Geraden in 3 Dimensionen in Form von 2 linearen Gleichungen in den 3 Unbekannten x 1, x 2, x 3.

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1 Geraden in 3 Dimensionen in Form von 2 linearen Gleichungen in den 3 Unbekannten x 1, x 2, x 3. In Analogie zu einer Geraden kann man eine Ebene durch einen Punkt in der Ebene (mit Ortsvektor r 0 ) und 2 (linear unabhängige) Richtungsvektoren u und v festlegen. Das führt zur Parameterform der Ebene: r(s,t) = r 0 +s u+t v bzw. x 1 (s,t) x 2 (s,t) = x 3 (s,t) = x 01 x 02 x 03 +s u 1 u 2 u 3 +t x 01 +su 1 +tv 1 x 02 +su 2 +tv 2. v 1 v 2 v 3 r 0 P n v u r (r-r 0 ) x 03 +su 3 +tv 3 O Die Parameter s und t legen bei vorgegebenen Richtungsvektoren u und v die Position eines Punktes auf der Ebene eindeutig fest. Eliminiert man aus den 3 Gleichungen für die Komponenten die Parameter s und t, so resultiert 1 lineare Gleichung in den 3 Unbekannten x 1, x 2 und x 3. Diese Gleichung ist die implizite Form der Ebenengleichung. Analog zu einer Geraden in der Ebene lässt sich eine Ebene im Raum auch durch einen Punkt in der Ebene (Ortsvektor r 0 ) und einen Vektor n, der normal auf die Ebene steht, festlegen. Die Wahl n = 1 führt zur Hesse schen Normalform der Ebene im Raum: ( r r 0 ) n = 0, wobei r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene ist. Komponentenweise hingeschrieben ergibt sich auch die implizite Form der Ebenengleichung: x 1 x 2 x 01 x 02 n 1 n 2 = (x 1 x 01 )n 1 +(x 2 x 02 )n 2 +(x 3 x 03 )n 3 x 3 oder kurz x 03 n 3 = n 1 x 1 +n 2 x 2 +n 3 x 3 (n 1 x 01 +n 2 x 02 +n 3 x 03 ) = 0, c n 1 x 1 +n 2 x 2 +n 3 x 3 = c. 54

2 In dieser impliziten Darstellung einer Ebene im Raum liefern also die Koeffizienten von x 1, x 2 und x 3 die Komponenten des Normalvektors auf die Ebene. Kennt man den Normalvektor, so lässt sich sehr einfach der (Normal)Abstand eines Punktes Q im Raum von der Ebene ermitteln. Es ist die Projektion des Vektors PQ, der von einem Punkt P in der Ebene zum Punkt Q geht, auf den normierten Normalvektor n/ n : FQ = n PQ n, P n Q wobei F der Fußpunkt des Lots durch Q auf die Ebene ist. 55

3 4 Lineare Abbildungen und Matrizen In diesem Kapitel soll der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen hergestellt werden. Grob gesprochen handelt es sich bei linearen Abbildungen eines Vektorraums V auf einen Vektorraum W um Abbildungen, welche die Vektorraumstruktur erhalten, also vertauschbar sind mit Vektoraddition und der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Genaueren Aufschluss gibt folgende Definition: Definition 4.1 Seien V und W Vektorräume über dem selben Skalarenkörper K. Eine Abbildung ϕ : V W heißt lineare Abbildung, wenn a,b V λ K i) ϕ(a+b) = ϕ(a)+ϕ(b), (Additivität) ii) ϕ(λa) = λϕ(a) (Homogenität) gilt. Bemerkung So eine Abbildung zwischen Vektorräumen wird oft auch als Vektorraumhomomorphismus bezeichnet. Ein Homomorphismus ist generell ein Abbildung, die eine vorgegebene algebraische Struktur erhält (Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus,...). Bemerkung In der Schule bzw. in der Analysis laufen Funktionen der Form y(x) = a+bx oft unter dem Begriff lineare Funktion. Im obigen Sinn ist das aber i.a. keine lineare Abbildung, da y(x 1 +x 2 ) = a+b(x 1 +x 2 ) = a+bx 1 +a+bx 2 a = y(x 1 )+y(x 2 ) a. Nur für a = 0 ist es eine lineare Abbildung. Im streng mathematischen Sinn ist y(x) = a+bx eine affine Abbildung. Manchmal sagt man dazu auch inhomogene lineare Funktion. Bemerkung Für lineare Abbildungen V W gilt ϕ(0) = 0, d.h. der Nullvektor von V wird auf den Nullvektor von W abgebildet. 56

