Kapitel 2 Lineare Algebra II. 2.1 Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 Kapitel 2 Lineare Algebra II 2 Lineare Abbildungen und Matrizen Die mit der Vektorraumstruktur verträglichen Abbildungen zwischen Vektorräumen werden als linear bezeichnet Genauer definiert man: 2 Definition Eine Abbildung L: V W zwischen zwei reellen Vektorräumen V und W heisst linear, wenn für alle v,w V, λ R, folgendes gilt: L(v +w) = L(v)+L(w) 2 L(λv) = λl(v) 22 Bemerkung Für jede lineare Abbildung L:V W gilt L(0) = 0, das heisst L bildet den Nullvektor aus V auf den Nullvektor aus W ab Beweis Denn sei v V gewählt Dann folgt aus der zweiten Bedingung L(0) = L(0 v) = 0 L(v) = 0 qed 23 Beispiele (a) Sämtliche Drehungen des R 2 um den Nullpunkt um einen beliebigen Winkel α [0, 2π] sind linear, sie sind sogar längentreu und bilden Dreiecke auf kongruente Dreiecke ab Entsprechend ist jede räumliche Drehung um eine Achse durch den Nullpunkt eine lineare Selbstabbildung von R 3 (b) Jede Spiegelung des R 2 an einer Gerade durch den Nullpunkt ist linear Aber die Spiegelungen, deren Spiegelachsen nicht durch den Nullpunkt gehen, sind nicht linear, weil sie den Nullpunkt nicht festlassen (c)dieprojektionp:r 3 R 2,(,,z) (,)istlinear,wiemandirektnachrechnet Auch jede andere orthogonale Projektion des Raumes auf eine Ebene, wie sie verwendet werden, um Grundrisse, Aufrisse, Seitenansichten von Gebäuden zu zeichnen, sind linear (d) Ein Zoom, also eine Streckung der Einheiten um einen bestimmten Vergrrosserungsfaktor ist linear Dasselbe gilt für die Reskalierung von Koordinaten mit unterschiedlichen Faktoren, also im zweidimensionalen zum Beispiel in -Richtung um Faktor 2 und in -Richtung um Faktor 3 (e) Der Ableitungsoperator D:C [a,b] C 0 [a,b], der einer stetig differenzierbaren Funktion f auf [a,b] jeweils ihre Ableitung f zuordnet, ist linear

2 26 Kapitel 2 Lineare Algebra II (f) Auch der Integraloperator I:C 0 [a,b] R, definiert durch I(f) := b a f()d für f C 0 [a,b], ist linear, weil Integration mit Summenbildung und Skalarmultiplikation vertauschbar ist Drehungen, Spiegelungen und senkrechte Projektionen haben die Eigenschaft, sämtliche affinen Geraden wieder auf affine Geraden oder Punkte abzubilden Weil dies auch für jede beliebige lineare Selbstabbildung des R 2 oder R 3 gilt, nennt man diese Abbildungen linear Lineare Abbildungen lassen sich durch Matrizen beschreiben Hier ein erstes Beispiel 24 Beispiel Die folgende Abbildung L:R 2 R 3 ist definiert durch die Multiplikation von ebenen Vektoren mit einer festgewählten 3 2-Matri A: ( ) 2 ) +2 L( ) := ( = Man kann leicht nachrechnen, dass diese Abbildung linear ist Ausserdem ist ( ) ( ) 2 L(e ) = L( ) = 0 und L(e 0 2 ) = L( ) = 3 2 Wir stellen also fest, dass die Bilder der kanonischen Basisvektoren e und e 2 mit den beiden Spalten der Matri A übereinstimmen Allgemeiner gilt folgendes: 25 Satz Jede Matri A vom Tp m n definiert eine lineare Abbildung durch Multiplikation L A :R n R m, v A v Umgekehrt gibtes zujeder linearenabbildung L:R n R m eine m n-matriamit L = L A An den Spalten von A können wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren e j R n unter L ablesen Beweis Man kann direkt nachrechnen, dass die Multiplikation von Spaltenvektoren mit einer festen Matri eine lineare Abbildung liefert Sei jetzt umgekehrt eine lineare Abbildung L:R n R m vorgegeben Um die entsprechende Matri zu finden, schreiben wir zunächst die Bilder der kanonischen Basisvektoren e,,e n des R n als Spaltenvektoren in R m auf: a L(e ) =,,L(e n ) = a m Aus diesen n Spaltenvektoren bilden wir eine Matri a a n A := a m a mn a n a mn

