atome/Moleküle als Teilchen s. bewegte Fluide Geschwindigkeit Masse muss in eine makroskopische Betrachtung überführt werden

6 9 Zustandsgleichungen idealer Gase

7 Zustand eines Gases bei Raumtemperatur 10 Randbedingungen Mittlere Teilchengeschwindigkeiten v 100m/s Es finden Stöße statt (!) Zwischen den Teilchen Mit Begrenzungswänden Gravitation wird vernachlässigt Geringe Dichte Ohne zusätzliche äußere Kraft gibt es keine bevorzugte Bewegungsrichtung statistische gleichverteilte Bewegungsrichtung der Teilchen

8 Gesetz von Boyle-Mariotte 1) 12 Bei konstanter Temperatur gilt p : absoluter Druck in V: Volumen in m 3 Pa (1) 1) Unabhängig aufgestellt von Boyle, Robert (1662) und Edme Mariotte (1676)

9 Gesetz von Gay-Lussac 1) 13 Allgemein gilt für Gase p V C T p : absoluter Druck [Pa] V T C 3 : Volumen [m ] : Temperatur [K] : Konstante, gasmengenabhängig (2) 1) Jacque Charles ( ) und Joseph Luis ( ) Gay-Lussac

10 Gasmenge Teilchenzahl 14 Gasmenge C ist proportional zur Zahl der Gasmoleküle N C k N B N : Anzahl der Gasmoleküle [-] k B 23 : Boltzmann-Konstante (1, J/K) (3) 1) Ludwig Boltzmann ( )

11 Teilchenzahlen Stoffmenge 15 Die Angabe der Anzahl der Gasmoleküle ist meist störend Umrechnung in Stoffmenge N n N A N : Anzahl der Gasmoleküle [-] n : Stoffmenge [mol] N 1 A : Avogadro-Zahl [mol ] (4)

12 Zustandsgleichung für ideale Gase 17 (5) R 1 1 : Gaskonstante (8,314J mol K )

13 Einfache Zustandsänderungen im idealen Gas 18 1 der 3 Größen konstant halten isobare Vorgänge p = const isotherme Vorgänge T = const isochore Vorgänge V = const

14 Isobare Zustandsänderungen 20 Es gilt V T c o n s t. (6) Ändert sich die Temperatur von T 1 auf T 2, wird sich auch das Volumen von V 1 auf V 2 ändern V V const. V T T T V T (7)

15 Isotherme Zustandsänderungen 22 Es gilt V T c o n s t. (8) Ändert sich der Druck von p 1 auf p 2, wird sich auch das Volumen von V 1 auf V 2 ändern p V p1 V1 p2 V2 const. p V (9)

16 Isochore Zustandsänderungen 24 Es gilt V T c o n s t. (10) Ändert sich der Druck von p 1 auf p 2, wird sich auch die Temperatur von T 1 auf T 2 ändern p p p T const. T T p T (11)

17 Beispiel isobarer Vorgang 25 Ein Gas mit konstantem Druck p und einem Volumen V 1 = 10 L wird von einer Temperatur von T 1 = 0 C auf T 2 = 27 C aufgeheizt. Wie verändert sich das Volumen?

18 26 Druck in idealen Gasen

19 Vorbemerkung 27 Im Folgenden wird der Druck und der Impuls verwendet. Zur Unterscheidung der identischen Formelzeichen wird hier von den üblichen Einheiten abgewichen: Formelzeichen Druck: p Formelzeichen Impuls: p * statt p

20 Stöße zwischen den Teilchen 28 Statistisch verteilte Bewegung der Gasmoleküle bezogen auf Richtung und Geschwindigkeit führt zu Stößen zwischen den Teilchen auf die Stoßpartner wirkt eine Kraft Annahme: Elastische Stöße Kein Energieverlust z.b. durch Verformung Impuls, 1. Sem. Der Impuls p * aller Teilchen im Gas bleibt erhalten ist konstant

21 Auswirkungen auf das ideale Gas 29 Teilchen in einem idealen Gas haben einen (statistisch) gleichverteilten Impuls p * Das ideale Gas wird sich nicht plötzlich durch die Stöße zwischen den Teilchen in eine Richtung bewegen Die Teilchen bewegen sich in alle Richtungen und werden auf Begrenzungsflächen (Wänden) des Gases treffen Ein Teil des Impulses p * der Teilchen wird dabei auf die Wände übertragen Dadurch werden die Wände nach außen gedrückt Es entsteht ein Druck p auf die Wände

22 Zusammenhang zwischen Impuls und Druck im idealen Gas Für den Druck gilt p F A (12) 2. Für den Impuls der Teilchen gilt dv dp F m a m dt dt * (13) in 1. einsetzen p F 1 dp 1 p A A dt A t * * (14)

