Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven (Polarkoordinaten)

Transkript

1 Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven Polarkoorinaten Aufgabe: Gegeben sei für reelle Winkel φ ie Kurve K als Karioie Herzkurve in Polarkoorinaten: im x-y-koorinatensystem. r, φ a Skizziere ie Kurve K im Koorinatensystem Wertetabelle, Graph. b Wo schneiet ie Kurve K ie y-achse es Koorinatensystems? c Wo hat ie Kurve K horizontale bzw. vertikale Tangenten? Berechne ie Tangente im Kurvenpunkt mit em Winkel φ /. e Berechne en Inhalt er Fläche, ie ie Karioie einschließt. f Berechne ie Bogenlänge er gesamten Kurve K. Lösung: a I. Allgemein gilt für Kurven K in Parameterarstellung im x-y-koorinatensystem: Für jeen Parameter t aus em Definitionsbereich er Kurve ergibt sich er Kurvenpunkt Pxt yt, ie Menge aller Kurvenpunkte ist ie Kurve K. Die Ableitungen er Parameterkoorinaten xt, yt nach em Parameter t : x& t, y& t, ie y& xy &&& yx &&&. Ableitung er Kurve K: y', ie. Ableitung: y' '. x& x& Für einen Parameter t er Kurve K mit Kurvenpunkt Pxt yt Px y un Ableitung y ergibt sich ie Tangentengleichung: t: y y x x y. Bei waagrechten Tangenten an er Kurve K gilt: y& t bei x& t, bei senkrechten Tangenten: x& t bei y& t. 5 Flächen zwischen Kurve K un en Achsen es Koorinatensystems auf em t-intervall [t ; t ] lassen sich berechnen als: t A y& t x t t Fläche zwischen Kurve un y-achse. t t A x& t y t t Fläche zwischen Kurve un x-achse, weiter als: t 6 Die Bogenlänge einer Kurve K auf em t-intervall [t ; t ] lässt sich berechnen als: t l x& t y& t t. t II. Allgemein gilt für Kurven K in Polarkoorinaten im x-y-koorinatensystem: Für jeen Winkel φ aus em Definitionsbereich er Kurve ergibt sich er Kurvenpunkt Prφφ rφφ, ie Menge aller Kurvenpunkte ist ie Kurve K. Wegen xφ rφφ un yφ rφφ gilt für ie Ableitung er Kurve K: y& r& r y' x& r& r mit x& r& r, y & r& r als Ableitungen er Koorinaten nach em Winkel. Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven

2 Für ie Flächenberechnung gilt ie Sektorenformel: A r. Die Bogenlänge ergibt sich als Integral: l r r&. III. Für ie Kurve K in Polarkoorinaten: r ergeben sich Wertetabelle un Graph: Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven

3 b Die Kurvenschnittpunkte mit er y-achse ergeben sich aus er Beingung: xφ, also wegen x : Satz vom Nullproukt φ, φ - φ -, φ Werte er Kousfunktion φ, φ /, φ /, woraus u.a. wegen y ie Schnittpunkte S, S, S - folgen. Die Kurvenschnittpunkt auf er x-achse erhalten wir aus: yφ un amit aus: Satz vom Nullproukt φ, φ - φ -, φ Werte er Kous-, Sinusfunktion φ, φ, φ, woraus sich für φ er zusätzliche Schnittpunkt S ergibt. c I. Wir bilen zunächst ie Ableitungen er Koorinaten er Kurve K nach em Winkelparameter φ un erhalten u.a. nach er Prouktregel: x& y&. II. Die Ableitung er Kurve lässt sich bilen aus: y& y'. x & III. Waagerechte Tangenten er Kurve K liegen vor bei: y&, also: : z φ Substitution z z abc-formel: a, b, c- ± z, Ausrechnen Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven

4 ± 9 ± z, z -, z,5 φ z Rücksubstitution φ -, φ,5 Werte er Kousfunktion φ, φ /, φ 5/, so ass als Punkte mit waagerechter Tangente zunächst folgen: P,75,6, P,75 -,6. An er Stelle S bei φ ergibt sich für ie Ableitung y ines ein unbestimmter Ausruck vom Typ /, och gilt nach en Regeln von e l Hospital: y' lim lim, so ass auch in iesem Kurvenpunkt eine waagerechte Tangente vorliegt. IV. Senkrechte Tangenten er Kurve K liegen vor bei: x&, also: :- Satz vom Nullproukt φ, φ - φ, φ - : φ, φ -,5 : φ, [φ ], φ, φ /, φ /, so ass ie Punkte mit senkrechter Tangente Q -,5,86, Q -,5 -,86 un S. Für φ / erhalten wir wegen x un y als Kurvenpunkt P-,, sowie ie Ableitung: y ' woraus für ie gesuchte Tangentengleichung im Punkt P-,, folgt:,, Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven

5 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven 5 t: y y x x y -,x -,, -,x,, -,x,58. e Wir berechnen en Flächeninhalt er von er Karioie K umgrenzten Fläche, inem wir über en Winkelparameter von φ bis φ unter Verwenung er Sektorenformel integrieren. Es gilt: * r A unter Verwenung es trigonometrischen Integrals was wieerum urch Prouktintegration zu lösen ist. Weiter folgt: [ ] 6 * un amit er gesuchte Flächeninhalt A 6. f Bei er Bestimmung er Bogenlänge er gesamten Karioie K ist wegen er Symmetrie er Kurve as entsprechene Integral nur auf ie halbe Bogenlänge anzuwenen,.h. auf ie Winkelparameter von φ bis φ. Es ergibt sich amit wegen r un r& : r r l &

6 ** u.a. wegen er trigonometrischen Ientität φ φ. Auf Grun einer weiteren Ientität, nämlich folgt: ** 8 un amit ie gesamte Bogenlänge er Kurve l 6. /.6 / Aufgabe 95 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Analysis > Kurven 6