Physik III Übung 11 - Lösungshinweise

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1 Physik III Übung 11 - Lösungshinweise Stefn Reutter WiSe 01 Moritz Kütt Stnd: Frnz Fujr Schut euch bitte Aufgbe 8 uch schon ml vor der Präsenzübung n! Aufgbe 1 [H,D] Röntgenstreuung ) Knn mn Röntgenstreuung verwenden, um Verunreinigungen und Unregelmäßigkeiten in Kristllen zu erkennen? Erkläre deine Antwort! b) Welche weiteren Anwendungen für Röntgenstreuung gibt es? ) J, knn mn. Die geordnete, nicht verunreinigte Kristllstrukture verurscht die klren Peks in einer Auftrgung über dem Winkel. Durch Unregelmäßigkeiten kommt dzu noch ein Untergrund bei nderen Winkeln, d durch sie uch Licht nderer Winkel reflektiert werden knn. b) Bestimmung der Kristllorientierung, Spnnungsermittlung in Mterilien, Oberflächennlysen, Bestimmung der Kristllistionsphse von Polymeren und insbesondere Strukturnlyse von Molekülen. So wurde u von Dorothy Crowfoot Hodkin die Struktur des Penicillin- Moleküls mit Hilfe von Röntgenstreuung entdeckt. Aufgbe [H] Brgg-Bedingung Leite die Brgg-Bedingung her! Nutze dbei folgende Konventionen: λ ist die Wellenlänge der einfllenden Strhlung, d der Abstnd zwischen zwei Reflexionsebenen und θ der Winkel zwischen Kristlloberfläche und einfllendem Strhl (NICHT! zwischen Strhl und Lot!). nλ = d sin θ 1

2 θ s s 1 θ x d s b Eine einfche Konstruktion geht wie in der Skizze ngedeutet. Wir berechnen den Wegunterschied zwischen den beiden Strhlen, die n benchbrten Gitterebenen gestreut werden. Für den ersten Strhl ergibt sich x = d tn θ s 1 = x cos θ = d cos θ sin θ Ds Dreieck für den Strhlengng des zweiten Strhls ist gleichschenklig, es gilt hier s = s + s b = s = d 1 sin θ Die Wegdifferenz muss ein Vielfches von λ sein nλ = s s 1 = d 1 cos θ = d sin θ sin θ Aufgbe 3 [H] Reflexionsebenen im kubischen Gitter Wir untersuchen einen Kristll mit kubisch primitiver Gitternordnung der Kntenlänge. Bestimme und skizziere vier mögliche Schren von Streuebenen in diesem Kristll, die jeweils unterschiedliche Ebenenbstände hben. Bestimme uch die Ebenenbstände in Abhängigkeit von.

3 Mn knn ds gnze simpel in D mchen. Um dbei uf mehr Ebenen zu kommen muss mn Digonlen zwischen mehreren Gitterbständen nehmen. Frbe blu rot grün ornge Abstnd 10 Zur Herleitung von grün: x α d y Leicht überlegen lässt sich y = Wir suchen ls Ebenenbstnd die rote Strecke d und wissen folgende Beziehungen: sin α = y x = + 4 = 1 sin α = d d = 1 d = 3

4 Bei ornge ist dnn einfch y =, und dnn kommt mn uf d = Es geht ntürlich uch in 3D, d sind die Plots ber nicht so schön übersichtlich. Zunächst ml ein Kristllgitterusschnitt: Nun die erste Möglichkeit für Ebenen - einfch prllel zu einer der Seiten des Qudrtes. Der Abstnd ist dbei ntürlich trivil : 4

5 Als zweite Möglichkeit knn mn Ebenen wählen, die entlng den Digonlen uf einer Seitenfläche des Qudrtes gehen. Ds ist ds gleiche wie der rote Fll oben, lso uch wieder ls Abstnd. Als dritte Möglichkeit knn mn Ebenen wählen, die entlng der Rumdigonlen einzelner Qudrte gehen. Ds ist nicht gnz einfch vorstellbr, ber trotzdem möglich.