23 Interpretation 31 Teilchen, die auf die Wände treffen, üben eine Kraft F und damit einen Druck p auf sie aus Damit sich der Impuls p * der Teilchen ändern kann, müssen die Teilchen von den Wänden abprallen können Es entsteht ein Druck p auf die Wände Bei unverrückbaren Wänden entsteht dadurch ein Druck p in dem Gas (3. Newton sches Gesetz, actio = reactio) Zur Berechnung des Drucks p im Gas muss die Impulsänderung p * / t bestimmt werden

24 Berechnung der Impulsänderung p/ t 32 Betrachte Teilchen, das auf eine Wand trifft Die Masse des Teilchens m T ist um Größenordnungen kleiner als die Masse der Wand m W Der Impuls der Wand p * W ist vor und nach dem Stoß 0 m p T * * W, vorher W, nachher * W * W m W 0 p 0N s p t 0N p (15)

25 Stoß eines Teilchens auf die Wand 33 Betrachte einen Stoß senkrecht auf die Wand (nicht senkrechte Stöße lassen sich entsprechend zerlegen) Teilchen prallt von der Wand ab und bewegt sich in entgegengesetzter Richtung weiter Impuls, 1. Sem. p m v p * * T, vorher x T, nachher p p p 2 m v * * * T T, nachher T, vorher x p 2 m v * T x (16)

26 Stoßende Teilchen pro Zeiteinheit (1/3) 34 Betrachte einen Würfel mit N Teilchen mit einheitlicher Geschwindigkeit v Wie viele Teilchen prallen pro Zeiteinheit t auf die Fläche A? Willkürliche Festlegung Teilchen, die sich in positive x-richtung bewegen, treffen senkrecht auf die Fläche A Geschwindigkeit hat nur x-komponente (v = v x ) Zurückgelegte Strecke s s vx t (17) A x

27 Stoßende Teilchen pro Zeiteinheit (2/3) 35 Nur Teilchen mit dem Abstand s < s können pro Zeiteinheit t auf die Fläche A treffen Diese Teilchen befinden sich in dem Teilvolumen V Teil V s A v t A Teil x (18) s A x

28 Stoßende Teilchen pro Zeiteinheit (3/3) 36 Die Anzahl der Teilchen n * im Teilvolumen V Teil ist proportional zum Verhältnis der Volumina V Teil /V * V Teil vx t A n N N V V Die Hälfte der Teilchen bewegt sich in positive x- Richtung und prallt auf die Fläche A (19) * 1 VTeil 1 nx N N 2 V 2 v x t A V (20)

29 Änderung des Gesamtimpulses der Teilchen pro Zeiteinheit Aus (16) und (20) folgt 37 p n p * * * x x T p n p n 2 m v * * * * x x T x x 1 vx t N A 2 m v 2 V A 2 N m vx t V x (21)

30 Druck auf der Fläche A 38 Aus (14) und (21) folgt * * F 1 px 1 px m px N v A A t A t V und da v m px N v V x 2 2 vx 2 x x 2 (22)

31 Übergang zur normalverteilten Geschwindigkeit (1/2) 39 Gleiche Geschwindigkeit v bei den Teilchen tritt nicht auf. Folie 8 Änderungen durch Übergang zur normalverteilten Geschwindigkeit Keine!

32 Übergang zur normalverteilten Geschwindigkeit (2/2) 40 Geschwindigkeit wichtig, um den Abstand s auszudrücken. Was ändert sich? Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit können nur einen kleineren Abstand überwinden. Der Abstand s ist zu groß für sie. Teilchenzahl bei Fläche A wird geringer Teilchen mit höherer Geschwindigkeit können auch einen größeren Abstand überwinden zusätzliche Teilchen treffen auf die Fläche A Normalverteilte Geschwindigkeit ist um den Mittelwert symmetrisch verteilt. Teilchenzahl bleibt unverändert Verwendung der normalverteilten Geschwindigkeit möglich und richtig S A x

33 41 Statistische Größen v x und p x 2 v x Die normalverteilte Geschwindigkeit *2 sorgt für einen normalverteilten Impuls p x Beide Größen sind also tatsächlich statistische Größen (aus Bequemlichkeit wird auf die Kennzeichnung des Mittelwerts oft verzichtet) m m p N v p N v V V 2 2 x x x x (23)

