Kritischer Punkt. Kritischer Punkt 1-1
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- Laura Beckenbauer
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1 Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. Kritischer Punkt 1-1
2 Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte λ i sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion f hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei x. Kritischer Punkt 1-2
3 Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte λ i sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion f hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei x. hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte λ i mit verschiedenem Vorzeichen. Man bezeichnet x auch als Sattelpunkt. Kritischer Punkt 1-3
4 Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte λ i sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion f hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei x. hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte λ i mit verschiedenem Vorzeichen. Man bezeichnet x auch als Sattelpunkt. parabolischer Punkt: Mindestens ein Eigenwert λ i ist Null, und alle anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen. Kritischer Punkt 1-4
5 Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte λ i sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion f hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei x. hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte λ i mit verschiedenem Vorzeichen. Man bezeichnet x auch als Sattelpunkt. parabolischer Punkt: Mindestens ein Eigenwert λ i ist Null, und alle anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen. Die Motivation für die Bezeichnungen ist die Form der Höhenlinien im bivariaten Fall. Kritischer Punkt 1-5
6 elliptischer Punkt hyperbolischer Punkt parabolischer Punkt Kritischer Punkt 1-6
7 elliptischer Punkt hyperbolischer Punkt parabolischer Punkt Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist det(h f ) > 0 (< 0), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). Kritischer Punkt 1-7
8 elliptischer Punkt hyperbolischer Punkt parabolischer Punkt Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist det(h f ) > 0 (< 0), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). Für ein Minimum bzw. ein Maximum ist Spur(H f ) > 0 bzw. < 0. Verschwindet die Determinante und ist die Hesse-Matrix nicht Null, so ist der Punkt parabolisch. Kritischer Punkt 1-8
9 Beispiel: kritische Punkte der Funktion f (x, y) = y(1 x 2 y 2 ) Kritischer Punkt 2-1
10 Beispiel: kritische Punkte der Funktion f (x, y) = y(1 x 2 y 2 ) Gradient und Hesse-Matrix ( ) ( ) 2xy 2y 2x grad f = 1 x 2 3y 2, H f = 2x 6y Kritischer Punkt 2-2
11 Beispiel: kritische Punkte der Funktion f (x, y) = y(1 x 2 y 2 ) Gradient und Hesse-Matrix ( ) ( ) 2xy 2y 2x grad f = 1 x 2 3y 2, H f = 2x 6y grad f = (0, 0) t xy = 0 x 2 = 1 3y 2 Kritischer Punkt 2-3
12 Beispiel: kritische Punkte der Funktion f (x, y) = y(1 x 2 y 2 ) Gradient und Hesse-Matrix ( ) ( ) 2xy 2y 2x grad f = 1 x 2 3y 2, H f = 2x 6y grad f = (0, 0) t kritische Punkte xy = 0 x 2 = 1 3y 2 ( 0, ±1/ ) 3, (±1, 0) Kritischer Punkt 2-4
13 Beispiel: kritische Punkte der Funktion f (x, y) = y(1 x 2 y 2 ) Gradient und Hesse-Matrix ( ) ( ) 2xy 2y 2x grad f = 1 x 2 3y 2, H f = 2x 6y grad f = (0, 0) t kritische Punkte xy = 0 x 2 = 1 3y 2 ( 0, ±1/ ) 3, (±1, 0) entsprechende Hesse-Matrizen ( ) 2/ /, 3 ( 0 ) Kritischer Punkt 2-5
