Hier der Rest der Bearbeitungen zu den Übungsbeispielen. Viel Erfolg beim Test!

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1 Liebe Übungsgruppe! Hier der Rest der Bearbeitungen zu den Übungsbeispielen. Viel Erfolg beim Test! 45) Die Nullpunktsenergie von 3ε kommt daher, dass die drei Oszillatoren im Grundzustand jeweils eine Energie von E 0 = ε haben (das Energiespektrum des harmonischen Oszillators sieht ja so aus: E n = ħ ω n + 1 ). Die Energie des gegebenen Makrozustands ist U = U 0 + 5ε. Um diese Energie zu erreichen, müssen also die Oszillatoren in so hohen Energiezuständen sein, dass die Summe der Energien 5ε über der Nullpunktsenergie liegt. Schreiben wir also die Varianten auf, wie so etwas möglich ist: 1. Möglichkeit: zwei Oszillatoren 0ε über dem Grundzustand, einer 5ε über dem Grundzustand. Schreibe dafür: Möglichkeit: (also ein Oszillator 0ε über dem Grundzustand, einer 1ε darüber und einer 4ε darüber die Summe muss ja wieder 5ε sein.) 3. Möglichkeit: Möglichkeit: Möglichkeit: 1 Andere Möglichkeiten als diese fünf gibt es nicht. Jetzt muss man nur mehr berücksichtigen, dass jede dieser Möglichkeiten durch mehrere Mikrozustände realisiert werden kann. Z.B. bei der ersten Möglichkeit: Hier sind die Varianten 0 0 5, und möglich, es gibt also 3 Mikrozustände dafür. Genauso geht man bei den anderen Möglichkeiten vor (entweder einfach durch Aufschreiben aller möglichen Anordnungen, oder durch kombinatorische Argumentation, etwa bei der. Möglichkeit: Ich stelle mir die drei verschiedenen Oszillatorenzustände wie verschiedenfärbige Kugeln vor, die auf 3 Plätze verteilt werden. Für den Zustand mit 4ε habe ich drei Möglichkeiten, wenn der zugeteilt ist, habe ich für den Zustand mit 1ε noch zwei Möglichkeiten, und dann für den Zustand mit 0ε noch eine Möglichkeit zum Aufteilen, also hier insgesamt = 6 Anordnungen, also 6 Mikrozustände für die. Möglichkeit). Zähle ich alle Mikrozustände bei allen fünf Möglichkeiten zusammen, komme ich auf die Gesamtanzahl: = 1 Mikrozustände.

2 46) Der Makrozustand hat die Energie U = N ε. Die Teilchen können nur Energie 0 oder Energie ε annehmen. Das bedeutet, dass die Hälfte der Teilchen im Zustand mit Energie 0 und die andere Hälfte im Zustand mit Energie ε sein müssen. Die Anzahl der Mikrozustände ist also die Anzahl der Varianten, wie die Teilchen so angeordnet sein können, dass die Hälfte Energie 0 und die Hälfte Energie ε haben. Diese Anzahl wird mit N N, also N über N, berechnet: N N = N! N! N! Um N! berechnen zu können, wird die Stirlingsche Formel verwendet. Für ausreichend große N genügt dabei die Näherung N! N N (siehe Wikipedia: Stirlingsche Formel für ausführlichere Begründungen). Wir erhalten also: N N = N! N! N! = NN N N N N = N N N N = N Die Entropie des Makrozustands ist daher S = k B ln(ω) = k B ln( N ) = k B N ln().

3 47) Das Bohr sche Magneton gibt das magnetische Moment der Atome an und hat den Wert µ B = 9, J/T (Einheit: Joule/Tesla). Bei einem äußeren Magnetfeld der Stärke 1/1000 Tesla hat der angeregte Zustand also die Energie von E = 9, J. Beim Einsetzen (mit T = 100) in die Formel für die Boltzmann-Verteilung (vgl. Skript S. 0) muss man beachten, dass die niedrigstmögliche Energie hier nicht E 0 = 0 ist, sondern E 0 = E (wenn das magnetische Moment sich entgegengesetzt ausrichtet). Einsetzen in die Formel ergibt: E P ( angeregt ) = e k B T e E k B T = e E k B T = 0, ,00015 % 48) Vgl. Skript S. 4: Im Modell der Thermodynamik eines Festkörpers entspricht die Kreisfrequenz der Oszillatoren einer Referenztemperatur von Θ = 130 K. Durch die Gleichung Θ = ħω lässt sich die k B Kreisfrequenz ω berechnen: ω 1, Hz bzw. bei Raumtemperatur von 0, Θ: ω 3, Hz Die Kreisfrequenz im Einstein-Modell liegt also etwa im Bereich ω E Hz. Bei der Zusatzfrage zur Abschätzung der Schallwellenlänge muss man einige grobe Abschätzungen vornehmen (eine Abschätzung mittels λ = c/f funktioniert nicht, weil man die Schallgeschwindigkeit c im Festkörper nicht kennt): ω E Hz ω (k max ) ω E k max = π/λ min k max maximale Wellenzahl λ min minimale Wellenlänge Abschätzung: λ min Å => k max = π/å 1/Å (genügt für diese Schätzung, bei so groben Schätzungen können Faktoren wie π unberücksichtigt bleiben) Wegen der linearen Abhängigkeit von ω zu k kann man die Verhältnisse so abschätzen: k Schall /k max ω Schall / ω E 10-4 /10-14 = λ Schall = π/ k Schall 1/k Schall / k max Å 1 m Die so abgeschätzte Schallwellenlänge liegt also etwa im Meter-Bereich.

4 49) Vgl. Skript S. 6: Formel für die exakte Berechnung des Erwartungswerts für eine Komponente der Geschwindigkeit: mv x = k BT Bei gegebener Temperatur von T = 300 K wird also noch die Masse des Moleküls benötigt, um die Geschwindigkeitskomponente bestimmen zu können. a) H -Molekül: besteht aus H-Atomen, hat daher eine Masse von u (atomare Masseneinheit, 1 u = 1, kg) m =. 1, kg Nun kann ich v x aus der obigen Formel berechnen: v x = k BT m 1116 m/s Nun ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe ist, sich also aus drei Komponenten zusammensetzt. Aus der Geschwindigkeitskomponente v x lässt sich nun die Geschwindigkeit v als Betrag des Geschwindigkeitsvektors v berechnen: v = v = (v x ) + v y + (v z )² = 3(v x ) = 3 v x 1934 m/s (wobei alle Komponenten als gleich groß angenommen wurden, v x = v y = v z ). Der Geschwindigkeitsbereich von H -Molekülen liegt also bei etwa 000 m/s. b) Radon-Atom: Hier erfolgt die Berechnung ganz analog zu a). Das Radon-Atom hat eine Masse von u. Das liefert v x 106 m/s und v 184 m/s, also einen Geschwindigkeitsbereich von etwa 00 m/s für das Radon-Atom.

5 50) Wikipedia: Teilchenzahldichte von Raumluft:, Moleküle /cm³. In einem cm³ Helium mit gleicher Teilchenzahldichte haben wir es also mit, Teilchen zu tun, jedes davon mit Schwankung Δε = 0,3 ev 0, J. Die Schwankung der gesamten Energie nimmt mit der Quadratwurzel der Teilchenanzahl N zu (vgl. Skript S. ): ΔU = N Δε Damit erhalte ich für die Schwankung der Energie: ΔU =, , =, J, J