Mathematik-Wettbewerb 2003/2004 des Landes Hessen
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- Hertha Maurer
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1 Mathematik-Wettbewerb 003/004 des Landes Hessen 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE A - PFLICHTAUFGABEN P1. a) (45 48) = + 3 = 19 b) 5@[ 60 + ( 38 )] = 5@[ 60 40] = 500 c) 4 : (1 60) = 4 : ( 48) = 0,5 P. a) G = 0,60, P = 0,75. p = 60 = 15 Y 5% Preiserhöhung. alternativ: P = 0,15. p = = 5 Y 5% Preiserhöhung. 60 b) G = 0,75, P = 0,60. p = = 80 Y 0% günstiger. 75 alternativ: P = 0,15. p = = 0 Y 0% günstiger. 75 P3. Sie zahlte 86 Ersparnis: P = 154, p = 35 % ; bezahlter Betrag: p = 65 %, P = = alternativ: nicht verbilligter Preis: G = = 440 ; 35 bezahlter Betrag: = 86. P4. D sei der Schnittpunkt von w α mit der Seite a. Winkelsumme im Dreieck ªADC: α = 180 Y α = 50 Winkelsumme im Dreieck ªABC: α + β + 90 = 180 Y β = 40 Stufenwinkel / gestreckter Winkel: α + δ = 180 Y δ = 155 P5. a) x (x + ) oder 0,5x(x + ) b) 3x : ( x) oder 3x x c) 5x (x 7) P6. a) Nr. 1, Nr., Nr. 4, Nr. 6 b) Nr. 1, Nr. 4, Nr. 6 c) Nr. 1, Nr. 4
2 P7. a) antiproportionale Zuordnung: 6 kg 3 m 0,1 mm 6 kg 1,5 m 0, mm Die Folie ist 0, mm dick. b) 6 kg 1,5 m 0, mm 6 kg 0,75 m 0,4 mm Man kann 0,75 m Folie herstellen. c) 6 kg 3 m 0,1 mm kg 1 m 0,1 mm 8 kg 1 m 0, 4 mm Man benötigt 8 kg Gold. P8. a) Uhr b) 10 km c) Abschnitt a
3 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE A - WAHLAUFGABEN W1. a) x x = x + 6 5x + 4 = x + 6 6x + 18 = 0 6x = 18 L = { 3} oder x = 3 b) 3x + 6 < 3x 4 6x oder 6x + 6 < 4 10 < 6x oder 6x < x < = 1 = 1 = L = {, 3, 4, } c) 9x 4 5 = 8x 1x 10x x 9x 9 = 9x x = x = x oder 44 = x L = {} oder x = d) (x + ) 7 < 0 (x + ) < 0 x < L = { 3, 4, 5, } W. a) Konstruktion des Teildreiecks MBC, (M der Mittelpunkt der Strecke AC ) aus MC = 0,5b = 4 cm, a = 7 cm und s b = 5 cm. Konstruktion von A durch Verdopplung von CM. Verbinden von A und C, b) Geraden g und h im Abstand h c, B beliebiger auf g, Kreis um B mit Radius a = 6 cm. h C C Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Geraden h, g Abtragen von γ an C so, dass der freie Schenkel die Gerade g schneidet. A ist dieser Schnittpunkt. Der zweite Schnittpunkt des Kreises mit h erlaubt nicht das Antragen g von γ. A B c) Konstruktion des Teildreiecks ªABM, wobei M der Diagonalenschnittpunkt ist, aus AM = 4 cm, BM = 4,5 cm und ÊBAM = 30. C durch Verdopplung von AM, D durch Verdopplung von BM. W3. a) (1) Angebot A: 600 : 40 = 15 Angebot B: 40 = 7000 ; 0,8 = 5600 ; 5600 : 40 = 14 () 600 : 14 4,8 n 0{43, 44, 45,, 55, 56} oder ab 43 Personen (3) 0,8 = 350 ; Gesamtkosten: = 950 (günstiger 17, = 985 ) b) 15x = 16(x a) ; also z.b. 16 Personen 40, 3 Personen 480 ; 48 Personen 70