34 v und p * für das gesamte Volumen 42 Für das Volumen wurde außerdem die Gleichverteilung von Geschwindigkeit v und Impuls p * angenommen (Isotropie des Raums) Die Anzahl der Teilchen N, die sich in jede Raumrichtung bewegen ist gleich Die Geschwindigkeiten v in jede Raumrichtung sind gleich Die Impulse p * in jede Raumrichtung sind gleich v v v v v v v 3 v x y z x y z x p p p p p p p 3 p * * * * * * * * x y z x y z x (24)

35 43 Kinetische Energie von Gasen

36 Vorüberlegung 44 Gasteilchen haben Geschwindigkeit Kinetische Energie Gase haben ebenfalls Geschwindigkeit Kinetische Energie Wie berechnen? Ziel: Auf bekannte und gut zu messende Größen zurückführen

37 Kinetische Energie der Teilchen 45 Betrachte die Formeln für die kinetische Energie E kin 1. Sem. die Zustandsgleichung für ideale Gase (5) 1. p V N k T p B :Mittlerer Druck [Pa] m 2 2. px N vx V 1 1 k T m v k T m v B x B x (25)

38 Mittlere kinetische Energie eines Teilchens 46 Pro Raumrichtung ergibt sich damit die mittlere kinetische Energie zu E E E E kin kin, x kin, y kin, z mv mv mv mv mv mv kb T x y z x x x (26)

39 Kinetische Energie des Gases 47 Ergibt sich aus der Summe der mittleren Energien der N Teilchen E N E N ( E E E ) kin kin kin, x kin, y kin, z N kb T n NA kb T n R T n : Molzahl [mol] R : Gaskonstante [J/(mol K) Noch zu berücksichtigen: Trägheitsmoment von Molekülen ] (27)

40 Massenverteilung in Molekülen 48 Bei Atomen steckt der größte Teil der Masse in den Atomkernen Modellvorstellung von Molekülbindungen Atome als Kugeln Bindungen als starre Verbindungen Einfachstes Molekül: H 2 Moleküle besitzen Trägheitsmoment Rotationsenergie

41 Gleichverteilung der Energie in Molekülen 50 Zweiatomige Moleküle 3 Freiheitsgrade durch Translation f = 3 (28) 2 Freiheitsgrade durch Rotation f = 2 (29) f = 3 +2 = 5 Mittlere Energie bei (30) Mehratomige Gase haben aufgrund der zusätzlichen Freiheitsgrade höhere Energieinhalte als einatomige

42 Mittlere quadratische Teilchengeschwindigkeit 54 v 2 3 n R T 3 R T m m mol v rms (32) v rms : Mittlere quadratische Geschwindigkeit [m/s] Beachte: Die mittlere quadratische Geschwindigkeit nimmt proportional mit der Wurzel der Temperatur zu! vrms T

43 Beispiel: Teilchengeschwindigkeit 55 Wie groß ist die mittlere Teilchengeschwindigkeit v rms von Stickstoff bei Raumtemperatur?

44 Beispiel: Teilchengeschwindigkeit n R T 3 R T m m 2 Ekin m v n R T 2 v m v 2 Mol Mol : Molmasse [g/mol] Stickstoff: m 28g/mol 0,028kg/mol mol 3 8,314J/(mol K) 300K 517 m/s 1.861km/h 0,028kg/mol (33)

45 51 Geschwindigkeitsverteilung

46 Chemische Reaktionen 58 Chemische Reaktionen in Gasen oder Gasgemischen erfordern Kontakt zwischen den Reaktionspartnern Die Reaktion wird unterstützt, wenn die Teilchen pro Zeiteinheit mehr Weg zurücklegen Stöße werden wahrscheinlicher die Weglängen zwischen zwei Stößen kleiner sind Reaktion erfolgen häufiger pro Zeiteinheit Wann stoßen zwei Teilchen zusammen?

47 Mittlere freie Weglänge 60 Da Bewegungen statistisch verteilt, ist auch die Weglänge eine statistische Größe Es gilt (34) Wann stoßen zwei Teilchen zusammen?

48 Stoßbedingungen von zwei identischer Teilchen 62 Stoßbedingung für zwei identische Teilchen Abstand d zwischen beiden beträgt d r 1 r 2 (35)

49 Stoßbedingungen von zwei verschiedener Teilchen 63 Stoßbedingung für zwei verschiedene Teilchen Abstand d zwischen beiden beträgt d r 1 r 2 d r1 r (36) 2

50 Allgemein formulierte Stoßbedingung 64 Nähert sich ein Teilchen einem anderem bis auf den Abstand d, so erfolgt ein Stoß Raumrichtung spielt keine Rolle Es gibt um jedes Teilchen eine Kugel mit dem Radius d, indem ein Stoß erfolgt, wenn sich ein anderes Teilchen soweit annähert d r 1 r 2