3 2 Lineare Abbildungen und Matrizen 27 Diese Matri leistet das Gewünschte, denn es gilt: L = L( e + + n e n ) = L(e )+ + n L(e n ) = A n n für alle,, n R qed 26 Folgerung Eine lineare Abbildung L von R n nach R m ist durch ihre Wirkung auf die kanonischen Basisvektoren bereits eindeutig festgelegt Zu jeder Wahl von Vektoren v,,v n R m gibt es auch eine lineare Abbildung, die jeweils e j auf v j abbildet 27 Beispiele (a) Die ( Matri zur Drehung ) D α des R 2 um den Nullpunkt ( ) um cosα sinα den Winkel α lautet: Das bedeutet, ist v =, so ist sinα cosα ( ) ( ) ( ) cosα sinα cosα sinα D α (v) = = sinα cosα sinα+cosα (b) Die Spiegelung des R 2 an der Geraden durch den Nullpunkt, die mit der Achse den Winkel α bildet, wird beschrieben durch Multiplikation mit dieser Matri: ( ) cos(2α) sin(2α) sin(2α) cos(2α) (c) Die lineare Abbildung L:R 2 R 2 mit L(e ) = 5e +e ( 2 und) L(e 2 ) = e +2e 2 ist 5 gegeben durch Multiplikation mit der Matri A = Sie hat folgende 2 Wirkung auf das markierte Einheitsquadrat: L(e 2 ) L(v) e 2 e v L(e ) L(e )

4 28 Kapitel 2 Lineare Algebra II (d) Die Projektion p:r 3 R 2, (,,z) (,) wird durch die folgende Matri induziert: ( ) Bemerkung Setzt man zwei lineare Abbildungen L 2 :V U und L :U W zusammen, erhält man wieder eine lineare Abbildung, nämlich L L 2 :V W, u L (L 2 (u)) Sind die beiden linearen Abbildungen durch Multiplikation mit Matrizen A vom Tp m s und B vom Tp s n gegeben, wie in Satz 25 beschrieben, so gilt L A (L B (v)) = A(Bv) = (AB)v v R n Das heisst, die Zusammensetzung der linearen Abbildungen entspricht der Multiplikation der entsprechenden Matrizen 29 Beispiel Schauen wir uns an, welchen Effekt es hat, wenn wir die Koordinatenebene R 2 zunächst um den Winkel α drehen, dann an der -Achse spiegeln und schliesslich um den Winkel α zurückdrehen Das Produkt der entsprechenden Matrizen lautet: C := ( cosα sinα sinα cosα )( )( ) ( ) 0 cosα sinα cos(2α) sin(2α) = 0 sinα cosα sin(2α) cos(2α) Die zusammengesetzte Abbildung ist also eine Spiegelung an derjenigen Geraden, die mit der -Achse den Winkel α bildet (siehe Beispiel 27) 20 Bemerkung Ist A eine invertierbare n n-matri, so ist die lineare Abbildung L A umkehrbar und es gilt (L A ) = L A Die Abbildung A ist genau dann volumentreu, wenn det(a) = Betrachten wir jetzt allgemeiner lineare Abbildungen zwischen abstrakten endlichdimensionalen Vektorräumen Halten wir zunächst folgende Verallgemeinerung von Folgerung 26 fest 2 Satz Seien V,W Vektorräume und A = (v,,v n ) eine Basis von V Jede lineare Abbildung L von V nach W ist durch ihre Wirkung auf v,,v n bereits eindeutig festgelegt Umgekehrt gibteszujederwahlvonnvektorenṽ,,ṽ n W eine lineare Abbildung L:V W mit L(v j ) = ṽ j für alle j Beweis Jeder Vektor v V lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Form v = v + + n v n schreiben Ist L:V W eine lineare Abbildung, so gilt L(v) = L(v )+ + n L(v n )

5 2 Lineare Abbildungen und Matrizen 29 Also ist L(v) durch die Koordinaten j von v und durch die Bildvektoren L(v j ) bereits eindeutig bestimmt Sind umgekehrt n Vektoren ṽ,,ṽ n W ausgewählt, so wird durch die Vorschrift L(v) := ṽ + + n ṽ n eine lineare Abbildung L: V W festgelegt qed Jetzt wollen wir eine solche Abbildung L: V W wiederum als Multiplikation mit einer Matri beschreiben Dazu müssen wir aber zunächst Basen und damit Koordinatenssteme für beide Vektorräume V und W wählen Ist A = (v,,v n ) eine Basis von V und v = v + + n v n eine Linearkombination, dann sind die die Zahlen,, n sind die Koordinaten von v bezogen auf die Basis A v 2 v 2 v v 2 v Den Spaltenvektor, gebildet aus den j, bezeichnen wir als den Koeffizientenvektor von v bezüglich der Basis A: Koeff A (v) := n AufdieseWeiseerhaltenwireinebijektivelineareAbbildungvonV nachr n,nämlich V R n ; v Koeff A (v) Entsprechend liefert die Wahl einer Basis B = (w,,w m ) von W die bijektive lineare Abbildung W R m ; w Koeff B (w) Setzen wir diese Identifikationen mit der linearen Abbildung L zusammen, erhalten wir eine lineare Abbildung L:R n R m ; Koeff A (v) v L(v) Koeff B (L(v))