4 W4. a) (1) A (10 0), B (8 0), C (10 3) (zur Kontrolle; Angabe der Koordinaten nicht erforderlich) () A Dr. = 9 cm (3) A Tr. = 4 cm b) A = 70 3 cm 6 cm = 04 cm c) M(3,5 0) W5. a) p = 0,5 + 0,4 = 0,9 b) p = 0,5 = 0,5 c) p = 0,1 0,4 = 0,41 d) p = 0,1 0,9 = 0,0009 e) p = 1 0,4 = 0,5 + (@0,5@0,1 ) + (0,1 + (@0,4@0,1) = 0,84
5 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE B - PFLICHTAUFGABEN P1. a) = = 70 b) 6 : (4, 3,7) = 6 : 0,5 = 5 c) ( ) 3 = 4 9 P. G = ; P = 0,30 ; p = = 15 Preisanstieg: 15 % alternativ: G = ; P =,30 ; p = 115 Preisanstieg: 15 % 6) = 6) = 1 6) = 14 P4. a) 34, 43, 34, 34, 43, 43 ( alle Zahlen ) b) 34, 34, c) 34, 43 P5. α = = 17 (gestreckter Winkel) β = = 37 (Winkelsumme im Dreieck) γ = = 7 (Scheitelwinkel und Winkelsumme im Dreieck) P6. a) Spiegelung von A an der x-achse: A ( 3 1) b) Spiegelung von A an der y-achse: A (3 1) c) Spiegelung von A am Koordinatenursprung: A (3 1) P7. a = 4 cm : 4 = 6 cm 0,5a = 3 cm A = 9 cm P8. a) Uhr b) 10 km c) Abschnitt a
6 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE B - WAHLAUFGABEN W1. a) 6x 7 = 9 + 3x 9x = 18 L = { } oder x = b) x 4x + 6 = x + 9 x + 6 = x + 9 3x = 3 oder 3x = 3 L = { 1} oder x = 1 c) 15x 30 < 6x 7 1x < 3 x < 3 1 L = { 0, 1,,... } d) 10x 14 = x 7 + 6x 3x = 13 x = 13 : 3 = 13 3 = L = { } W. a) (1) 5,40 : 90 = 0,06 ; 110 = 6,60 () 1, denn 0,06 00 = 1 (3 h 0 min = 00 min) (3) Ausleihzeit: 170 min oder h 50 min, denn 10,0 : 0,06 = 170 b) (1) Ausleihzeit [min] Tarif A [ ] 1, Tarif B [ ] 34, () Bei mehr als 1000 Minuten [16 h 40 min ]. W3. a) Konstruktion nach SWS b) Konstruktion nach SSW c) Beginne mit AB = 6 cm, zeichne dazu eine Parallele im Abstand h c = 3,5 cm; Der Kreisbogen um B mit r = BC = 4 cm schneidet die Parallele zweimal: C und C. Verbinde C bzw. C mit A. d) cm, 4 cm, 6 cm Alle geradzahligen Längen zwischen 4 cm 3 cm = 1 cm und 4 cm + 3 cm = 7 cm W4. a) (1) 1@1 + 3@10 + 4@8 + 5@3 + 6@1 ) : ( ) = 3,3 () 100 = 60 ; also 60 % aller Schüler 30 b) 9 : 3 = 9,6 ; also mindestens 10 Schüler oder mehr als 9 Schüler c) (1) Zwei der Möglichkeiten: (1 6), (1 3 5), (1 4 4), ( 5), ( 3 4), (3 3 3) () 6 (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) oder 5 (mit Berücksichtigung der Reihenfolge