4 Bemerkung Additivität und Homogenität einer linearen Abbildung lassen sich zu einer Forderung zusammenfassen: a,b V λ,µ K : ϕ(λa+µb) = λϕ(a)+µϕ(b). Satz 4.1 Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung. Seien U, V und W K-Vektorräume. Wir haben dann: } ϕ : U V linear = ψ ϕ : U W linear. ψ : V W linear Beweis: λ,µ K, u 1,u 2 U (ψ ϕ)(λu 1 +µu 2 ) = ψ(ϕ(λu 1 +µu 2 )) = ψ(λϕ(u 1 )+µϕ(u 2 )) = λψ(ϕ(u 1 ))+µψ(ϕ(u 2 )) = λ(ψ ϕ)(u 1 )+µ(ψ ϕ)(u 2 ). q.e.d. Satz 4.2 Die inverse Abbildung einer invertierbaren linearen Abbildung ist wieder eine lineare Abbildung. Seien V und W K-Vektorräume. Wir haben dann: ϕ : V W linear und ϕ 1 : W V existiert Beweis: λ,µ K, w 1,w 2 W = ϕ 1 : W V linear. Wegen der Invertierbarkeit von ϕ existieren v 1,v 2 V, sodass v i = ϕ 1 (w i ), i = 1,2. Das bedeutet aber auch, dass w i = ϕ(v i ). Da ϕ linear ist, haben wir: Inversion dieser Relation ergibt: ϕ(λv 1 +µv 2 ) = λϕ(v 1 )+µϕ(v 2 ) = λw 1 +µw 2. ϕ 1 (λw 1 +µw 2 ) = λv 1 +µv 2 = λϕ 1 (v 1 )+µϕ 1 (v 2 ). q.e.d. 57

5 Beispiel 4.1 Für alle K-Vektorräume V und W ist ϕ : V W a 0 d.h. ganz V wird auf das Nullelement von W abgebildet, eine lineare Abbildung. Beispiel 4.2 Für alle K-Vektorräume V ist die Identität id : V V a a eine lineare Abbildung. Beispiel 4.3 Â = (a ij) sei eine n m-matrix mit a ij K (K ein Körper). Die Abbildung ϕ A : K m K n a b n 1 ist eine lineare Abbildung. = Â n m a m 1, b K n, a K m Dieses Beispiel zeigt offenbar, dass durch Matrizen lineare Abbildungen erzeugt werden. Im folgenden Beispiel werden wir sehen, dass sich umgekehrt eine lineare Abbildung ϕ : V W durch eine Matrix darstellen lässt, sofern in V und W Basen vorgegeben sind. Beispiel 4.4 Spiegelung im R 2 an der Hauptdiagonalen. Wir wollen uns zuerst ansehen, was mit zwei vorgegebenen Basisvektoren passiert. Wir wollen zuerst die Basis B = { e 1, e 2 } so wählen, dass e 1 in RichtungderHauptdiagonalenzeigt, e 2 normaldaraufsteht(siehefigur). Dafür lässt sich das Bild unter Spiegelung an der Hauptdiagonalen sehr leicht berechnen. Wir haben ϕ( e 1 ) = e 1 und ϕ( e 2 ) = e 2. 58

6 ϕ(b) e 2 ϕ(b) e 2 e 1 e 1 b b Das Wissen, wie das Bild der Basisvektoren unter einer linearen Abbildung aussieht, reicht aber schon aus, um das Bild eines beliebigen Vektors zu berechnen. Wir können einen beliebigen Vektor b zuerst auf die Basisvektoren aufspannen: b = b1 e 1 +b 2 e 2. Für den Koordinatenvektor (bezüglich der Basis B) bedeutet das ( ) bb = Wegen der Linearität der Spiegelung erhalten wir: bzw. ϕ( b) = ϕ(b 1 e 1 +b 2 e 2 ) = b 1 ϕ( e 1 )+b 2 ϕ( e 2 ) = b 1 e 1 b 2 e 2. b 1 b 2 ( ϕ( b) B = b 2 B Es ist nun relativ einfach zu ersehen, dass der Zusammenhang zwischen ϕ( b) B, d.h. dem Koordinatenvektor des Bildes von b und b B, d.h. dem Koordinatenvektor von b, durch eine 2 2-Matrix B Â B gegeben ist. Man hat ( ) ( ) ( ) b b 1 =. b b 2 B B B B ϕ( b) B BÂB Zum Vergleich wählen wir noch eine andere Basis B = { e 1, e 2}, bei der die Basisvektoren in Richtung der x- bzw. y-achse zeigen. Bei Spiegelung an der Hauptdiagonalen erhalten wir b 1 B. ) bb ϕ( e 1) = e 2 und ϕ( e 2) = e 1. 59

7 Spannen wir einen beliebigen Vektor b auf die neue Basis auf ( ) b = b 1 e 1 +b 2 e 2 bzw. bb = so nimmt ϕ( b) folgende Form an: b 1 b 2 B, ϕ( b) = ϕ(b 1 e 1 +b 2 e 2) = b 1ϕ( e 1)+b 2ϕ( e 2) = b 1 e 2 +b 2 e 1. Der zugehörige Koordinatenvektor ist ( ϕ( b) B = Der Zusammenhang zwischen dem Koordinatenvektor von ϕ( b) B, und dem Koordinatenvektor von b (nun bezüglich der Basis B ) ist nun durch ( ) ( ) ( ) b b 1 = b b B B B 2 B b 2 b 1 ) B. ϕ( b) B B ÂB bb gegeben. Man sieht also, dass die Matrix, welche die Wirkung der Spiegelung auf die Koordinatenvektoren beschreibt von der Wahl der Basis abhängt. Die nächste Aussage präzisiert die Beobachtung aus einem vorangegangenen Beispiel, dass eine lineare Abbildung V W bei Vorliegen einer Basis in V durch die Bilder der Basiselemente festliegt. Satz 4.3 (Prinzip der linearen Fortsetzung) Seien V und W K-Vektorräume, B V eine Basis von V und σ : B W b B σ(b) W eine (beliebige) Abbildung der Basis nach W. = 1 lineare Abbildung ϕ : V W mit ϕ B = σ. Man nennt ϕ die lineare Fortsetzung von σ auf V. 60