2D-Punkt-Transformationen

Transkript

1 Zur Erinnerung Drehung eines beliebigen Punktes B um den Winkel θ um den Koordinaten-Ursprung zum Punkt B : x B r cosα y B r sin α [r, α: Hilfsgrößen ] x B r cos(α+θ) r (cosα cosθ sinα sinθ) x B cosθ y B. sinθ y B r sin(α+θ) r (sinα cosθ + cosα sinθ) x B sinθ + y B cosθ In Matrizen-Schreibweise: x B y B cosθ -sinθ sinθ cosθ x B y B y B r B y B B r θ α x B x B sin(α±β) sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α±β) cosα cosβ Ŧ sinα sinβ

2 x B x B x C y B y B y C x B x B. cosθ y B. sinθ y B x B. sinθ + y B. cosθ x B s x. (x B + x C ) y B s y. (y B + y C ) In Matrizen-Schreibweise: Verallgemeinerung: Rotation eines beliebigen Punktes B um den Winkel θ um einen beliebigen Punkt C zum Punkt B. Skalierung des Ergebnisses mit den Faktoren s x und s y. y B y B s x s y B θ y C C y B B θ x C x B B x B B x B x B y B s x 0 0 s y x C y C x B cosθ -sinθ + sinθ cosθ y B x C y C

3 Erweiterung um eine Dimension ermöglicht die Darstellung der Translation (Verschiebung) als Matrizen-Produkt: x B x B x C y B y B y C homogene Koordinaten, homogene Punkt-Darstellung x B y B 0 -x C 0 -y C 0 0 x B y B Rotation eines Punktes B um θ um bel. Punkt C nach B und Skalierung mit s x, s y in homogenen Koordinaten: x B y B s x s y x C cosθ -sinθ 0 0 -x C 0 y C sinθ cosθ 0 0 -y C x B y B Grafik-Pipeline : Verarbeitungsschritte von den Objekt-Daten bis zur Bild-Erzeugung

4 Implementierungshinweis zum Matrizenprodukt C A B: A: (p x n); B: (n x q); C: (p x q) f2* B... B s... B q... B n... B ns... B nq C zs A z B s A zi B is +... A... A C n... C s... C q + A zn B ns f* A z... A C zn z... C zs... C zq *f*f A p... A pn C p... C ps... C pq C[z][s] 0.;//Initialisierg for (i;i<n;i++) C[z][s] + A[z][i]*B[i][s];

5 Codierungshinweis zum Matrizenprodukt A B in C/C++: A: (p x n); B: (n x q) ); C: (p x q) Matrizen-Deklaration darf max. Dimension offen lassen: #define COL 3 float matrix[][col];//.index(v.li.)offen Größere Flexibilität mit eindimensionalen Feldern und Umschreibung: C[z][s] C[z*q+s]

6 Zur Erinnerung einige Rechenregeln d. Matrizenrechnung*: A + B B + A A (B + C) A B + A C [Kommutativgesetz d. Matrizenaddition] [Distributivgesetz] (A B ) C A (B C) [Assoziativgesetz] A B B A [Matrizenprodukt ist nicht kommutativ!] A B 0 < > B 0 A 0! A I I A A [I: neutrales Element d.m.-multiplikation] A A - A - A I A x b A - b A - A x x (falls A invertierbar!) (falls A invertierbar!) (A B) - B - A - (falls A, B invertierbar!) (A B) T B T A T Wichtiger Spezialfall: Rotationsmatrizen sind orthogonal, d.h. O - O T (*) unter d. Voraussetzung geeigneter Dimensionierung beteiligter Matrizen

7 Verkettung von Punkt-Transformationen und ihren Inversen: Translation (Verschiebung): 0 -x C 0 -y C x C 0 y C x C -x C 0 y C -y C Skalierung: Rotation (Drehung): /s x /s y 0 s x s y cos(-θ) -sin(-θ) 0 cosθ -sinθ 0 sin(-θ) cos(-θ) 0 sinθ cosθ Spiegelung ist ein Spezialfall der Skalierung! cos(-θ) cosθ sin(-θ) sinθ -cos(-θ) sinθ sin(-θ) cosθ 0 sin(-θ) cosθ+cos(-θ) sinθ -sin(-θ) sinθ+cos(-θ) cosθ 0 0 0

8 Beobachtungen an der Rotationsmatrix: (vor allem an der o./li. 2x2-Untermatrix) R cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ Jede Zeile u. jede Spalte ist ein Einheitsvektor (Länge) Sowohl die Zeilen- als auch die Spaltenvektoren stehen jeweils senkrecht aufeinander (Skalarprodukte 0) R ist orthogonal: R. R T R T. R I ( T :Transposition; I: Einheitsmatrix) Werden die Einheitsvektoren der Hauptachsen (x,y) mit R transformiert, so ergeben sie die Spaltenvektoren von R. Werden die Zeilenvektoren von R mit R transformiert, so ergeben sie die Einheitsvektoren der Hauptachsen (x,y). Möglichkeit, aus dem Rotationsergebnis auf die Rotationsmatrix zu schließen!

9 Weitere 2D-Transformation: Scherung (engl. shear) Scherung entlang einer Achse verändert dazugehörige Punkt-Koordinaten proportional zur jeweils anderen Koordinate: Scherung eines Einheitsquadrats entlang der x-achse verändert jeden Punkt [x, y, ] T zu [x+ay, y, ] T mit: a 0 -a 0 Inverse: Scherung des Einheitsquadrats entlang der y-achse verändert jeden Punkt [x, y, ] T zu [x, bx+y, ] T mit: x-y-kombination als Verkettung! 0 0 b Inverse: b y +b y +a x x

10 Window-Viewport-Transformation Alte Begriffe der Computergrafik: (World-Coordinate-) Window heißt ein rechteckiger (Szene-, Welt-) Ausschnitt, der abgebildet werden soll; darf nicht mit dem (Window-Manager-) Window des Sw- Fenstersystems verwechselt werden. Viewport nennt man den rechteckigen Ausschnitt der Geräte-Ausgabefläche (Bildschirm, Plotter), in dem die Ausgabe erfolgen soll. Im allgemeinen Fall besteht die Window-Viewport-Transform. aus einer Translation des Window an den Ursprung des Welt- Koordinatensystems, einer Skalierung auf die Größe des Viewport und einer Translation an die Lage des Viewport.

11 Übung Übung: Erstellung einer Analog-Uhr aus ASCII-Zeichen der Größe 8x2: (i) Zeichnung und Positionierung der Zeiger als Linien; (ii) Realitätsnahe Animation. Durch entsprechende Skalierung ist die Uhr auf eine kreisrunde Form zu bringen. BresenClock.exe