7 W5. a) Modell Seitenlänge der Pappvorlage [cm] Seitenlänge der Eckquadrate [cm] 1 1,5,5 Volumen [cm 3 ] Abfallfläche [cm ] b) (1) Modell 9 () Modell 4
8 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE C - PFLICHTAUFGABEN P1. a) 43 3,87 = 39, = 1,5 = = c) 5 : (1,74 + 0,6) = 5 : =,5 = = P. 0,80 = 0,00 für Vanille-Waffeln ; 1,10 = 44,00 für Kirsch-Waffeln ; zusammen 64,00 Gesamteinnahmen. P3. a) 50 % b) 5 % c) 0 % P Personen G = ; p = = 0 ; P = = 6000 alternativ: G = ; p = 80 ; P = = 4000 ; = 6000 P5. a) 6 1 m = 650 cm b) 4 1 h = 135 min c) 4 3 kg = 750 g P6. a) = 100 b) 7 15 = 8 c) (15 3) = 48 P7. a = 4 cm : 4 = 6 cm 0,5a = 3 cm A = 9 cm P8. a) Beginn mit AB oder AC ; Abtragen von α am Scheitel A ; Antragen von AC oder AB. b) Symmetrieachse als Winkelhalbierende von α
9 1. RUNDE - LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE C - WAHLAUFGABEN W1. a) 8x = 16 x = b) 4x 7 = 5 4x = 3 x = 8 c) 4x + 0 = 68 4x = 48 x = 1 d) 9x 71 = x + 6 7x = 77 x = 11 W. a) 8.00 Uhr, 1.00 Uhr b) 40 km c) 0 km, 0 min d) 3 h = 180 min e) Abschnitt c oder von 9.0 Uhr bis 9.40 Uhr f) Abschnitt e: 10 km in 100 min ; also 400 min = 6 h 40 min W3. a) Gewicht der Süßigkeiten [ g ] Preis [ ] 1,60 1,0,00 0,80 4,80 b) (1) 0,60 = 1,80 () 10 Lose für 5,50 ; vom Rest 3 : 0,60 = 5 Lose ; also insgesamt 15 Lose. c) (1) 90 : 18 = 5 () 90 : 1 = 7,50 (3) 90 : 6 = 15 ; also 15 Schüler d) Bälle: 840 : = 40 Spende: 40 : 3 = 140 ; Rest: = 80 W4. a) (1) 30 cm (kgv von 6 und 10) () 30 : 6 = 5 rote bzw. 30 : 10 = 3 blaue Würfel b) 9 rote Würfel (denn 6 cm = 54 cm ) bzw. 6 blaue Würfel (denn 10 cm = 60 cm ) c) 5 = 50 rote Würfel bilden unterste Schicht ; es sind 30 cm : 6 cm = 5 Schichten in der Höhe; also 50 = 50 rote Würfel. alternativ: cm 3 : 16 cm 3 = 50 () 3 = 18 blaue Würfel bilden unterste Schicht; es sind 30 cm : 10 cm = 3 Schichten in der Höhe ; also 18 = 54 blaue Würfel. W5. a) 1, 3, 9, 7, 81, 43 ( 9 = 3 ; 7 = 3 ; 81 = 3 ; 43 = 3) b) 13, 11, 110, 99, 88, 77 (Vielfache von 11 rückwärts) c) 7, 10, 14, 19, 5, 3, 40 (jeweils eins mehr addieren als bei Vorgänger) d) 0, 3, 1, 4,, 5, 3, 6 (paarweise um eins weiterzählen) e) 5, 0, 10, 40, 0, 80, 40, 160, 80, 30 (paarweise jeweils verdoppeln)
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LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A PFLICHTAUFGABEN P1. a) 9 b) 70 c) 2 P2. α = 50 δ = 25 ε = 115 P3. a) Man bezahlt 6,80 e. b) Er wurde um 25 % erhöht. P4. Es waren 1920 Jugendliche. (2400 Jugendliche entsprechen
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