14 Punkt (x, y) = ( 0, ±1/ 3 ) : det(h f ) = 4 > 0 und Spur(H f ) = 8/ 3 = lokales Minimum bei (0, 1/ 3) und lokales Maximum bei (0, 1/ 3) Kritischer Punkt 2-6
15 Punkt (x, y) = ( 0, ±1/ 3 ) : det(h f ) = 4 > 0 und Spur(H f ) = 8/ 3 = lokales Minimum bei (0, 1/ 3) und lokales Maximum bei (0, 1/ 3) Punkt (x, y) = (±1, 0) det(h f ) = 4 < 0 Sattelpunkte Kritischer Punkt 2-7
16 Punkt (x, y) = ( 0, ±1/ 3 ) : det(h f ) = 4 > 0 und Spur(H f ) = 8/ 3 = lokales Minimum bei (0, 1/ 3) und lokales Maximum bei (0, 1/ 3) Punkt (x, y) = (±1, 0) det(h f ) = 4 < 0 Sattelpunkte alternativ: Typbestimmung anhand der Nullstellenmenge und der sich daraus ergebenden Vorzeichenverteilung von f f (x, y) = 0 y = 0 x 2 + y 2 = 1 Kritischer Punkt 2-8
17 (0, 1/ 3) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1/ 3) Sattelpunkte an Schnittpunkten mit Vorzeichenwechsel Kritischer Punkt 2-9
18 (0, 1/ 3) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1/ 3) Sattelpunkte an Schnittpunkten mit Vorzeichenwechsel lokale Extrema in den von der Nullstellenmenge eingeschlossenen beschränkten Bereichen Kritischer Punkt 2-10
19 Beispiel: f (x, y) = (y x + x 2 )y, grad f = ( 1 + 2x)y, 2y x + x 2 ) t Kritischer Punkt 3-1
20 Beispiel: f (x, y) = (y x + x 2 )y, kritische Punkte (0, 0), (1, 0) und (1/2, 1/8) grad f = ( 1 + 2x)y, 2y x + x 2 ) t Kritischer Punkt 3-2
21 Beispiel: f (x, y) = (y x + x 2 )y, grad f = ( 1 + 2x)y, 2y x + x 2 ) t kritische Punkte (0, 0), (1, 0) und (1/2, 1/8) (i) Typbestimmung anhand der Vorzeichenverteilung von f : + (1/2, 1/8) (0, 0) (1, 0) + Kritischer Punkt 3-3
22 Beispiel: f (x, y) = (y x + x 2 )y, grad f = ( 1 + 2x)y, 2y x + x 2 ) t kritische Punkte (0, 0), (1, 0) und (1/2, 1/8) (i) Typbestimmung anhand der Vorzeichenverteilung von f : + (1/2, 1/8) (0, 0) (1, 0) + Sattelpunkte an den Schnittpunkten, denn in jeder Umgebung existieren sowohl positive als auch negative Werte Kritischer Punkt 3-4
23 Beispiel: f (x, y) = (y x + x 2 )y, grad f = ( 1 + 2x)y, 2y x + x 2 ) t kritische Punkte (0, 0), (1, 0) und (1/2, 1/8) (i) Typbestimmung anhand der Vorzeichenverteilung von f : + (1/2, 1/8) (0, 0) (1, 0) + Sattelpunkte an den Schnittpunkten, denn in jeder Umgebung existieren sowohl positive als auch negative Werte lokales Minimum im grauen Bereich; f ist im Innern negativ und Null auf dem Rand Kritischer Punkt 3-5
24 (ii) Typbestimmung mit Hilfe der Hesse-Matrix: ( 2y 2x 1 H f = 2x 1 2 ) Kritischer Punkt 3-6
25 (ii) Typbestimmung mit Hilfe der Hesse-Matrix: ( 2y 2x 1 H f = 2x 1 2 ) Einsetzen der kritischen Punkte H f (0, 0) = H f (1, 0) = H f (1/2, 1/8) = ( ) ( ) ( ) 1/ Kritischer Punkt 3-7
26 (ii) Typbestimmung mit Hilfe der Hesse-Matrix: ( 2y 2x 1 H f = 2x 1 2 ) Einsetzen der kritischen Punkte H f (0, 0) = H f (1, 0) = H f (1/2, 1/8) = ( ) ( ) ( ) 1/ Sattelpunkte bei (0, 0) und (1, 0), da det(h f ) < 0 Kritischer Punkt 3-8
27 (ii) Typbestimmung mit Hilfe der Hesse-Matrix: ( 2y 2x 1 H f = 2x 1 2 ) Einsetzen der kritischen Punkte H f (0, 0) = H f (1, 0) = H f (1/2, 1/8) = ( ) ( ) ( ) 1/ Sattelpunkte bei (0, 0) und (1, 0), da det(h f ) < 0 lokales Minumum bei (1/2, 1/8), da det(h f ) > 0 und Spur(H f ) > 0 Kritischer Punkt 3-9
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