a 2π a) Der Ebenenabstand ist gegeben durch

Transkript

1 Aufgbe 1 Ein bcc Kristll it einer Kntenlänge 6Å der kubischen Einheitszelle wird it Röntgenlicht der Wellenlänge λ3å bestrhlt. ) Welches sind die Millerindizes (h,k,l) (bzw. die Indizes des entsprechenden reziproken Gittervektors) der Ebenenschr it de größten Ebenenbstnd? (wru ist dieser größten?) b) U welche Ablenkwinkel (bzw. u welche) wird ds Röntgenlichtung n dieser Ebenenschr gebeugt? c) Unter welche Winkel findet Beugung n den (,,)-Ebenen sttt? ) Der Ebenenbstnd ist gegeben durch π d h + k + l G Gesucht ist dher der kürzeste reziproke Gittervektor. Ds reziproke Gitter eines fcc-gitters ist ein bcc-gitter; hier ist der kürzeste Vektor π (1,1,0) Die Millerindizes der Ebene sind lso (1,1,0); dit ist d 4.4 Å. b) Brgg-Bedingung: Mit den obigen Werten: nλ cosα d cos α n *0.354 Hier gibt es zwei Lösungen (n1,); es ist α 1 69., α 45. Die Ablenkwinkel sind θ ; θ 90. c) Der Abstnd der (,,)-Ebenen ist d 1.73 Å. Dit ist die Brgg-Bedingung: cos α n *0.866 lso α 30 und θ 10.

2 Aufgbe Ein reines Mteril hbe fcc-struktur und eine Dichte von.7 g/c 3. Außerde essen Sie bei nicht zu tiefen Teperturen eine Wärekpzität von.5 J K -1 c -3 ) Wie groß ist ds Atogewicht? b) Wie groß ist die Kntenlänge der kubischen Einheitszelle? c) Schreiben Sie den reziproken Gittervektor der (1,1,1)-Ebene uf (it richtigen Einheiten!) ) Die Dichte ist ρ n, lso ρ. n c Die Atodichte ergibt sich us der Wärekpzität: 3 B und dit c 3 n 6.04 *10 c k 3 B nk Also ist: ρ n *10 g 6.8u b) In eine fcc-gitter befinden sich 4 Atoe in der Einheitszelle (bei eintoiger Bsis). Ds Voluen der Einheitszelle ist lso: VEZ 4 n 3 1 Die Kntenlänge der Einheitszelle ist soit c 4.05 Å. c) Der erste reziproke Gittervektor in (1,1,1)-Richtung (und dit der die Ebenenschr beschreibende Vektor) ist π (1,1,1) 1.6*10 10 (1,1,1)

3 Aufgbe 3 Wir betrchten eine linere Kette us Kugeln it Federn dzwischen. Die Kugeln hben einen Abstnd voneinnder, die Federkonstnte der Federn ist D. Beknntlich lutet die Dispersionsbeziehung der Phononen hier D ω ( 1 cos( k) ) ) Wie groß ist die 1. Brillouinzone i k-ru? (von wo bis wo reicht sie?) b) Wie groß ist die Frequenz ω n der 1. Brillouinzonengrenze? c) Wie groß sind hier Phsen- und Gruppengeschwindigkeit der Phononen? ) Die 1. Brillouinzone reicht von k -π/ bis k π/ (Länge π/). b) Die Frequenz n der Brillouinzonengrenze k π/ ist: D 4D ω ( 1 cos( π )) c) Die Phsengeschwindigkeit ist d.h. Die Gruppengeschwindigkeit ist v gr v ph v ph π ω k 4D dω sin( k) dk D 1 cos( ) ( k ) An der Zonengrenze: v gr 0

4 Aufgbe 4 Siliziu ht eine Dichte von.3 g/c 3 bei eine Atogewicht von 8 u. Wird jedes illionste Ato durch ein Phosphorto ersetzt, erhält es eine Leitfähigkeit von σ 3*10 4 Ω -1-1 (Erinnerung: Strodichte j σ E). ) wie groß ist die Atodichte der Siliziutoe (Atoe pro Kubikzentieter), wie groß lso die Dichte der Dotiertoe? b) wie groß ist die Strodichte bei einer Feldstärke von E1 V/c? c) wie groß ist die Drude-Relxtionszeit? ) Die Dichte ist ρ n, lso ρ n 4.9*10 Dit ist die Dotiertodichte n D c -3. c 3 b) Die Strodichte ist j σ E 3*10 6 c) Die Leitfähigkeit i Drude-Modell ist gegeben durch σ e n e τ Die Dotierung it Phosphortoen ist eine n-dotierung, lso knn n hier nnehen n e n D. Dit ist die Drude-Relxtionszeit: (die Dichte ist in -3 einzusetzen!) σ τ 1.8*10 e n e 1 s

5 Aufgbe 5 Wir betrchten ein freies Elektronengs (keine Wechselwirkung it de Gitter) in eine fcc- Gitter it Kntenlänge 5Å der kubischen Einheitszelle. ) Bei welche Wert von k liegt die Zonengrenze der 1. Brillouinzone in (1,1,1) Richtung? Welche Länge ht dieser k-vektor? b) Wie groß ist die Energie der Elektronen n diese Punkt des k-rus? c) Wie groß ist ihre Gruppengeschwindigkeit? ) Der erste reziproke Vektor in (1,1,1)-Richtung ist π ; die Zonengrenze liegt bei (1,1,1) hlben Abstnd: π k (1,1,1) Die Länge dieses Vektors ist 10 k 1.09*10 b) Die Energie der Elektronen ist hier ħ k 19 E 7.*10 J 4.5eV c) Die Gruppengeschwindigkeit ist dω 1 de ħk 6 vgr 1.6*10 / s dk ħ dk

6 Aufgbe 6 Wir behndeln ein zweidiensionles einfch kubisches Gitter us Atoen it Abständen 3Å zueinnder. Die Atosse sei 40 u, die ittlere Schllgeschwindigkeit 3000 /s für große Wellenlängen. ) Wenn n einen qudrtischen Ausschnitt der Gitters it Kntenlänge L betrchtet, wie groß ist die Dichte der k-zustände i k-ru (dieser ist zweidiensionl!)? b) Wie groß ist lso der Debye-Wellenvektor? c) Wie groß ist dit die Debye-Tepertur? ) Der Abstnd der erlubten k-zustände ist π/l; die Dichte i k-ru lso 1 ρ( k ) ( π / L) Die Dichte ls Funktion des Betrgs von k wäre: π k L k ρ( k) ( π / L) π (beides wird ls Antwort kzeptiert). b) Die Zhl der k-zustände it k<k D uss gleich der Atozhl sein (in D gibt es zwei Moden pro k-zustnd und Bewegungsrichtungen pro Ato): π kd L ρ( k ) π kd N t ( π / L) Uforen ergibt: 10 1 kd 1.*10 π c) Die Debye-Tepertur ist ħωd ħ TD vskd 70K k k B B