6 Um hier den Abstnd zu berechnen knn mn wie bei den nderen Ebenen vorgehen. Mn stelle sich einen D-Schnitt vor, dessen senkrechte Achse die z-achse ist und dessen Wgrechte eine Digonle einer Zelle in xy-ebene. Ds gnze sieht dnn etw so us: y x α z d Dbei ist dnn y = und z =, lso die hlbe Länge der Digonlen. Gerechnet wird dnn wie oben, und mn kommt uf d =. 3 Eine vierte Möglichkeit gibt es nur, wenn mn über ein Qudrt hinusgeht. Zum Beispiel entlng der Digonle des Rechtecks, welches us Qudrten gebildet wird (entspricht uch der grünen Linie oben). Der Abstnd ist uch wieder. 6

7 3D-Zusmmenfssung Ebene prllel zu Gitterebenen entlng Digonle uf Seite entlng Rumdigonle des Qudrtes entlng Digonle über Seiten Abstnd 3 Aufgbe 4 [H] Verbeugung Ein Röntgenstrhl mit einem Spektrum, ds zwischen 9 pm und 140 pm verteilt ist, fällt in einem Röntgendiffrktometer unter 4 uf eine Schr von Kristllebenen, deren Abstnd d = 7 pm beträgt. ) Berechne die größte Wellenlänge und die dzugehörige Beugungsordnung, die im gebeugten Licht vorkommt. ) Berechne die kleinste Wellenlänge und die dzugehörige Beugungsordnung, die im gebeugten Licht vorkommt. Es muss die Brgg-Bedingung erfüllt sein nλ = d sin θ = d 1 = d = 389 pm 7

8 Ds knn mn nun nch λ umstellen und für einige gnze Zhlen n berechnen. Wir erhlten n = 1 : n = : n = 3 : n = 4 : n = : λ = 389 pm λ = 194 pm λ = 130 pm λ = 97 pm λ = 78 pm Wie mn sieht, fllen nur der Reflex 3. Ordnung für eine Wellenlänge von λ = 130 pm sowie der Reflex 4. Ordnung für λ b = 97 pm in den verwendeten Spektrlbereich. Ds sind lso die gesuchten Lösungen Aufgbe [P,D] Ktze Streu Physiker und Physikerinnen nutzen viele unterschiedliche Teilchen für Streuungen. Worn (n welcher physiklischen Größe) streut eigentlich Röntgenstrhlung, Neutronenstreuung oder Elektronenstreuung explizit? Für welche Arten von Mterilien funktionieren die gennnten Streurten? Röntgenstreuung: Elektronendichte Neutronenstreuung: Kernmterie und mgnetische Dipole Elektronenstreuung: Ldungen Röntgenstrhlung regt tomre Dipole zum Mitschwingen n, deshlb streut sie n der Elektronenwolke des Mterils. Ds geht ntürlich nur dnn, wenn ds Licht nicht bsorbiert wird, lso z.b. nicht bei Metllen. Neutronenstreuung sieht huptsächlich die strke Wechselwirkung. Durch ihren Spin können Neutronen ber uch mit periodischen mgnetischen Strukturen wechselwirken. Neutronenstreuung knn mn n prktisch jedem Mteril durchführen. Elektronenstreuung wechselwirkt durch die Coulomb-Krft bzw. durch Wechselwirkung mit induzierten tomren Dipolen mit Ldungen, lso im Normlfll uch huptsächlich mit der Elektronendichte. Wichtiger Unterschied zur Streuung von Licht ist der deutlich größere Streuquerschnitt (die kleinere Eindringtiefe), wodurch Elektronen huptsächlich n der Oberfläche des Mterils gebeugt werden. Bei llen Streuexperimenten ist wichtig, dss mn periodische Strukturen im Bereich der Wellenlänge brucht, um etws zu sehen. Will mn Röntgenstreuung z.b. n orgnischen Molekülen zur Strukturufklärung einsetzen, knn mn Probleme hben, wenn diese nicht kristllisieren. Neutronen und Elektronen hben gegenüber Licht den weiteren Vorteil, dss ihre Wellenlänge von ihrer Fluggeschwindigkeit (genuer, ihrer kinetischen Energie) bhängt. D mn die Geschwindigkeit leicht z.b. durch Chopper oder Beschleunigungsfelder (bei Elektronen) ussortieren knn, ist es leichter, verschiedene Wellenlängen zu relisieren ls bei Röntgenstreuung. 8