51 Stoßbedingung für ein bewegtes Teilchen 66 Ein bewegtes Teilchen überstreicht pro Zeiteinheit t ein bestimmtes Volumen V v d (37)

52 Anzahl der Stöße 67 Mit allen Teilchen in dem Volumen V gibt es Stöße Berechnung der Anzahl der Stöße n Stoß hängt ab von der Teilchendichte N/V Gas des Gases des überstrichenen Volumens V durch das Teilchen N N ( ) (38) 2 nstoß V r1 r2 v t VGas VGas

53 Mittlere freie Weglänge bei einem bewegten Teilchen Mit Definition von Folie 55 ergibt sich für ein bewegtes Teilchen (alle anderen Teilchen ruhen) 68 h v t v t n N Stoß nstoß ( ) V VGas 1 N ( r r ) Gas 2 r1 r2 v t (39)

54 Mittlere freie Weglänge im idealen Gas 69 Im idealen Gas bewegen sich alle Teilchen die Wahrscheinlichkeit eines Stoßes reduziert sich die mittlere freie Weglänge erhöht sich Bei unterschiedlichen Teilchen gilt h 1 VGas 1 n 2 N ( r r ) Stoß (40) Für gleiche Teilchen h 1 VGas 1 n 2 N d Stoß 2 (41)

55 Mittlere freie Weglängen im idealen Gas 70 Gase mit Teilchen mit kleinen Radien geringe Dichte weisen große freie Weglängen auf Gase mit Teilchen mit großen Radien großer Dichte weisen kleine freie Weglängen auf

56 Auswirkungen auf die Praxis 71 Je kleiner die Weglängen, desto größer ist die Reaktionsgeschwindigkeit Die gleichmäßig pro Freiheitsgrad verteilte Energie und die Stöße im Gas sorgen für statistisch gleichverteilte Energie Impuls Stöße zwischen mikroskopisch kleinen Teilchen, die sich in Flüssigkeiten (!) befinden, lassen sich mit dem Mikroskop beobachten (Brown sche Bewegungen)

57 72 Reales Gas

58 Anwendungsgrenzen des idealen Gases 73 Bei hohen Drücken niedrigen Temperaturen weichen die Ergebnisse aus den Berechnungen nach dem idealen Gas immer weiter von den realen Werten ab Übergang zur Betrachtung des realen Gases erforderlich

59 Gründe für Abweichungen 74 Teilchen haben Ausdehnung ( s. mittl. Freie Weglänge) Zur Verfügung stehendes Volumen reduziert sich um Teilchenvolumen (Kovolumen) Das tatsächliche Volumen ist kleiner als beim idealen Gas Wechselwirkungen zwischen den Teilchen führen zu kleineren mittleren Teilchenabständen Der tatsächliche Druck ist um den Kohäsionsdruck (Binnendruck) größer als im idealen Gas

60 Zustandsgleichung für reale Gase 75 Van-der-Waals-Gleichung 2 n p p a V V b n 2 V 2 n n R T p a 2 V b n V mit n : Stoffmenge [mol] a : Van-der-Waals-Parameter für den Kohäsionsdruck [-] b : Van-der-Waals-Parameter für das Kovolumen [-] (42)

61 76 Unterschiede zwischen realem und idealem Gas

62 P-V-Diagramm für ideales Gas 77 Temperaturen parametrisieren die Hyperbeln der Zustandsgleichung Quelle: Tipler 14.2

63 P-V-Diagramm für reales Gas 78 hohe Drücke und/oder niedrige Temperaturen sorgen für einen Phasenwechsel (Phasenübergang) zur flüssigen Phase inkompressibel (!) p Oberhalb der kritischen Temperatur T krit ist keine flüssige Phase mehr möglich Quelle: Tipler 14.9

64 Literatur 79 Figura, L. O.: Lebensmittelphysik : Physikalische Kenngrößen - Messung und Anwendung. Berlin, Heidelberg: Springer, 2004 Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl; Koch, Stephan W.: Halliday Physik. 2., überarb. und erg. Aufl. Weinheim: Wiley-VCH, 2009 Kuchling, Horst: Taschenbuch der Physik. 21. aktualisierte Auflage. München, Wien : Fachbuchverlag Leipzig im Hanser Verlag, 2014 Rybach, Johannes: Physik für Bachelors : Mit 92 durchgerechneten Beispielen, 176 Testfragen mit Antworten sowie 93 Übungsaufgaben mit kommentierten Musterlösungen. München : Fachbuchverl. Leipzig im Hanser-Verl., 2008 Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene; Wagner, Jenny (Hrsg.): Physik Für Wissenschaftler und Ingenieure. 7. dt. Aufl. Berlin: Springer Spektrum, 2015

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