Matrix. Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema. a m,1 a m,2 a m,n. A = (a i,j ) = Matrix 1-1

Transkript

1 Matrix Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) =.... a m,1 a m,2 a m,n Matrix 1-1

2 Matrix Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) =.... a m,1 a m,2 a m,n Man bezeichnet (a i,1, a i,2,..., a i,n ) als i-ten Zeilen- und (a 1,j, a 2,j,..., a m,j ) t als j-ten Spaltenvektor von A. Speziell ist eine (n 1)-Matrix ein Spalten- und eine (1 n)-matrix ein Zeilenvektor. Matrix 1-2

3 Die (n m)-matrizen bilden den Vektorraum K n m ; R n m (C n m ) bezeichnet die reellen (komplexen) Matrizen. Die Vektorraumoperationen sind komponentenweise definiert: C = A ± B c i,j = a i,j ± b i,j B = λa b i,j = λa i,j Matrix 1-3

4 Verschiedene Matrixdimensionen , Matrix 2-1

5 Verschiedene Matrixdimensionen , (i, 1 + i, 1, 3i), Matrix 2-2

6 Verschiedene Matrixdimensionen , (i, 1 + i, 1, 3i), i 1 + i i 3 + 3i , Matrix 2-3

7 Verschiedene Matrixdimensionen , (i, 1 + i, 1, 3i), i 1 + i i 3 + 3i , Spalten- bzw. Zeilenvektor, quadratische und rechteckige Matrix Matrix 2-4

8 Matrix einer linearen Abbildung Eine lineare Abbildung L : V W zwischen zwei K-Vektorräumen mit den Basen E = {e 1,..., e n } und F = {f 1,..., f m } ist durch die Bilder der Basisvektoren L(e j ) = a 1,j f a m,j f m eindeutig bestimmt. Matrix 3-1

9 Matrix einer linearen Abbildung Eine lineare Abbildung L : V W zwischen zwei K-Vektorräumen mit den Basen E = {e 1,..., e n } und F = {f 1,..., f m } ist durch die Bilder der Basisvektoren L(e j ) = a 1,j f a m,j f m eindeutig bestimmt. Sie besitzt die Matrixdarstellung w = L(v) w i = n a i,j v j, i = 1,..., m, j=1 wobei v j und w i die Koordinaten von v und w = L(v) bzgl. der Basen E und F bezeichnen. In der j-ten Spalte der Matrix A stehen also die Koordinaten von L(e j ) bzgl. der Basis F. Matrix 3-2

10 Beweis: L ist aufgrund der Bedingungen für Linearität durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt: w = L(v) = L v j e j = v j L(e j ) = v j a i,j f i j j j i mit den Basiskoeffizienten v j von v Matrix 4-1

11 Beweis: L ist aufgrund der Bedingungen für Linearität durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt: w = L(v) = L v j e j = v j L(e j ) = v j a i,j f i j j j i mit den Basiskoeffizienten v j von v Basisdarstellung von w : w = i w i f i Matrix 4-2

12 Beweis: L ist aufgrund der Bedingungen für Linearität durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt: w = L(v) = L v j e j = v j L(e j ) = v j a i,j f i j j j i mit den Basiskoeffizienten v j von v Basisdarstellung von w : w = i w i f i Vergleich der Koordinaten der Basisvektoren Matrixdarstellung w i = n a i,j v j j=1 Matrix 4-3

13 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung L(e2) = se2 L(e1) = re1 Matrix 5-1

14 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung L(e2) = se2 L(e1) = re1 L(e1) L(e2) ϑ Matrix 5-2

15 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung Scherung L(e2) = se2 L(e1) = re1 L(e1) L(e2) ϑ L(e2) ϑ L(e1) Matrix 5-3

16 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung Scherung L(e2) = se2 L(e1) = re1 A = ( r 0 0 s ) L(e1) L(e2) ϑ L(e2) ϑ L(e1) Matrix 5-4

17 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung Scherung L(e2) = se2 L(e1) = re1 A = ( r 0 0 s ) A = L(e1) ϑ L(e2) ( cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ ) L(e2) ϑ L(e1) Matrix 5-5

18 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung Scherung L(e2) = se2 L(e1) = re1 A = ( r 0 0 s ) A = L(e1) ϑ L(e2) ( cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ ) L(e2) A = ϑ L(e1) ( 1 cot ϑ 0 1 ) Matrix 5-6

19 lineare Abbildungen L : R 2 R 2 der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e i (fett) e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 e2 Urbild e1 Streckung Drehung Scherung L(e2) = se2 L(e1) ϑ L(e2) ϑ L(e1) L(e1) = re1 L(e2) ( ) ( ) ( ) r 0 cos ϑ sin ϑ 1 cot ϑ A = A = A = 0 s sin ϑ cos ϑ 0 1 Die Spalten von A enthalten die Koordinaten der Vektoren L(e i ). Matrix 5-7

20 (i) Auswertung einer linearen Funktion an den Punkten x = 0, 1: L : p ( p(0) p(1) ), p(x) = a 0 + a 1 x Matrix 6-1

21 (i) Auswertung einer linearen Funktion an den Punkten x = 0, 1: L : p ( p(0) p(1) ), p(x) = a 0 + a 1 x Matrix bzgl. der Monombasis p 1 : x 1, p 2 : x x ( L(p1 ), L(p 2 ) ) ( ) 1 0 = 1 1 Matrix 6-2

22 (i) Auswertung einer linearen Funktion an den Punkten x = 0, 1: L : p ( p(0) p(1) ), p(x) = a 0 + a 1 x Matrix bzgl. der Monombasis p 1 : x 1, p 2 : x x ( L(p1 ), L(p 2 ) ) ( ) 1 0 = 1 1 Matrix bzgl. der Basis p 1 : x 1 x, p 2 : x x ( ) ( p1 (0) p 2 (0) 1 0 = p 1 (1) p 2 (1) 0 1 ) Matrix 6-3

23 (ii) Auswertung eines Polynoms p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n vom Grad n an m Stützstellen x = x 1,..., x m : Matrix 6-4

24 (ii) Auswertung eines Polynoms p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n vom Grad n an m Stützstellen x = x 1,..., x m : Monombasis Vandermonde-Matrix x1 0 x1 1 x n 1 x2 0 x2 1 x n p(x 1 ) 2 V =......,. xm 0 xm 1 xm n p(x m ) = V a 0. a n Matrix 6-5

25 (ii) Auswertung eines Polynoms p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n vom Grad n an m Stützstellen x = x 1,..., x m : Monombasis Vandermonde-Matrix x1 0 x1 1 x n 1 x2 0 x2 1 x n p(x 1 ) 2 V =......,. xm 0 xm 1 xm n p(x m ) = V a 0. a n Spalte j: Auswertung des Monoms x x j an den Punkten x i Matrix 6-6

26 (ii) Auswertung eines Polynoms p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n vom Grad n an m Stützstellen x = x 1,..., x m : Monombasis Vandermonde-Matrix x1 0 x1 1 x n 1 x2 0 x2 1 x n p(x 1 ) 2 V =......,. xm 0 xm 1 xm n p(x m ) = V a 0. a n Spalte j: Auswertung des Monoms x x j an den Punkten x i Zeile i: Auswertung der Monome x x j am Punkt x i Matrix 6-7