9 Aufgbe 6 [P] Slz Mn nutzt Slz für vielfältige Anwendungen: In der Suppe, im kleinen Tütchen in der Mens zum uf Pommes streuen, zum Verteilen uf gltten Strßen und uch für Röntgenstreuung. Der Abstnd zwischen den Huptebenen eines NCl-Kristlls beträgt 0.8 nm. Brgg sche Reflexionen erster Ordnung eines monochromtischen Röntgenstrhlbündels treten bei einem Winkel von 10 uf. ) Wie groß ist die Wellenlänge der Röntgenstrhlen? b) Welcher Winkel entspricht der Reflexionen zweiter Ordnung? ) 1λ = d sin θ 1 = 98 pm b) λ = d sin θ sin θ = λ d = sin θ 1 θ = 0.3 Aufgbe 7 [P] Fourier und Beugung (Wdh. us der Ferienübung) Korrektur: In der Aufgbenstellung der Ferienübung wren zwei Vorzeichenfehler, und zwr in der Definition der Fouriertrnsformtion und der Pttersonfunktion. Wie Frnz in der Vorlesung drgestellt ht, knn mn mit Fouriertrnsformtionen tolle Beugungsbilder berechnen. Wir wollen ds hier exemplrisch für den Formfktor eines Einzelsplts mit Breite b tun. Wir schuen von oben uf die Anordnung, in der ds Licht sich prllel zur x-achse bewegt. Der Splt ht die Dichtefunktion 1 : b ρ(x, y) = < y < b, x = 0 0 : sonst ) Berechne die eindimensionle Fouriertrnsformtion in Richtung des Spltes k 1 α k 0 k ρ(x, k y ) = ρ(x, y)e ik y y dy 9

10 Dbei ist k = k 1 k 0 der sog. Streuvektor, die Differenz zwischen dem usfllenden Wellenvektor und dem einfllenden Wellenvektor und zeigt in Richtung des Streuwinkels, unter dem mn ds Gnze betrchtet. Für ds Beugungsbild ist nur die y-komponente von k relevnt, d nur sie in Spltrichtung geht. b) Beweise, dss ds Betrgsqudrt der Fouriertrnsformierten ρ(x, k y ) proportionl zum in der Vorlesung hergeleiteten Beugungsmuster des Einzelspltes ist, indem du k y durch sin α usdrückst. Wichtig hierbei ist, dss k 0 = k 1 gilt, die Streuung lso elstisch ist. c) (Ht nichts mit ) und b) zu tun:) Zeige mthemtisch, dss ds Betrgsqudrt der Fouriertrnsformierten gleich der Fouriertrnsformierten der Pttersonfunktion p(y) = f (y )f (y + y )dy ist. ) Die stückweise definierte Spltfunktion knn mn durch die Integrtionsgrenzen berücksichtigen ρ(x, k y ) = b e ik y y dy b = 1 e ik y b e ik y b ik y k y b sin = k y b) Ds Beugungsmuster us der Vorlesung ist sin πb sin α λ I = I 0 πb sin α λ Ds sieht schon so ähnlich us wie die Fouriertrnsformierte von oben, wir müssen nur noch den Wellenvektor richtig ersetzen. Die y-komponente des usfllenden Wellenvektors muss (siehe Skizze) k 1 α k y k y = sin α k 1 = sin α k 0 = sin α π λ k 0 10

11 sein, wobei die zweite Gleichheit in der Aufgbe gegeben ist. Setzt mn ds in ds Ergebnis für die Fouriertrnsformierte ein, erhält mn ρ(x, k y ) = sin πb sin α λ πb sin α λ Bildet mn nun noch ds Betrgsqudrt, kommt bis uf den Vorfktor I 0 ds gleiche Ergebnis herus wie in der Vorlesung gennnt. c) Ds Betrgsqudrt der Fouriertrnsformierten F der Funktion f ergibt sich zu ( bezeichnet die komplexe Konjugtion) F(k) = F(k)F (k) = f (x)e ikx dx f (x )e ikx dx = f (x)f (x )e ik (x x ) dxdx = f (x + ξ)f (x )e ikξ dx dξ Wobei in der letzten Zeile ξ = x x substituiert wurde. Zieht mn den nun von x unbhängigen Exponentilfktor us dem inneren Integrl herus (und verwendet, dss f eine reellwertige Funktion ist), erhält mn F(k) = f (x + ξ)f (x )dx e ikξ dξ = p(ξ)dξ Aufgbe 8 [P] Ferienübungs-Kroke Suche dir eine Aufgbe us der Ferienübung herus, die du in der Übung erklären willst. Es ist uch möglich, eine Aufgbe uszuwählen, zu der du Frgen hst! 11