6 30 Kapitel 2 Lineare Algebra II Wir wissen bereits, dass diese Abbildung durch Multiplikation mit einer Matri A gegeben ist, wobei in den Spalten die Koeffizienten der Bilder L(v j ), ausgedrückt in der Basis B stehen Wir schreiben dafür BM A = A Damit haben wir folgendes Resultat gefunden: 22 Satz Sei V ein Vektorraum mit Basis A = (v,,v n ), W ein Vektorraum mit Basis B = (w,,w m ) und L:V W eine lineare Abbildung Schreibt man die n Bildvektoren L(v j ) in Koordinaten bezogen auf die Basis B, und bildet aus den Koeffizientenvektoren als Spalten eine m n-matri A, so gilt Koeff B (L(v)) = A Koeff A (v) Ist V = W, verwendet man üblicherweise dieselbe Basis für Ausgangs- und Bildraum 23 Beispiel Sei V die Ebene durch 0, erzeugt von zwei linear unabhängigen Vektoren v,v 2 in R 3 Die Abbildung L:V V sei festgelegt durch L(v ) = 2v und L(v 2 ) = v +v 2 DannwählenwiralsBasisA = (v,v 2 )undlesenabkoeff A (L(v )) = ( ) ( 2 und Koeff 0 A (L(v 2 )) = ( ) 2 die Matri beschrieben 0 Wichtige Spezialfälle: ) Also wird L bezogen auf die Basis A hier durch Sind V = R n, W = R m und A und B die kanonischen Basen, erhalten wir die in Satz 25 gegebene Beschreibung wieder zurück Ist V = W, wählt man üblicherweise A = B Die linearen Selbstabbildungen werden auch als Endomorphismen bezeichnet und entsprechen quadratischen Matrizen 24 Beispiele (a) Sei V = W = R 2 und L die ebene Spiegelung an der Geraden g durch den Nullpunkt Dann wählen wir als Basis einen Vektor v 0 auf der Geraden g und einen dazu senkrechten Vektor v 2 0 Offenbar ist L(v ) = v und L(v 2 ) = v 2 Also wird im dazugehörigen Koordinatensstem die Spiegelung beschrieben durch die Matri A M A (L) = ( 0 0 (b) Sei V = W = R 3 und L eine Drehung um die Achse g durch den Nullpunkt und um den Winkel α Wir wählen für V eine Basis A = (v,v 2,v 3 ), so dass v in Richtung der Drehachse g zeigt, v 2,v 3 in der zu g senkrechten Ebene einen Winkel von 90 Grad bilden und beide dieselbe Länge haben Bezogen auf dieses Koordinatensstem lautet die Matri von L: AM A (L) = cosα sinα 0 sinα cosα )

7 2 Lineare Abbildungen und Matrizen 3 (c) Sei V der Raumder Polnome von Höchstgrad 3 mit der Basis A = (,, 2, 3 ) und W der Raum der Polnome von Höchstgrad 2 mit Basis B = (,, 2 ) Die lineare Abbildung L:V W sei definiert durch die Ableitung L(p) := p für p V Offenbar ist dann L() = 0, L() =, L( 2 ) = 2, L( 3 ) = 3 2 Daraus können wir die Matri von L ablesen Sie lautet: BM A (L) = (d) Seien V, W wie in (c), ausgestattet mit denselben Basen Betrachten wir jetzt die lineare Abbildung L:W V, gegeben durch L(p()) = (2 )p() für alle Polnome p in W Wir berechnen (2 )(a 2 2 +a +a 0 )(2 ) = (2a 2 ) 3 +(2a a 2 ) 2 +(2a 0 a ) a 0 Nun können wir die entsprechende Matri ablesen: AM B (L) = (e) Sei λ > 0 vorgegeben und bezeichne V den Lösungsraum der Differentialgleichung = λ 2 Durch Ableiten wird eine lineare Abbildung L:V V definiert Als Basis A von V wählen wir das Fundamentalsstem, gebildet aus f() = cos(λ) und g() = sin(λ) Dann ist L(f) = f = λg und L(g) = g = λf Also lautet hier die entsprechende Matri: ( ) 0 λ AM A (L) = λ 0